等差数列、等比数列的证明及数列求和5篇

第一篇：等差数列、等比数列的证明及数列求和

等差数列、等比数列的证明

1．已知数列an满足a11，an3an12n3n2，（Ⅰ）求证：数列ann是等比数列；

（Ⅱ）求数列an的通项公式。

2．已知数列an满足a15，an12an3nnN*，（Ⅰ）求证：数列an3n是等比数列；

（Ⅱ）求数列an的通项公式。

3．已知数列an满足a11，an2an12（Ⅰ）求证：数列an是等差数列； n2nn2，（Ⅱ）求数列an的通项公式。

4．已知数列an满足a12，an1

an12an，1

（Ⅰ）求证：数列是等差数列；

an

（Ⅱ）求数列an的通项公式。

5．已知数列an，Sn是它的前n项和，且Sn14an2nN，a1

1*

（Ⅰ）设bnan12annN*，求证：数列bn是等比数列；（Ⅱ）设cn

an

2n，求证：数列cn是等差数列；

（Ⅲ）求数列an的通项公式。

数列求和的方法介绍

一、公式法

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、等差数列求和公式：Sn

n(a1an)

na1

n(n1)

2d2、等比数列求和公式：Sn

na1n

aanqa1(1q)



11q1q

(q1)(q1)

二、错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列

三、裂项相消法

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解，其中裂项是手段，相消是目的。常见的裂项法有：

（1）an

1n(n1)

1n(n2)



1n



1n

1（2）an

1n(n1)



1n1



1n

n2

（3）an



111

2nn2

1anan1



（4）若an等差，公差为d0，则

11

【裂项原理】 an1an

（5）

2n12n1



例

1、已知数列an是等差数列，设其前n项和为Sn，若a59，S525（Ⅰ）求数列an的通项公式an；

（Ⅱ）设bn3，求数列bn的前n项和Tn

an

例

2、已知数列an的通项公式为an2n13，求前n项和Sn

n

例

3、已知数列an是等差数列，设其前n项和为Sn，若S535，S10120（Ⅰ）求数列an的通项公式an和Sn；（Ⅱ）设bn

1Sn，求数列bn的前n项和。

第二篇：数列求和公式证明

1）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6从左边推到右边

数学归纳法可以证

也可以如下做 比较有技巧性

n^2=n(n+1)-n

1^2+2^2+3^2+......+n^

2=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n

=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)

由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/

3所以1*2+2*3+...+n(n+1)

=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3

[前后消项]

=[n(n+1)(n+2)]/3

所以1^2+2^2+3^2+......+n^2

=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2

=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]

=n(n+1)[(2n+1)/6]

=n(n+1)(2n+1)/6

2）1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）=？

设n为奇数,1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=

=(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1)

=2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1)

=8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1)

=8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1)

=n(n+1)(n+2)/3

设n为偶数,请你自己证明一下！

所以，1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

设an=n×（n+1）=n^2+n

Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）

=(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2

=n(n+1)(n+2)/3

数列求和的几种方法

1.公式法：

等差数列求和公式:

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

等比数列求和公式：

Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q)(q≠1)

2.错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn

例如：an=a1+(n-1)dbn=a1·q^(n-1)Cn=anbn

Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn

qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)

Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)

=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)Tn=上述式子/(1-q)

3.倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)

Sn =a1+ a2+ a3+......+anSn =an+ a(n-1)+a(n-3)......+a1上下相加 得到2Sn 即 Sn=（a1+an)n/

24.分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例如：an=2^n+n-1

5.裂项法

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。常用公式：

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5）n·n!=(n+1)!-n!

[例] 求数列an=1/n(n+1)的前n项和.解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)（裂项）

则Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）＝ 1-1/(n+1)＝ n/(n+1)

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意： 余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的。2余下的项前后的正负性是相反的。

6.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

例：求证：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3)=

[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5证明： 当n=1时，有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 +1)= 2×3×4×5×6/5假设命题在n=k时成立，于是：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3)=

[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5则当n=k+1时有：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… +(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=

[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 +(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=

(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证

7.通项化归

先将通项公式进行化简，再进行求和。如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。

8.并项求和：

例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n（并项）

求出奇数项和偶数项的和，再相减。

第三篇：等差数列和等比数列

一．等差数列的概念

1.等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那这个数列就叫做等差数列。

2.数学符号表示：an+1-an=d（n∈N+），d为常数，称为公差。或an-an-1=d（n≥2）。

3.如果d＞0，则数列为递增数列；如果d=0，则数列为常数列；如果d＜0，则数列为递减数列。

4.判断一个数列是不是等差数列：a.定义法证明。b.等差中项法。c.通项公式结构。

二．等差数列的等差中项

1.定义：如果a，A，b成等差数列，那么A则称作a与b的等差中项。

2.数学符号表达：A=（a+b）/2，2A=a+b，b-A=A-a，2an+1=an+an+2。

3.等差中项是对含有3项以及3项以上的等差数列提出来的。

三．等差数列的通项公式

1.通项公式：an=a1+（n-1）d，a1为首项，d为公差。

2.推导：

⑴归纳法

a2=a1+d，a3=a1+2d，a4=a1+3d„„ an=a1+（n-1）d。当n=1时，带入得a1=a1，即等式成立。

⑵迭加法

an-an-1=d,an-1-an-2=d,„„a3-a2=d,a2-a1=d,以上各式两边分别相加，得an-a1=（n-1）d，即an=a1+（n-1）d。

⑶迭代法

an=an-1+d=an-2+2d=an-3+3d=„„a1+(n-1)d，即an=a1+（n-1）d。

⑷逐差法

an=an-an-1+an，an-1=an-1-an-2+an+2，„„a2=a2-a1+a1，则 an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+„„+（a2-a1）+a1= a1+（n-1）d。

3.通项公式的变形：ap-aq=（p-q）d。

4.通项公式中，可以看出an由两个基本量d、a1决定，所以只要知道两个基本量就可以求等差数列中的任一项。通项公式变形中，可以看出只要知道等差数列中的任意两项，就可以其他任意一项。

四．等差数列的函数结构及图像

1.函数结构：an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d），令k=d，b=a1-d，则an=kn+b，即结构是关于n的一次形式。（线性结构）

2.图像：是直线an=kn+b上的均匀分布的离散点列。

五，等差数列的性质

1.下标和性质（中项性质）

若p+q=m+n，则ap+aq=am+an。特别的，若p+q=2b，则ap+aq=2ab。

2.定距抽取性质

等差数列每隔一定距离抽取一项所组成的数列仍成等差数列。

六．等差数列的前n项和

1.公式：Sn=n(a1+an)/2。

2.推导：（反序相加求和法）

Sn=a1+a2+a3+„„+an，Sn=an+an-1+an-2+„„+a2+a1，故2Sn=n(a1+an)，即Sn=n(a1+an)/2。

还可以得到Sn=na1+n(n-1)d/2。（Sn仍由两个基本量决定）

七．an与Sn的关系

当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1。（分段）

八．等差数列前n项和的函数结构及图像

221.函数结构：Sn=na1+n(n-1)d/2，即Sn=d/2n+(a1-d/2)n，令A=d/2，B=(a1-d/2)，则Sn=An+Bn，即结构是关于n的一元二

次形式（无常数项）。（待定系数法）

22.图像：是抛物线Sn=An+Bn上的一群离散点列。

九．等差数列前n项和的性质

1.中项性质的拓展

若（1+n）/2是正整数，则Sn=na中；若（1+n）/2不是正整数，则Sn=n（an/2+an/2+1）/2。

22.只要{ an }的前n项和Sn的结构符合Sn=An+Bn，则{ an }为等差数列。

证明：当n=1时，a1=s1=a+b；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an+b-a，检验：当n=1时，a1=a+b，所以符合。则an为等差数列。

3.依次k项和（连续片段和）

2Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，„„成等差数列，且公差为原公差的k倍。

应用前提：⑴条件结论均为和。⑵下标成倍数（或则有公倍数）。

十．等差数列前n项Sn的最值

法一：Sn的通项公式是关于n的一元二次函数，利用函数观点来解决，要注意定义域的特殊性。

法二：从an的符号分析——转折项（临界项）

⑴a1＞0，d＞0，则S1最小，无最大值；

⑵a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，无最小；（令an≥0，an+1≤0）

⑶a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，无最大值；（令an≤0，an+1≥0）

⑷a1＜0，d＜0，则S1最大，无最小值。

一．等比数列的概念

1.等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那这个数列就叫做等比数列。

2.数学符号表示：an+1/an=q（n∈N+），q为常数，称为公比。或an/an-1=q（n≥2）。

3.注意：⑴公比不能为0，若公比中含有未知数，则要分类讨论。且等比数列的每一项都不能为0，存在为0的项的数列一定不是等比数列。

⑵常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列。

4.判断一个数列是不是等比数列：

二．等差数列的等差中项

1.定义：如果a，G，b成等比数列，那么G则称作a与b的等比中项。

22.数学符号表达：G=ab，b/G=G/a，an+12=anan+2，G=±√a+b（只有同号的两项才有等比中项，即相隔项符号一定相同。）

3.等比中项是对含有3项以及3项以上的等比数列提出来的。

4.当a，b同号时，G值有两个；当a，b异号时，G不存在。

三．等比数列的通项公式

n-11.公式：an=a1*q（q不为0）。

2.推导：

⑴归纳法

23n-1a2=a1q，a3=a1q，a4=a1q„„ an=a1q。当n=1时，带入得a1=a1，即等式成立。

⑵累积法

n-1n-1a2/a1=q，a3/a2=q，a4/a3=q，„„an/an-1=q，以上各式两边分别相乘，得an/a1=q，即an=a1*q。

⑶迭代法

23n-1n-1an=an-1q=an-2q=an-3q=„„a1q，即an=a1+q。

m-n3.通项公式的变形：am/an=q。

4.通项公式中，可以看出an由两个基本量d、a1决定，所以只要知道两个基本量就可以求等比数列中的任一项。通项公式变形中，可以看出只要知道等比数列中的任意两项，就可以其他任意一项。

四．等比数列的函数结构及图像

n-1nn1.函数结构：an= a1*q=（a1/q）q，令k=（a1/q），an=k q，则即结构是关于n的指数形式。

n2.图像：是指数函数an=（a1/q）q上的一群离散点列。

五，等比数列的性质

1.下标和性质（中项性质）

2若p+q=m+n，则apaq=aman。特别的，若p+q=2b，则apaq=ab。

2.等比数列的增减性

当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{ an }是递增数列；

当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{ an }是递减数列；

当q=1，{ an }是常数列；当q＜0时，{ an }是摆动列。

六．等比数列的前n项和

1.公式：Sn1+an)/2，q≠1；（分段）

n1（1-q）/1-q，q=1。

2.推导：（错位对齐相减法）

23n-1Sn=a1+a2+a3+„„+an，即Sn=a1+a1q+a1q+a1q+„„+a1q，①

23n-1nqSn=a1q+a1q+a1q+„„+a1q+a1q，②

nn①-②，得（1-q）Sn=a1-a1q，当q≠1时，Sn=a1（1-q）/1-q；当q=1时，Sn=na1。

还可以得到Sn=（a1-anq）/1-q。（Sn仍由两个基本量决定）

七．等差数列前n项和的性质

1.依次k项和

mSk，S2k-Sk，S3k-S2k，„„成等比数列，且公比为原公比的q倍。

2.前n项积Tn与中项的关系：Tn=a中n

一．等差与等比的转换

等差取指数变为等比，等比取对数变为等差。

二．数列应用题

1.设题。2.增加具体数值——等差数列；增加比率（百分比、增长率）——等比数列。

三．数列构造（加减乘除）

1.等差数列{ an }、{ bn }

{ an ± bn }——等差；{ an * bn }——基本不是等差，除非是c* bn（c为常数）；{ an / bn }——基本不是等差，除非是bn/c（c为常数）。（一次加一次还是一次）

2.等比数列{ an }、{ bn }

{ an ± bn }——基本不是等差，除非公比相等；{ an * bn }——等比数列；{ an / bn }——等比数列。

四．一般数列{ an }

1.已知an求Sn——数列求和

①等差±等比——各自求和，再求总和。

②等比±等比——各自求和，再求总和。

③等差*等比——错位对齐相减法。（a.乘公比，对齐；b.相减，中间对齐为等比，注意首项能否合并；c.整理；d.检验）。

22+22④等差*等差——公式法1+23+„„+n=n(n+1)(2n+1)/6。

⑤分式且分母为二次（分母为两个等差相乘）——裂项求和。

2.已知Sn求an——已知和求通项

利用an与Sn的关系，注意“分段”求解。

3.an与Sn混合①消去Sn转化为an的递推公式

方法：降标两式相减，消去Sn，一定要注意n≥2。

②消去an转化为Sn的递推公式

方法：带入an=Sn-Sn-1，一定要注意n≥2。

4.由递推公式求通项公式

①基本数列的递推

a． 等差数列：递推结构：一次函数且k=1，即y=x+d。

b． 等比数列：递推结构：一次函数，且常数项为0，即y=kx。

②差数列（等差数列的推广）

递推结构：an-an-1=f(n)（n≥2）——迭加法。

商数列（等比数列的推广）

递推结构：an/an-1=f(n)（n≥2）——迭乘法。

③一阶线性递推——一阶：一项只有前一项决定，线性：一次。

法一：迭代法法二：常数项分解到两边（两边各加一点），构成成新的数列，即为等比数列。

第四篇：等差数列与等比数列的证明

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等差数列与等比数列的证明

作者：刘春建

来源：《高考进行时·高三数学》202_年第03期

一、考纲要求

1.理解等差数列的递推关系，并能够根据递推关系证明等差数列。

2.理解等比数列的递推关系，并能够根据递推关系证明等比数列。

3.能够利用等差中项和等比中项证明等差数列和等比数列。

二、难点疑点

1.在证明等差数列和等比数列的过程中，部分学生只是求出了等差数列和等比数列的通项公式，而没有利用递推关系或者等差、等比中项进行证明。

2.在用等比中项证明等比数列的时候，没有交代各项均不为零。

3.要注意整体思想在证明等差数列和等比数列中的灵活运用。

第五篇：证明数列是等比数列

证明数列是等比数列

an=(2a-6b)n+6b

当此数列为等比数列时，显然是常数列，即2a-6b=0

这个是显然的东西，但是我不懂怎么证明

常数列吗.所以任何一个K和M都应该有ak=amak=(2a-6b)k+6bam=(2a-6b)m+6bak-am=(2a-6b)(k-m)因为ak-am恒为0km任意所以一定有2a-6b=0即a=3b

补充回答：题目条件看错,再证明当此数列为等比数列时

2a-6b=0

因为等比a3:a2=a2:a

1即(6a-12b)*2a=(4a-6b)^

2a^2-6ab+9b^2=0

即(a-3b)^2=0

所以肯定有a=3b成立

2数列an前n项和为Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)证明

(1)(Sn/n)是等比数列

(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S/=

2S1/1=A1=

1所以Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列

2、由1有Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列

所以Sn/n的通项公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)

=n2^(n-1)-(n-1)2^(n-2)

=n*2*2^(n-2)-(n-1)2^(n-2)

=*2^(n-2)

=(n+1)2^(n-2)

=(n+1)*2^n/2^

2=(n+1)2^n/

4=S(n+1)/4

所以有S(n+1)=4An

a(n)-a(n-1)=2(n-1)

上n-1个式子相加得到：

an-a1=2+4+6+8+.....2(n-1)

右边是等差数列，且和=(n-1)/2=n(n-1)

所以：

an-2=n^2-n

an=n^2-n+24、已知数列{3*2的N此方}，求证是等比数列

根据题意，数列是3*2^n(^n表示肩膀上的方次),n=1,2,3,...为了验证它是等比数列只需要比较任何一项和它相邻项的比值是一个不依赖项次的固定比值就可以了.所以第n项和第n+1项分别是3*2^n和3*2^(n+1),相比之后有:

/(3*2^n)=

2因为比值是2,不依赖n的选择,所以得到结论.5数列an前n项和为Sn已知a1=1a(n+1)=(n+2)/n乘以Sn(n=1,2,3......)证明

(1)(Sn/n)是等比数列

(2)S(n+1)=4an1、A(n+1)=(n+2)sn/n=S(n+1)-Sn

即nS(n+1)-nSn=(n+2)Sn

nS(n+1)=(n+2)Sn+nSn

nS(n+1)=(2n+2)Sn

S(n+1)/(n+1)=2Sn/n

即S/=

2S1/1=A1=

1所以Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列

2、由1有Sn/n是以2为公比1为首项的等比数列

所以Sn/n的通项公式是Sn/n=1*2^(n-1)

即Sn=n2^(n-1)

那么S(n+1)=(n+1)2^n,S(n-1)=(n-1)2^(n-2)

An=Sn-S(n-1)