数学归纳法典型错误

第一篇：数学归纳法典型错误

数学归纳法易错题析

－对假设设而不用

例1：用数学归纳法证明 1232

正解（2）假设n=k时命题成立，即71能被8整除。

k

n2

n(n1).(2n1)当n=k+2时，7k2172(7k1)172＝49（7k1)48

错证：①当n1时，左边＝1 ,右边＝

1(11)(211)＝1 所以等式成立。②假设当n=k时等式成立,即1`22232k2

16

k(k1)(2k1)

那么当n=k+1时为122232k2(k1)2

16(k1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

＝1

(k1)(k2)(2k3)也就是说当nk1时，等式成立。由⑴⑵知对任何nN*

等式成立，剖析：用数学归纳法证明第⑵步骤时，在从“k”到“k1"的过程中，必须把n=k的命题作为已给定的条件，要在这个条件基础上去导出nk1时的命题所以在推导过程中，故必须把n=k

时的命题用上，本解法错因是对假设设而不用。正解：⑵12

22

32

k2

(k1)2

＝1

k(k1)(2k1)(k1)26＝

(k1)

[1

k(2k1)(16

k!)]＝

6(k1)(2k27k6)1

(k1)(k2)(2k3)＝1

(k1)[(k1)1][2(k1)1] 即当nk1时，等式成立。由⑴⑵知对任何nN*

等式成立，二机械套用数学归纳法中的两个步骤致误

例2：当n 为正奇数时，7n

1能否被8整除？若能用数学归纳法证明。若不能请举出反例。证明：⑴当n=1时，7＋1＝8能被8整除。命题成立。⑵假设当n=k时命题成立,即7k1能被8整除。则当n=k+1时，7

k1

17(7k1)6不能8整除.由（1）（2）知n为正奇数。7n

1不能被8整除

分析：错因;机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了n是整奇数的条件。

证明前要看准已知条件。

因7k

1能被8整除。且48能被8整除。所以7

k2

1能被8整除。所以当 n=k+2时 命题成立。由⑴⑵知当n 为正奇数时，7k

1能被8整除。

三没有搞清从k 到k+1的跨度

例3：求证：

1n11n213n1

1错证：（1）当n ＝1时，不等式成立。

（2）假设n=k时命题成立，即

1k11k21

3k1

1 则当n=k+1时，1k21k3111

3k13(k1)113(k1)

1 就是说当n=k+1时不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。

点评：上述证明中，从k 到k+1的跨度，只加了一项是错误的，分母是相临的自然数，故应是

13k213(k1)1

3(k1)1，跨度是三项。

正确证法：（1）当n＝1时，左边＝

1111121136431213121，不等式成立。（2）假设n=k时命题成立，即

1k11k213k1

1，则当n=k+1时，1k21k3



1113k13k23(k1)1

3(k1)1

＝（111k1k23k1）＋13k213(k1)＋13(k1)11

k1

>1＋[

13k2126k66(k1)

3k43(k1)]19k218k832(k1)2

=1＋

6(k1)9k218k86(k1)

9k218k9

1。

这就是说，当nk1时，不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。

第二篇：劳动合同(典型错误)

劳 动 合 同

甲方：××××企业

乙方：××

一、甲乙双方经过协商，暂定一年试用期。试用期满，经过甲方的考核，对乙方予以转正，并录用为职工，确定正式合同期，实行劳动合同制；经过甲方考核，未能通过试用期考核的，试用期自动延长三个月。本合同期满，甲、乙双方同意续订劳动合同的，本条款继续适用。

二、在试用期内，任何一方解除劳动合同均需提前七天通知对方。

三、在试用期内乙方的劳动报酬案本市最低生活保障标准执行。甲方承诺，在合同期内乙方的全部劳动报酬的总和不低于国家劳动行政部门规定的最低工资标准。

四、乙方到甲方工作，实行内部承包，需交500元承包抵押金，劳动合同终止时予以退还。

五、职工工资采用计件制形式，每月结算一次，平时支付工资的80％，余额在年终结清。

六、甲方保证乙方每月25天工作，在25天内因甲方原因使乙方停工的，甲方每天补助人民币5元。

七、甲方因工作需要，经与工会协商后，有权安排乙方加班，乙方如果拒绝，将被视为旷工，受到违纪制裁。

八、在合同期内，职工患病或非因工负伤，可按本企业的规章制度报销医疗费，需要停工治疗的，甲方根据其在本单位工作时间的长短，给予3个月至1年的医疗期，医疗期满后，如因不能从事原工作的，甲方可以解除劳动合同，甲方将发给相当于本人标准工资1个月至6个月的医疗补助费。

九、甲方将为乙方购买商业保险，双方商定不再参加国家的各类保险。

十、甲方应按照国家规定，向乙方提供必要的劳动保护用品；乙方应遵守有关的规章制度，安全生产。如果乙方因违反操作规程而负伤，甲方将按非因工负伤的有关规定，给予补偿和处理。

十一、乙方在试用期和合同期内应当遵守有关的劳动纪律，服从甲方的管理和指挥，违反劳动纪律的，按《企业职工奖惩条例》和本企业的规章制度处理。

十二、在合同期内，如果乙方被证明不符合录用条件或不能胜任工作，甲方可以解除劳动合同，甲方将按乙方在甲方的工作年限每满一年发给一个月工资的经济补偿，但最高不超过乙方十二个月的工资收入。

十三、在合同期内，如果本合同订立时的客观情况发生变化，如甲方转产、搬迁等，致使本合同无法履行的，甲方可以解除劳动合同，甲方将按乙方在甲方的工作年限每满一年发给一个月工资的经济补偿金。

十四、在合同期内，如果乙方患职业病或因工负伤，被确认为完全丧失或者大部分丧失劳动能力，在甲方按法律规定支付了伤残就业补助金后，劳动合同自然终止。

十五、在合同期内，发生甲方破产、解散或者被撤销情况的，劳动合同自然终止。

十六、在合同期内，未经甲方同意，乙方不得结婚，违者将不得享受有关的婚假和生育假期。违反本条规定的，甲方有权解除劳动合同，年终工资将不予结算，乙方的承包抵押金将不予退还。

十七、乙方提前离职，应交纳在岗期间的培训费，按工资的10％计算。

十八、除第第七条、第十一条、第十六条的规定，任何一方，无论以哪一种理由要求解除劳动合同，都必须提前15日向对方提出，并取得对方的同意。

十九、乙方在甲方看到、听到、接触到的均为企业的商业秘密，为保护企业的商业秘密，乙方解除劳动合同，必须提前六个月通知甲方，甲方有权在此期间采取脱密措施。同时在劳动合同结束后的四年中，乙方不得以任何借口为理由，到同行业的其他企业工作。

二十、本合同自签字之日起生效，双方都必须严格执行。任何一方违反上述规定，均需向对方支付三个月的劳动报酬作为违约金。

甲方：××××企业（盖章）

法定代表人：××（签字）乙方：××（签字）

签字日期：××××年××月××日

第三篇：放缩法典型例题

放缩法典型例题

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．

一．先求和后放缩

例1．正数数列（1）数列的前项的和的通项公式；，满足，试求：

（2）设解：（1）由已知得，数列的前项的和为，所以时，求证：，作差得：，又因为，得为正数数，所列，所以以，即是公差为2的等差数列，由（2），所以

注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列倒序相加等方法来求和．

二．先放缩再求和

1．放缩后成等差数列，再求和

例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.满足条件）求和或者利用分组、裂项、(1)求证：；

(2)求证：

解：（1）在条件中，令有，得，上述两式相减，注意到

∴，又由条件得

所以，所以

（2）因为，所以，所以；

2．放缩后成等比数列，再求和

例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；

（2）等比数列{an}中，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{bn}前n项的和为Bn，证明：Bn＜．

解：（1）当n为奇数时，an≥a，于是，当n为偶数时，a－1≥1，且an≥a2，于是

． ．

（2）∵，，∴公比． ∴．

．

∴

3．放缩后为差比数列，再求和 ．

例4．已知数列满足：，．求证：

证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：． 令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．

4．放缩后为裂项相消，再求和

例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞P（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列

．j

（1）求a4、a5，并写出an的表达式； 的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列

321的逆序数

（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以

=

综上，..注：常用放缩的结论：（1）

（2）．

在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论

相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．为裂项

第四篇：警惕癌症错误饮食法

警惕癌症错误饮食法

经常在外面吃饭。当今是经济快速发展的时代，生活水平的迅猛提高，也改变了人们居家饮食的良好习惯。许多人由于工作的原因，不得不经常在外应酬，其实，这样的饮食方式对身体健康是非常不利的。由于经常在外吃饭，造成了饮食无定时，时间一久必然使自身的脾胃功能受到损害，进入一种“癌状态”中。

另一方面，外面售卖的食物，为了追求色香味，通常会使用高温油炸的方法，或者加入大量调味剂，比起家庭烹饪的食物，它们含有更多的致癌物质。同时，大家在聚会中大量饮酒，这些无疑都加重了胃肠负担，为癌症的发生提供了条件。

经常饮酒过量：从保健方面讲，适量饮酒能兴奋神经，让人产生愉悦的感觉，有提神醒脑、舒筋活血的生理功能，可以松弛血管，改善血液循环，提高人体免疫力，增进食欲，有利于睡眠。国外的研究分析显示，每日饮酒少于20克，可使冠心病风险降低20%，在糖尿病、高血压、陈旧性心肌梗死病人中，也得到同样结果。

适量饮酒对人体有益处，与酒精能升高高密度脂蛋白（可防治动脉粥样硬化发生、发展）、抗血小板血栓形成和提高人体对胰岛素的敏感性有关，对防治冠心病、糖尿病有一定效果。任何事情都要适可而止，过量饮酒则对健康有害无益。酒的主要成分乙醇，是一种对人体各种组织细胞都有损害的有毒物质，能损害全身各个系统。

不经常吃蔬菜和水果。膳食讲究平衡，蔬菜水果是我们日常膳食中的重要组成部分，所以，如果平时只爱吃肉，不爱吃蔬菜和水果，就增加了患癌的风险性。

长期大量摄入红肉和熟肉制品分别使结肠癌危险增加29%和50%。临床医生说，有一对孪生兄弟，他们共同的饮食习惯就是吃肉喝酒，不吃蔬菜和水果，结果非常不幸，弟弟得了结肠癌，一年后哥哥也被确诊为晚期胃癌。

蔬菜和水果是维生素C与纤维素的最好供给源，一直被认为具有很好的抗癌作用。研究显示：胡萝卜、西红柿、葱、大蒜、萝卜、橘类水果等具有较强的抗癌作用，尤其是对口腔、食道、胃、结肠、肺等部位的肿瘤作用更强。所以，建议大家平时多注意吃蔬菜和水果。

在人类“回归自然”的潮流中，天然药物（包括中药）由于毒副作用小，而越来越受到人们的青睐。目前国际社会对天然药物的需求日益扩大，中药也正在世界范围得到逐步接受。“藏药雷丸”是继紫杉醇之后人类在抗癌史上的又一重大发现。它的问世将为癌症患者带来新的希望。

第五篇：商业计划书的典型错误

融资失败之源just a couple of weekslike one million in R&D expenses in Year 2, and two million in Year 3things like revenues per employee, gross margin per employee, gross margin as a percentage of revenues, and various expense ratios(general and administrative, sales and marketing, research and development, and operations as a percentage of total operating expenses).Nobody ever believes that assumptions are conservative, even if they truly are.Develop realistic assumptions that you can support, refrain from using the words “conservative” or “aggressive” in your plan, and leave it at that.Many business plans err by stating that their company is worth a certain amount.How do you know? The value of a company is determined by the marketand unless you are in the business of buying, selling, or investing in companies, you probably don't have an acute sense of what the market will bear.If you name a price, one of two things can happen:(a)your price is too high, and investors will toss your plan;or(b)your price is too low, and investors will take advantage of you.Both are bad.The purpose of the business plan is to tell your story in the most compelling manner possible so that investors will want to go to the next step.You can always negotiate the price later.Stylistic Mistakes

If you make silly mistakes in your business plan, what does that say about how you run your business?

Use your spelling and grammar checkers, get other people to edit the plan, do whatever it takes to purge embarrassing errors.All too often, a plan covers the same points over and over.A well-written plan should cover key points only twice: once, briefly, in the executive summary, and again, in greater detail, in the body of the plan.At any point in time, an investor has dozens if not hundreds of plans waiting to be read.Get to the top of the pile by making sure that the cover is attractive, the binding is professional, the pages are well laid out, and the fonts are large enough to be easily read.On the other hand, don't go too farpreferably people who understand your market, sales and distribution strategies, the VC market, etc.Your plan may look perfect to you and your team, but that's probably because you've been staring at it for months.Good, objective reviews from outsiders with a fresh perspective can save you from myopia.You could spend countless hours tweaking your plan in the pursuit of perfection.A lot of this time would be better spent working on your product, company, and customers.At some point, you need to pull the trigger and get the plan out in front of a few investors.If the reaction is positive, and they want to move forward, great.If the reaction is negative(assuming that the investor was a good fit to begin with), then you may have been heading down the wrong path.Get feedback from a couple of investors, and if a general consensus emerges, go back and refine your plan.Conclusion

It's a tough investment climate, but good ideas backed by good teams and good business plans are still getting funded.Give yourself the best possible chance by avoiding these simple mistakes.