阿不等式专题

第一篇：阿不等式专题

阿不等式专题

2006年高中数学竞赛大纲对加试中不等式部分的要求

全国高中数学联赛的加试命题的基本原则是向国际数学奥林匹克靠拢，总的精神是在知识方面略有扩展，适当增加一些课堂上没有的内容作为课外活动的讲授内容，在能力的要求上略有提高。代数数部分要求：

周期函数，周期，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用。复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等及其应用，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程复根成对定理。

函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

1.排序不等式

设两个实数列a1,a2,an和b1,b2,bn，满足a1a2an，b1b2bn,则有： a1b1a2b2anbn（同序乘积之和）

a1bj1a2bj2anbjn（乱序乘积之和）

a1bna2bn1anb1（反序乘积之和）

其中j1,j2,,jn是1,2,,n的一个排列，并且等号同时成立当且仅当a1a2an，b1b2bn.成立.例1设b1,b2，，bn是a1,a2,,an(ai0)的一个排列，证明：

2.平均值不等式

设a1,a2,,an是n个正实数，记 aa1a2nn b1b2bn

aa2anHn，Gn1a2an，An1，Qn111na1a2anna1a2an，n22

2分别称Hn、Gn、An、Qn为这n个正数的调和平均、几何平均、算术平均、和平方平均，对以上四个平均值，有以下结论：HnGnAnQn.等号成立当且仅当a1a2an.例2证明对任意n1,nN,CCCn2

3.柯西不等式

*

1n

2n

nn

n12.nn2n2

设ai,biR(i1,2,n)，则aibiaibi，当且仅当aikbi(i1,2n)时等

i1i1i1

号成立.变式1：设aiR,bi0，则

ai

bi1i

n

n

a

i

bi，当且仅当aikbi时，等号成立.ai

变式2：设ai,bi同号且不为0，则i1bi

a

i

ab，当且仅当b1b2bn时，取等号.ii

例3已知a1,a2,,an都是正数，求证：(a1a2an

4.切比晓夫不等式

设a1,a2,,an;b1,b2,,bn为任意两组实数，111)n2 a1a2an

（1）如果a1a2an，且b1b2bn或a1a2an且b1b2bn，则

a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn

；

nnn

（2）如果a1a2an且b1b2bn或a1a2an且b1b2bn，则

a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn



nnn

上述两式中等号当且仅当a1a2an或b1b2bn时成立.例4已知a,b,c为正数，且两两不等，求证：2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab)

1例5设a1,a2,,an是n个互不相等的正自然数，证明：

a3ana111

a12 22223n23n

2n1

例6证明：1234n()

n

n(n1)2

n

例7设a1,a2,,an都是实数，并且Aai(ai)2，求证：A2a1a2

n1i1i1

2n

n

例8设x1,x2,,xn都是正数(n2)，且x1x2xn1，求证：

竞赛中各类不等式题选析

1.已知xiR(i1,2,,n;n2)满足

2.已知xy1，求证：|x22xyy2|

3.非负数a与d和正数b,c满足条件：bcad.求证：

4.证明对任意正自然数n，成立不等式：234n3



i1

xixi





i1

n

xi

n1

|xi|1,xi0，求证：|

i1

i1

i1

nnn

xi11

.|

i22n

bc1

2 cdab2

5.非负数a1,a2,,an中最大的一个为a，证明不等式

a1a2ana1a2an2a2

()

nn4

并指出什么时候达到等号成立.6.设a,b,c为非负数.（a）证明不等式：若（1）abc2(abbcca)成立，则（2）

222

a2b2c22(abbcca)也成立.（b）反过来，不等式（2）成立能推出（1）也成立吗？

7.已知xy1，其中x,y为实数，求证：3|xy||y1||2yx4|7.8.已知0x

,0y

,0



222,x，且2sinxsiny3sin1，求证：

2xy3.9.若x,y,z为非负实数，且满足xyz1.证明：0xyyzzx2xyz

7.27

xxxx

10.设x1,x2,,xn都是正数.求证：12n1nx1x2xn.x2x3xnx1

2222

几种常见恒等变形式及其写法：

1nn

（1）(ai)(bi)aibj(aibjajbi)

2i1j1i1i1i1j1

（2）（nnnn

ai)ai2

i1

i1

nn

1ijn

aa

i

j

n

（3）

1ijn

(aiaj)nai(ai)2

i1

i1

n

i

n

j

n

（4）

1ijnn

ab(ab)(ab)

ij

ij

ij

i1n

j1j1i1

（5）

abba(a)(b

ii

n

i

i

i1

i1

k1

i1

n1n

k

bk1)

1.设a,b,c为正实数，且任意两数之和大于第三个数，求证：abc(abc)(bca)(cab).2.设a,b,c是非负实数，求证：abc2(abacbc)abcbaccab0.3.若x1,x2,,xn[a,b]，其中0ab.求证：

111(ab)22

(x1x2xn)n.x1x2xn4ab

ai17n2

4.设a1,a2,,an,b1,b2,,bn[1,2]，且aibi，求证：ai并问等号成立的10i1i1i1i1bi

n

n

n

充要条件.x1x2xn

5.设0x1x2xn1，求证：(1xn)2[]1 23n1

(1x1)2(1x2)2(1xn)2

6.已知a,b,cR，求证：

n

k

7.已知xi0(i1,2,,n),n2，且xi2xkxj1，试求xi的最大之和最小值.ji1i11kjn

2n

abc

1

1aab1bbc1cca

n

n

ak1

8.已知a1,a2,a3,是两两不相同的正自然数列.求证：对任何正整数n有2.k1kk1k

n

第二篇：常用不等式

均值不等式： 被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。

为调和平均数。

为几何平均数。

为算术平均数。

为平方平均数。

Cauchy不等式：

二阶(a+b)(c+d)≥(ac+bd)等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。

高阶(a1+a2+„„an)(b1+b2+„„bn)≥(a1b1+a2b2+„„+anbn)三角不等式： |a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b| 排序不等式： 设有两组数a1,a2,„„an,b1,b2,„„bn满足a1≤a2≤„„≤an,b1≤b2≤„„≤bn则有a1bn+a2bn-1+„„+anb1≤a1bt+a2bt+„„+anbt≤a1b1+a2b2+„„+anbn式中t1，t2，„„，tn是1，2，„„，n的任意一个排列，当且仅当a1=a2=„„=an或b1=b2=„„=bn时成立。一般为了便于记忆，常记为：反序和≤乱序和≤同序和.琴生不等式：

对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n)对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≤f((x1+x2+...+xn)/n)切比雪夫不等式(基本排序)：

a1bn+a2bn-1+„„+anb1≤(a1+a2+„„an)(b1+b2+„„bn)≤a1b1+a2b2+„„+anbn 22

22222

第三篇：常用不等式

大学中常用不等式,放缩技巧一：一些重要恒等式

ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6

ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2

Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n)(0

sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ=1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]

sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCⅵ:欧拉等式e∏i=-1(i是虚数，∏是pai)

ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）

二重要不等式

1:绝对值不等式

︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式

（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)

3：柯西不等式

(∑ ai bi)2≤∑ai2∑bi2

4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱

5;(a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)

(a+b)p≤ap+ bp(0

(a+b)p≥ap+ bp(p>1)

6:(1+x)n≥1+nx(x>-1)

7:切比雪夫不等式

若a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn

∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi

若a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn

∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi

三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；

2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;

3：n！<【(n+1/2)】n

4：nn+1>(n+1)nn！≥2n-1

5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n

6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x

8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4

第四篇：不等式

绝对值不等式知识点及典型练习题

1.解绝对值不等式的基本思想：解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方。

2.注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题。

左边在例1 解不等式时取得等号，右边在 时取得等号。例2 解不等式||x+3|-|x-3||>3。

例3求使不等式|x-4|+|x-3|

第五篇：不等式证明经典

金牌师资，笑傲高考

2013年数学VIP讲义

【例1】 设a，b∈R，求证：a2+b2≥ab+a+b-1。

【例2】 已知0

【例3】 设A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，试比较A与B的大小。

因A、B的表达形式比较简单，故作差后如何对因式进行变形是本题难点之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一个字母。关键是消去哪个字母，因条件中已知a的不等关系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一个均可。

由ad=bc得：dbca1abbccaabcabc≥1。

bcabcab(ab)(ac)a0bcacaA-B=a+d-(b+c)=a =ab c(ab)a

【例4】 a，b，c∈R，求证：a4+b4+c4≥(a+b+c)。

不等号两边均是和的形式，利用一次基本不等式显然不行。不等号右边为三项和，根据不等号方向，应自左向右运用基本不等式后再同向相加。因不等式左边只有三项，故把三项变化六项后再利用二元基本不等式，这就是“化奇为偶”的技巧。

左=12(2a42b2242c)22412[(a24b)(b22244c)(c2244a)]24

≥12(2ab2bc2ca)abbcca

2发现缩小后没有达到题目要求，此时应再利用不等式传递性继续缩小，处理的方法与刚才类似。

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ab1212

2013年数学VIP讲义

22bc2222ca2222212(2ab22222bc22222ca)22

ca)(ca2[(abbc)(bc22ab)]22≥(2abc2abc22abc)ab(abc)1a

1c【例5】（1）a，b，c为正实数，求证：（2）a，b，c为正实数，求证：

a21bb2≥

c21ab1bc1ac；

bcacab≥

abc2。

（1）不等式的结构与例4完全相同，处理方法也完全一样。

（2）同学们可试一试，再用刚才的方法处理该题是行不通的。注意到从左向右，分式变成了整式，可考虑在左边每一个分式后配上该分式的分母，利用二元基本不等式后约去分母，再利用不等式可加性即可达到目的。试一试行吗？

a2bcb2(bc)≥2a2bcb2(bc)2a

acc2(ac)≥2ac(ac)2bab(ab)≥2c2ab(ab)2c

相加后发现不行，a，b，c的整式项全消去了。为了达到目的，应在系数上作调整。

a2bcbc4≥a，b2acac4≥b，c2abab4≥a 相向相加后即可。

【例6】 x，y为正实数，x+y=a，求证：x+y≥

2a22。

思路一；根据x+y和x2+y2的结构特点，联想到算术平均数与平方平均数之间的不等关系。∵ xy22≤2x2y22

2∴ xy≥(xy)2a22

思路二：因所求不等式右边为常数，故可从求函数最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，这里采用消元思想转化为一元函数，再用单调性求解。换元有下列三种途径：

途径1：用均值换元法消元： 令 x2a2m，yaa22m

22则 xy(m)(m)2m222aa22≥

a22

途径2：代入消元法： y=a-x，0a2)2a22≥

a22

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途径3：三角换元法消元：

令 x=acos2θ，y=asin2θ，θ∈(0，]

22013年数学VIP讲义

则 x2+y2=a2(cos4θ+sin4θ)=a2[(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ]

=a[1-2(sin2θ)]=a(1-22122

12sin2θ)≥

a22

注：为了达到消元的目的，途径1和途径3引入了适当的参数，也就是找到一个中间变量表示x，y。这种引参的思想是高中数学常用的重要方法。【例7】 已知a>b>0，求证：(ab)8a2ab2ab(ab)8b2。

12所证不等式的形式较复杂（如从次数看，有二次，一次，次等），难以从某个角度着手。故考虑用分析法证明，即执果索因，寻找使不等式成立的必要条件。实际上就是对所证不等式进行适当的化简、变形，实际上这种变形在相当多的题目里都是充要的。

ab2abab2ab2b)(a(a(a2b)2

ab(ab)b)(a8a2所证不等式可化为∵ a>b>0 ∴ ab ∴ ab0

b)2(a2b)2(ab)(a8b2b)2

∴ 不等式可化为：(a4ab)21(a4bb)2

2(ab)4a即要证

24b(ab)ab2a只需证

2bab在a>b>0条件下，不等式组显然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=24xx38，求证：对任意实数a，b，恒有f(a)

112.不等号两边字母不统一，采用常规方法难以着手。根据表达式的特点，借助于函数思想，可分别求f(a)及g(b)=b2-4b+f(a)112的最值，看能否通过最值之间的大小关系进行比较。

82(2)a2a24aa3882a882a≤

282a82a8422

令 g(b)=b2-4b+11232 ≥32 g(b)=(b-2)2+

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∵ 3222013年数学VIP讲义

∴ g(b)>f(a)注：本题实际上利用了不等式的传递性，只不过中间量为常数而已，这种思路在两数大小比较时曾讲过。由此也说明，实数大小理论是不等式大小理论的基础。

【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax2+bx+c，当|x|≤1时，有|f(x)|≤1，求证：

（1）|c|≤1，|b|≤1；

（2）当|x|≤1时，|ax+b|≤2。

这是一个与绝对值有关的不等式证明题，除运用前面已介绍的不等式性质和基本不等式以外，还涉及到与绝对值有关的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±„±an|≤|a1|+|a2|+„+|an|。就本题来说，还有一个如何充分利用条件“当|x|≤1时，|f(x)|≤1”的解题意识。

从特殊化的思想出发得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 当x=1时，|f(1)|≤1；当x=-1时，|f(-1)|≤1 下面问题的解决试图利用这三个不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量。∵ f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c ∴ b12[f(1)f(1)] 12|f(1)f(1)|≤12[|f(1)||f(1)|]≤

12(11)≤1 ∴ |b|（2）思路一：利用函数思想，借助于单调性求g(x)=ax+b的值域。

当a>0时，g(x)在[-1，1]上单调递增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)]

≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 当a<0时，同理可证。

思路二：直接利用绝对值不等式

为了能将|ax+b|中的绝对值符号分配到a，b，可考虑a，b的符号进行讨论。当a>0时

|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面对b讨论

① b≥0时，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0时，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2。∴ |ax+b|≤2 当a<0时，同理可证。

评注：本题证明过程中，还应根据不等号的方向，合理选择不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不适当选择，则不能满足题目要求。

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2013年数学VIP讲义

1、设a，b为正数，且a+b≤4，则下列各式一定成立的是 A、C、1a121b1a≤141b B、≤1 D、141a≤

1a1b≤

≤

1b≥1

2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，则下列各式中一定正确的是 A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c

5、已知a，b，c>0，且a+b>c，设M=

a4abbcc4c，N=，则MN的大小关系是

A、M>N B、M=N C、M

6、已知函数f(x)=-x-x3，x1，x2，x3∈R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正负都有可能

7、若a>0，b>0，x111()2ab1ab1ab，y，z，则

A、x≥y>z B、x≥z>y C、y≥x>z D、y>z≥x

8、设a，b∈R，下面的不等式成立的是 A、a+3ab>b B、ab-a>b+ab C、（二）填空题

9、设a>0，b>0，a≠b，则aabb与abba的大小关系是__________。

10、若a，b，c是不全相等的正数，则(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等号填空）。

12、当00且t≠1时，logat与log21t1a2

2aba1b1 D、a+b≥2(a-b-1)

22的大小关系是__________。

n13、若a，b，c为Rt△ABC的三边，其中c为斜边，则an+bn与c（其中n∈N，n>2）的大小关系是________________。

（三）解答题

14、已知a>0，b>0，a≠b，求证：a

15、已知a，b，c是三角形三边的长，求 证：1

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abcbaccab2。

babba。金牌师资，笑傲高考

16、已知a≥0，b≥0，求证：

18、若a，b，c为正数，求证：

19、设a>0，b>0，且a+b=1，求证：(a

20、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a，b，c全为正数。

1a)(b1b)2541a1b1ca82013年数学VIP讲义

12(ab)214(ab)≥aaba。

≤

b383c38。

abc≥。

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