数列极限的解法

第一篇：数列极限的解法

数列极限的解法

摘要本文提出了数列极限计算中四种不同题型，并对每种题型进行了分析说明。指出在数列极限计算中不仅要掌握各种题型的解题方法，更注意每种题型的条件要求。

关键词极限连续性可惜收敛准则

中图分类号

数学发展至今，已广泛的渗透到各个学科，运用到各个领域。大多数同学感到数列极限学起来非常困难，原因在于数列极限概念不仅抽象，计算也有一定难度。因此，熟练准确的计算数列极限，对学好数学分析十分必要。

一、利用极限的运算法则求数列极限

说明：

1、利用公式

2、无理部分先要进行有理化。

3、利用三角函数和差化积。

[例1]

[例2]

二、利用无穷小量的性质求数列极限

说明：（1）有限个无穷小量的和与积仍是无穷小量。

（2）有界函数与无穷小量的积是无穷小量。

[例3]

三、利用双逼准则求数列极限

定理：设{}，{}，{}是三个数列。若N, ,有

[例4] 求极限解：设

于是由有已知,有

四、利用柯西收敛准则求数列极限

内容：数列{}收敛

.[例5]已知

证明：设存在n>m,=

所以，,当n>m>N时，由柯西收敛准则，所以存在。

通过以上几例可以看出，极限运算要想达到熟练准确，不仅要熟练掌握各种方法，还要特别注意条件要求，解题过程中，必须检查符合条件要求时，才可以使用相应的法则，为正确得出解题思路寻找突破口。

参考文献：

[1]《数学分析》上册，高等教育出版社。202_年7月第四版。

第二篇：数列极限的解法(15种)

1.定义法

N定义：设an为数列，a为定数，若对任给的正数，总存在正数N，使得当nN时，有ana，则称数列an收敛于a.记作：limana.否则称ann为发散数列.例1.求证lima1,其中a0.n1n

证：当a1时，结论显然成立.当a1时，记a1，则0，由a11n1n(1)

1a1a1N时，就有an1，即得a1，任给0，则当nn1nn1n1n

a1即lima1, n1n1n

当

1110a1时，令b,则b1,由上易知limbn1,limannna1limbn1n1综上，lima1,a0 n1n

例2.求lim nn!

7n7777777777771解： n!12789n1n7!n6!n

7717n7717n77100,N,则当nN时，有n!06!n< n!6!n6!

lim0 nn!

2.利用柯西收敛准则

0,正整数N，柯西收敛准则：数列an收敛的充要条件是：使得当n,mN

时，有anam.例3.证明：数列xnsink(n1,2,3,)为收敛数列.kk12n

证

11nm

sin(m1)sinn111)11xnxm(2m12n2m12n2m1112mm

1

0，取N，当nmN时，有xnxm



由柯西收敛准则，数列xn收敛.例4.（有界变差数列收敛定理）若数列xn满足条件xnxnx1xn1xn

2x

1，M(n1,2,)

则称xn为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛证：令y10,ynxnxn1xn1xn2x2x1

那么yn单调递增，由已知知yn有界，故yn收敛，从而0,正整数

N，使得当nmN时，有 ynym

此即xnxmxnxn1xn1xn2xm1xm 由柯西收敛准则，数列xn收敛.注：柯西收敛准则把N定义中的an与a的关系换成了an与am的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性.3．运用单调有界定理

单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.例5.证明数列xnn个根式,a>0,n=1,2,）极限存在，并求

limxn.n

证：由假设知xn（1）用数学归纳法易证：xn1xn,kN 2 此即证xn单调递增.用数学归纳法可证xn1xn，事实上，0xn1

1

由（1）（2）证得xn单调递增有上界，从而limxnl存在，对（1）式两边

n

取极限得

l

解得l

l

limxn

n

4．利用迫敛性准则（即两边夹法）

迫敛性：设数列an,bn都以a为极限，数列cn满足：存在正数N，当n>N时，有ancnbn，则数列cn收敛，且limcna.n

例6.求

12nlim222 nnn1nn2nnn

12n解：记xn222，则

nnnnn1nn2

12n12n

x n

n2nnn2n1



n(n1)n(n1)

x n22

2(n2n)2(nn1)

lim

n(n1)1n(n1)

lim

n2(n22n)2n2(n2n1)

12n1由迫敛性得lim222=2.nnn1nn2nnn

注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用.5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为fx定义在a,b上的一个函数，J为一个确定的数，若对任给的正数0，总存在某一正数，使得对a,b的任意分割T,以及在其上任

意选取的点集i,ixi1,xi只要T<，就有

fxJ

i1

，则称函数fx在a,b上（黎曼）可积，数J为fx在a,b上的定积分，记作

Jfxdx.a

例7.limn!nn2n!

n 解：原式=

n1

nn

12n1i

=lim111explimln1

n

nnnni1nn

=exp

ln1xdxexp2ln21

2nsinsinsin例8.求lim nn1nn

2n

解：因为

2n2n2nsinsinsinsinsinsinsinsinsinn1n1nnn

2nn

sin



sin

又lim

n

2n

sinlimn1sinsin2sinn

nn1nn1nnn



 

2nsin

12=limsinxdx

nn10

2nsinsinsin2 同理limn1n

n2nsinsinsin2由迫敛性得lim=.nn1nn

2n

注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义.部分

sin

sin



相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论。

6．利用（海涅）归结原则求数列极限

归结原则：limfxA对任何xnx0n，有limfxnA

xx0

n

en1

例9.求lim

n1

ene0en1x'

ex0解：lim=lim

nn0nn

11

例10.计算lim12

n

nn

111

解：一方面，121en

nnn

11n1

另一方面，1212

nnn

n2n

n1n1

n112

n

2n1

n2,n2,3,）由归结原则（取xn

n1

n1lim12nn

2n1

n112

n

n1

1

lim1e x

x

11

由迫敛性得lim12=e

n

nn

注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决.

第三篇：数列极限

《数学分析》教案--第二章数列极限

xbl

第二章数列极限

教学目的：

1.使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质；

2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。要求学生：逐步建立起数列极限的数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的并能运用

概念.深刻理解定义证明有关命题，语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性；

教学重点、难点：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的用.教学时数：16学时

定义及其应

§ 1 数列极限的定义

教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。

教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的N定义及其应用。教学时数：4学时

一、引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入——

二、讲授新课：

（一）数列：

1.数列定义——整标函数.数列给出方法: 通项,递推公式.数列的几何意义.-《数学分析》教案--第二章数列极限

xbl

2.特殊数列: 常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列.（二）数列极限: 以为例.定义(的 “

”定义)定义(数列收敛的“

”定义)注：1.关于：的正值性, 任意性与确定性,以小为贵;2.关于：非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义.（三）用定义验证数列极限：讲清思路与方法.例1

例2

例3

例4

证

注意到对任何正整数

时有

就有

第四篇：数列极限

若当n无限增大时数列能无限的接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限，不具有这种特性的数列不是收敛数列

收敛数列的特性是随着n的无限增大，数列无限接近一个常数a，这就是说，当n充分大时，数列的通项与常数a之差的绝对值可以任意小

第五篇：数列极限

§2.1 数列极限概念

第二章数列极限

§1 数列极限概念

Ⅰ.教学目的与要求

1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛.2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数.Ⅱ.教学重点与难点:

重点: 数列极限概念.难点: 数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数.Ⅲ.讲授内容

若函数f的定义域为全体正整数集合N+，则称

f:NR或f(n), nN

为数列．因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f(n)也可写作

a1,a2,,an,,或简单地记为{an}，其中an，称为该数列的通项．

关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子．

例1古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．

把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺)：第一天截下111，第二天截下2，„„，第n天截下n，„„这样就得到一个数列 22

21111,2,,n,．或n.2222

不难看出，数列{11}的通项随着n的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数2n2n

列{an}，若当n无限增大时an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．

收敛数列的特性是“随着n的无限增大，an无限地接近某一常数a”．这就是说，当n充分大时，数列的通项an与常数a之差的绝对值可以任意小．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．

定义1设{an}为数列，a为定数．若对任给的正数，总存在正整数N，使得当，n>N

时有|ana|则称数列

n

{an收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作

limana，或ana(n).读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”．

若数列{an}没有极限，则称{an}不收敛，或称{an}为发散数列．

定义1常称为数列极限的—N定义．下面举例说明如何根据N定义来验证数列极限．

例2证明lim证由于

0，这里为正数

nn

110|, nn



1故对任给的>0，只要取N=1



这就证明了lim



1，则当nN时，便有 

111|0|.即nNn

0.nn

例3证明

3n2

3.lim2

nn

3分析由于

3n299

|2(n3).(1)|2

n3n3n

因此，对任给的>o，只要

9，便有 n

3n2

3|,(2)|2

n3

即当n



时，(2)式成立．又由于(1)式是在n≥3的条件下成立的，故应取

Nmax{3,9



证任给0,取Nmax{3,据分析，当nN时有（2）式成立.于是本题得证.9



注本例在求N的过程中，(1)式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便．但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的E能确定出N．又(3)式给出的N不一定是正整

数．一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要它是正数即可．例4证明limq=0，这里|q|<1．

n

证若q=0，则结果是显然的．现设0<|q|<1．记h我们有

|q0||q|

1，则h>0． |q|, n

(1h)

并由(1h)n1+nh得到

.(4)

1nhnh1,则当nN时，由（4）式得|qn0|.这对任给的0,只要取Nh

|q|

就证明了limq0.n

注本例还可利用对数函数ylgx的严格增性来证明(见第一章§4例6的注及(2)式)，简述如下：

对任给的>0(不妨设<1)，为使|qn0||q|n，只要nlg|q|lg即n

lg

（这里也假定0|q|1).lg|q|

于是，只要取N

lg

即可。lg|q|

例5证明lima1=1，其中a>0．

n

证(ⅰ)当a1时，结论显然成立.(ⅱ)当a1时，记a1，则0.由

a(1)1n1n(a1)

得a1

a1

(5)n.1n

任给0，由(5)式可见，当n

a1



N时，就有a1，即|a1|.所以

lima1.n

(ⅲ)当0a1时，,1n

１

－１则0.由

11

(1)n1n1n1aa

a111a1

得1a（6）1

na1.1n1a1n1a

任给0，由（6）式可见，当n１所以lima1.n

a11



N时，就有1a，即|a1|.1n1n

关于数列极限的—N定义，应着重注意下面几点：

1．的任意性定义1中正数的作用在于衡量数列通项an与定数a的接近程度，愈小，表示接近得愈好；而正数可以任意地小，说明an与a可以接近到任何程度．然而，尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又既时任意小的正数，那么

,3或2等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式



|ana|中的可用,3或2等来代替．同时，正由于是任意小正数，我们可限定

小于一个确定的正数(如在例4的注给出的证明方法中限定<1)．另外，定义1中的|ana｜＜也可改写成|ana|.2．N的相应性一般说，N随的变小而变大，由此常把N写作N()，来强调N是依赖于的；但这并不意味着N是由所唯一确定的，因为对给定的，比如当N=100时，能使得当•n>N时有|ana|，则N=101或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定义1中的，n>N也可改写成nN．3．从几何意义上看，“当n>N时有|aa|”意味着：所有下标大于N的项aｎ都落在邻域U(a;)内；而在U(a;)之外，数列{an}中的项至多只有N个(有限个)．反之，任给>0，若在U(a;)之外数列{an}中

N，n

则当n>N时有anU(a,)，即当n>N时有|ana|<．由此，我们可写出数列极限的一种等价定义如下：

定义1任给>0，若在U(a,)之外数列an中的项至多只有有限个，则称数列an

收敛于极限a．

由定义1，可知，若存在某０0，使得数列{an}中有无穷多个项落在U(a,0)之外，则{an}一定不以a为极限．

例6证明{n2}和{(1)n}都是发散数列．

证对任何aR，取01，则数列{n}中所有满足na1的项(有无穷多个)显然

都落在U(a;0)之外，故知{n2}不以任何数a为极限，即{n2}为发散数列.至于数列{(1)n}，当a1时取01，则在U(a;0)之外有{(1)n}中的所有奇数项；当a1时取0

|a1|,则在U（a;0)之外有{(1)n}中的所有偶数项．所以2

{(1)n}不以任何数a为极限，即{(1)n}为发散数列．例7设limxnlimyna，做数列{zn}如下：

n

{zn}:x1,y1,x2,y2,,xn,yn,.证明limzna.n

证，因limxnlimyna,故对任给的0，数列{xn}和{yn}中落在U(a;)之外

n

n的项都至少只有有限个.所以数列{zn}中落在U(a;)之外的项也至多只有有限个．故由定义1'，证得limzna．

n

例8设{an}为给定的数列，{bn}为对{an}增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列{bn}与{an}同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等．

证设{an}为收敛数列，且limana．按定义1，对任给的>0，数列{an}中落在n

U(a;)之外的项至多只有有限个．而数列{bn}是对{an}增加、减少或改变有限项之后得到的，故从某一项开始，所以{bn}中落在U(a;)之{bn}中的每一项都是{an}中确定的一项，外的项也至多只有有限个．这就证得limbna．

n

现设{an}发散．倘若{bn}收敛，则因{an}可看成是对{bn}增加、减少或改变有限项之

后得到的数列，故由刚才所证，{an}收敛，矛盾．所以当{an}发散时，{bn}也发散．在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义2若liman0，则称{an}为无穷小数列．

n

由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：

定理2.1数列{an}收敛于a的充要条件是：{ana}为无穷小数列．

Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出limana和liman不存在的“—N”定义.n

n

Ⅴ 课外作业: P２７ 2、3、4、6、7、8.