几何证明专题训练

第一篇：几何证明专题训练

几何证明专题训练

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO.求证：

CD=GF.(初二)

2已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=150.求证：△PBC是正三角形.(初二)

4已知：如图，在四边形

ABCD

中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F.求证：∠DEN=∠F.5已知：△ABC中，H为垂心(各边高线的交点)，O为外心，且OM

⊥BC于M.(1)求证：AH=2OM;(2)若∠BAC=600，求证：AH=AO.(初二)

设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q.求证：AP=AQ.如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设

MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交

MN于P、Q。

求证：AP=AQ.如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形

CBFG，点P是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等于AB的一半.(初二)

如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE=AC，AE与

CD相交于F.求证：CE=CF.(初二)

如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且

CE=CA，直线EC交DA延长线于F.求证：

AE=AF.设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE.求证：PA=PF.(初二)

如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D.求证：AB=DC，BC=AD.(初三)

已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求：∠APB的度数.(初二)

设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠

PDA.求证：∠PAB=∠PCB.(初二)

设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD+AD·BC=AC·BD.(初三)

平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AE=CF.求证：∠DPA=∠DPC.(初二)

设P是边长为1的正△ABC内任一点，L=PA+PB+PC，求证：≤L<2。

已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB+PC的最小值。

P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长。

如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB=800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA=300，∠EBA=200，求∠BED的度数.某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程y(单位：千米)与所用

时间

x(单位：小时)的函数图象.已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时。

(1)请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程y(千米)与所用时间x(小时)的函数图象。

(2)求两车在途中相遇的次数(直接写出答案)。(3)求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程。

如图9，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为(40)(02)AC，、，D为OA的中点.设点P是AOC平分线上的一个动点(不与点O重合).(1)试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等;

(2)当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过OPD、、三点的抛物线的解析式;

(3)设点E是(2)中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，PDE△的周长最小?求出此时点P的坐标和PDE△的周长;

(4)设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°?若存在，请直接写出点P的坐标.

第二篇：几何证明选讲训练

几何证明选讲专题

1．如图所示，在四边形ABCD中，EF//BC,FG//AD，则EFFG

BCAD

1由平行线分线段成比例可知EFAFFGFCEFFGAFFC，所以,1 BCACADACBCADAC

2．在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE:EB1:2,DE与AC交于点F，若AEF的面积为6cm2，则ABC的面积为cm

272不妨设AEF,ABCAE,AB边上的高分别为h1,h2，因为四边形ABCD为平行四边形，AE:EB1:2,，所以AE:AB1:3,EF:FD1:3,h1:h21:4，所以 SAEF:SABC1:12，从而ABC的面积为72 cm2

3．如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD4,BD8，则圆O的半径等于

5由直角三角形射影定理CDBDDA可知DA2，AB10，即半径为

54．如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB,PCD,AB是圆O的直径，若2PA4,PC5,CD3，则CBD

30由割线定理知PAPBPCPD，即4(4AB)5(53)，得AB6

即圆O的半径为3，因为弦CD3，所以COD60，从而CBD



COD30 2

5．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA2,AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB1，则圆O的半径R

由切割线定理知PA2PBPC，即221PC，PC

4，所以AC

6．如图，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CDAB于E，PC4,PB8，则CD

242

由切割线定理知PCPAPB得PA2,AB826，圆O半径为3，连接5

35122

4，从而CDCO，则在直角三角形PCO中，有COCPOPCE,CE

2355

7．如图，AB,CD是圆O的两条弦，交点为E且AB是线段CD的中垂线，已知

AB6,CDAD的长度为

由条件可知AB为圆O的直径，所以r3，连接OD，则OE2，所以AE5,AD



8．如图，在梯形ABCD中，AD//BC//EF，E是AB的中点，EF交BD于G，交AC于H，若AD5,BC7，则GH

(57)6；由相似三角形的相似2

EGBGGFDGEG6EG5比可知，从而,1，解得EG，同理可解得

5BD7BD5725

HF，所以GH

129．如图，圆的内接ABC的C的平分线CD延长后交圆于点E，连接BE，已知BD3，1由条件可知EF为梯形ABCD的中线，且EF

CE7,BC5，则线段BE

因为CD为C的平分线，所以BCEECA，又圆周角EBAECA，所5

BEBDBE

3以BCEEBA，又EE，所以EBCEBD，从而，即，ECBC75

所以BE

10．如图，四边形ABCD内接于圆O，BC是直径，MN切圆O于A，MAB25，则D



115连接AC，由条件可知CMAB25，又BC为直径，所以BAC90，、从而B180902565，又BD180，所以D11

511．如图，在ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于F，则





过E作EG//DC交BC于G，因为E是BD的中点，D是AC的中点，所以

2111

1EGDCAC，BGGC，又FGFCGC，所以

4321

BFBGFGGC

12．如图，圆O和圆O相交于A和B，PQ切圆O于P，交圆O于Q,M，交AB的延长线于N，MN3,NQ15,则PN

由割线定理、切割线定理，有NMNQNBNANP2，所以PN2315，即PN13．如图，EB,EC是圆O的两条切线，B,C是切点，A,D是圆上两点，如果E46



DCF32，则A的度数是

因为EB,EC是圆O的两条切线，所以EBEC，又E46，所以



EBCECB(18046)67，又DCF32，所以

2BCD180673281，从而A1808199

14．已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距

离为AB3，则切线AD的长为

依题意，BC2，所以AC5，由AD2ABAC

15，得AD15．如图，已知P是O外一点，PD为O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF12,PD

则EFD的度数为

PD2163

4EF8,OD4, 30由切割线定理得PDPEPFPEPF12



∵ODPD,OD

PO∴P30,POD60,PDEEFD30 2

第三篇：几何证明

几何证明

1.如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30 o，求∠EAD、∠DAC、∠C的度数

2.已知∠BED=∠B+∠D，试说明AB与CD的位置关系

3.如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由。

4.如图，已知AB//CD，AE//CF，求证：BAEDCF

AEFCD B

5.如图，AB//CD，AE平分BAD，CD与AE相交于F,CFEE。求证：

AD//BC。

6.如图，已知AB//CD，B40，CN是BCE的平分线，

CMCN，求BCM的度数。

7.如图若FD//BE，求123的度数

第三题

8.如图已知CAOC，OC平分AOD，OCOEC63求D，BOF的度

数

第四题

9.已知如图DB//FG//EC，若ABD60，ACE36AP平分BAC求PAG的度数

第五题

10.，已知如图AC//DE，DC//FE，CD平分BCA，那么EF平分BED？为什么？

11.1）已知三角形三边长分别是4,5,6-x,求x的取值范围

（2）已知三角形三边长分别是m，m-1，m+1，求m的取值范围

12.在ABC中，B70BAC:BCA3:2，CDAD垂足为D且ACD35

求BAE的度数

A50oD44 13.已知AC，BD交与O，BE，CE分别平分ABD,ACD且交与E，o

求E的度数。

14.ACE90AC=CE，B为AE上的一点，EDCB于D，AFCB交CB的延长

线于F，求证：AF=CD

第22题

15，已知AB=CD，BC=DA，E，F为AC上的两个点，且AE=CF，求证BF//DE

第23题

16.AD，BC交于D，BEAD于E,DFBC于F且AO=CO,BE=DF,求证ＡＢ＝ＣＤ

17.中AB=AC，BAC90分别过BC做过A点的直线的垂线，垂足为D,E,求证DE=BD+CE

第25题

第四篇：几何证明

龙文教育浦东分校学生个性化教案

学生：钱寒松教师：周亚新时间：2010-11-27

学生评价◇特别满意◇满意◇一般◇不满意

【教材研学】

一、命题

1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．

2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果„„，那么„„”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．

3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．

二、互逆命题

1．概念：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个

命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．

2．说明：

（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；

（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；

（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．

三、互逆定理

1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．

2．说明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．

所以∠C=∠C’=90°，即△ABC是直角三角形．

【点石成金】

例1．指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．

（1）两直线平行，同旁内角互补；

（2）直角三角形的两个锐角互余；

（3）对顶角相等．

分析：解题的关键是找出原命题的题设和结论，然后再利用互逆命题的特征写出它们的逆命题．

（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．

（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．

（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是课题：几何证明

对顶角”．

名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果„„，那么„„”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可．

例2．某同学写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是“如果一个三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，你认为他写得对吗?

分析：写出一个命题的逆命题，是把原命题的题设和结论互换，但有时需要适当的变通，例如“等腰三角形的两底角相等”的逆命题不能写成“两底角相等的三角形是等腰三角形”，因为我们还没有判断出是等腰三角形，所以不能有“底角”这个概念．

解：上面的写法不对．原命题条件是直角三角形，斜边是直角三角形的边的特有称呼，该同学写的逆命题的条件中提到了斜边，就已经承认了直角三角形，就不需要再得这个结论了．因此，逆命题应写成“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形”．

名师点金：在写一个命题的逆命题时，千万要注意一些专用词的用法．

例3．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：① AB=AC；②AD=AE；③ ∠1=∠2；④BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题(要求写出已知，求证及证明过程)

解：选①②③作为题设，④作为结论．

已知：如图19—4—103，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

求证：BD=CE,证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD．

即∠BAD=∠CAE．

在△BAD和△CAE中，AB=AC．∠BAD＝∠CAE，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（S．A．S．）∴BD=CE．

名师点金：本题考查的是证明三角形的全等，但条件较为开放．当然，此题的条件还可以任选其他三个．

【练习】

1．“两直线平行，内错角相等”的题设是____________________，结论是_________________________

2．判断：（1）任何一个命题都有逆命题．()

（2）任何一个定理都有逆定理．()

【升级演练】

一、基础巩固

1．下列语言是命题的是()

A．画两条相等的线段B．等于同一个角的两个角相等吗

C．延长线段AD到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等

2．下列命题的逆命题是真命题的是()

A．直角都相等B．钝角都小于180。

龙文教育浦东分校个性化教案ABDEC.cn

C．如果x+y=0，那么x=y=0D．对顶角相等

3．下列说法中，正确的是()

A．一个定理的逆命题是正确的B．命题“如果x<0，y>0，那么xy<0”的逆命题是正确的C．任何命题都有逆命题

D．定理、公理都应经过证明后才能用

4．下列这些真命题中，其逆命题也真的是()

A．全等三角形的对应角相等

B．两个图形关于轴对称，则这两个图形是全等形

C．等边三角形是锐角三角形

D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

5．证明一个命题是假命题的方法有__________．

6．将命题“所有直角都相等”改写成“如果„„那么„”的形式为___________。

7．举例说明“两个锐角的和是锐角”是假命题。

二、探究提高

8．下列说法中，正确的是()

A．每个命题不一定都有逆命题B．每个定理都有逆定理

c．真命题的逆命题仍是真命题D．假命题的逆命题未必是假命题

9．下列定理中，没有逆定理的是()

A．内错角相等，两直线平行B．直角三角形中两锐角互余

c．相反数的绝对值相等D．同位角相等，两直线平行

三、拓展延伸

10．下列命题中的真命题是()

A．锐角大于它的余角B．锐角大于它的补角

c．钝角大于它的补角D．锐角与钝角之和等于平角

11．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直．其中，正确命题的个数为()

A．0个B．1个C．2个D．3个

龙文教育浦东分校个性化教案

第五篇：2013几何证明

2013几何证明

1.（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,在ABC

中,C900,A600,AB20,过C作ABC的外接圆的切线CD,BDCD,BD与外接

圆交于点E,则DE的长为_____

_____

2.（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, △ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦, 且BD//AC.过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F.若AB =

AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为

______.3.（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））(几何证明选讲选做题)如图,AB

是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BCCD,过C作圆O的切线交AD于E.若

AB6,ED2,则BC_________.E

第15题图

4.（2013年高考四川卷（理））设P1,P2，Pn为平面内的n个点,在平面内的所有点中,若点P到

P1,P2，Pn点的距离之和最小,则称点P为P1,P2，Pn点的一个“中位点”.例如,线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点.则有下列命题:

①若A,B,C三个点共线,C在线AB上,则C是A,B,C的中位点;[来源:学#科#网] ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点;③若四个点A,B,C,D共线,则它们的中位点存在且唯一;④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是____________.(写出所有真命题的序号数学社区)

5.（2013年高考陕西卷（理））B.(几何证明选做题)如图, 弦AB与CD相交于O内一点E, 过E作

BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知PD=2DA=2, 则PE=_____.6.（2013年高考湖南卷（理））如图2,O中,弦AB,CD相交于点

P,PAPB

2,PD1,则圆心O到弦CD的距离为____________.7.（2013年高考湖北卷（理））如图,圆O上一点C在直线AB上的射影为D,点D在半径OC上的射

影为E.若AB3AD,则CE

EO的值为___________.C

第15题图

8.（2013年高考北京卷（理））如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆11.修4-1:几何证明选讲]本小题满分10分.如图,AB和BC分别与圆O相切于点D,C,AC经过圆心O,且BC2OC O相交于D.若PA=3,PD：DB9：16,则PD=_________;AB=___________.求证:AC2AD[来源:学.科.网]

9.选修4—1几何证明选讲:如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点

D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCAEDCAF,B,E,F,C四点共圆.(Ⅰ)证明:CA是△ABC外接圆的直径;

(Ⅱ)若DBBEEA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.10.选修4-1:几何证明选讲

如图,AB为O直径，直线CD与O相切于E.AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于

C，EF,垂直于F,连接AE,BE.证明:

(I)FEBCEB;(II)EF2ADBC.