数列极限

第一篇：数列极限

§2.1 数列极限概念

第二章数列极限

§1 数列极限概念

Ⅰ.教学目的与要求

1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛.2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数.Ⅱ.教学重点与难点:

重点: 数列极限概念.难点: 数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数.Ⅲ.讲授内容

若函数f的定义域为全体正整数集合N+，则称

f:NR或f(n), nN

为数列．因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f(n)也可写作

a1,a2,,an,,或简单地记为{an}，其中an，称为该数列的通项．

关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子．

例1古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．

把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺)： 第一天截下111，第二天截下2，„„，第n天截下n，„„这样就得到一个数列 22

21111,2,,n,．或n.2222

不难看出，数列{11}的通项随着n的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数2n2n

列{an}，若当n无限增大时an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．

收敛数列的特性是“随着n的无限增大，an无限地接近某一常数a”．这就是说，当n充分大时，数列的通项an与常数a之差的绝对值可以任意小．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．

定义1设{an}为数列，a为定数．若对任给的正数，总存在正整数N，使得当，n>N

时有|ana|则称数列

n

{an收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作

limana，或ana(n).读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”．

若数列{an}没有极限，则称{an}不收敛，或称{an}为发散数列．

定义1常称为数列极限的—N定义．下面举例说明如何根据N定义来验证数列极限．

例2证明lim证由于

|

0，这里为正数

nn

110|, nn



1故对任给的>0，只要取N=1



这就证明了lim



1，则当nN时，便有 

111|0|.即nNn

0.nn

例3证明

3n2

3.lim2

nn

3分析由于

3n299

|2(n3).(1)|2

n3n3n

因此，对任给的>o，只要

9，便有 n

3n2

3|,(2)|2

n3

即当n



时，(2)式成立．又由于(1)式是在n≥3的条件下成立的，故应取

Nmax{3,9



证任给0,取Nmax{3,据分析，当nN时有（2）式成立.于是本题得证.9



注本例在求N的过程中，(1)式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便．但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的E能确定出N．又(3)式给出的N不一定是正整

数．一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要它是正数即可．例4证明limq=0，这里|q|<1．

n

n

证若q=0，则结果是显然的．现设0<|q|<1．记h我们有

|q0||q|

n

n

1，则h>0． |q|, n

(1h)

并由(1h)n1+nh得到

.(4)

1nhnh1,则当nN时，由（4）式得|qn0|.这对任给的0,只要取Nh

|q|

n

就证明了limq0.n

n

注本例还可利用对数函数ylgx的严格增性来证明(见第一章§4例6的注及(2)式)，简述如下：

对任给的>0(不妨设<1)，为使|qn0||q|n，只要nlg|q|lg即n

lg

（这里也假定0|q|1).lg|q|

于是，只要取N

lg

即可。lg|q|

例5证明lima1=1，其中a>0．

n

证(ⅰ)当a1时，结论显然成立.(ⅱ)当a1时，记a1，则0.由

a(1)1n1n(a1)

1n

1n

n

1n

得a1

a1

(5)n.1n

任给0，由(5)式可见，当n

a1



N时，就有a1，即|a1|.所以

1n

lima1.n

(ⅲ)当0a1时，,1n

１

a

－１则0.由

11

(1)n1n1n1aa

a111a1

得1a（6）1

na1.1n1a1n1a

任给0，由（6）式可见，当n１所以lima1.n

a11



N时，就有1a，即|a1|.1n1n

关于数列极限的—N定义，应着重注意下面几点：

1．的任意性定义1中正数的作用在于衡量数列通项an与定数a的接近程度，愈小，表示接近得愈好；而正数可以任意地小，说明an与a可以接近到任何程度．然而，尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又既时任意小的正数，那么

,3或2等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式



|ana|中的可用,3或2等来代替．同时，正由于是任意小正数，我们可限定

小于一个确定的正数(如在例4的注给出的证明方法中限定<1)．另外，定义1中的|ana｜＜也可改写成|ana|.2．N的相应性一般说，N随的变小而变大，由此常把N写作N()，来强调N是依赖于的；但这并不意味着N是由所唯一确定的，因为对给定的，比如当N=100时，能使得当•n>N时有|ana|，则N=101或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定义1中的，n>N也可改写成nN．3．从几何意义上看，“当n>N时有|aa|”意味着：所有下标大于N的项aｎ都落在邻域U(a;)内；而在U(a;)之外，数列{an}中的项至多只有N个(有限个)．反之，任给>0，若在U(a;)之外数列{an}中

N，n

则当n>N时有anU(a,)，即当n>N时有|ana|<．由此，我们可写出数列极限的一种等价定义如下：

定义1任给>0，若在U(a,)之外数列an中的项至多只有有限个，则称数列an

'

收敛于极限a．

由定义1，可知，若存在某０0，使得数列{an}中有无穷多个项落在U(a,0)之外，则{an}一定不以a为极限．

例6证明{n2}和{(1)n}都是发散数列．

证对任何aR，取01，则数列{n}中所有满足na1的项(有无穷多个)显然

都落在U(a;0)之外，故知{n2}不以任何数a为极限，即{n2}为发散数列.至于数列{(1)n}，当a1时取01，则在U(a;0)之外有{(1)n}中的所有奇数项；当a1时取0

|a1|,则在U（a;0)之外有{(1)n}中的所有偶数项．所以2

{(1)n}不以任何数a为极限，即{(1)n}为发散数列．例7设limxnlimyna，做数列{zn}如下：

n

n

{zn}:x1,y1,x2,y2,,xn,yn,.证明limzna.n

证，因limxnlimyna,故对任给的0，数列{xn}和{yn}中落在U(a;)之外

n

n的项都至少只有有限个.所以数列{zn}中落在U(a;)之外的项也至多只有有限个．故由定义1'，证得limzna．

n

例8设{an}为给定的数列，{bn}为对{an}增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列{bn}与{an}同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等．

'

证设{an}为收敛数列，且limana．按定义1，对任给的>0，数列{an}中落在n

U(a;)之外的项至多只有有限个．而数列{bn}是对{an}增加、减少或改变有限项之后得到的，故从某一项开始，所以{bn}中落在U(a;)之{bn}中的每一项都是{an}中确定的一项，外的项也至多只有有限个．这就证得limbna．

n

现设{an}发散．倘若{bn}收敛，则因{an}可看成是对{bn}增加、减少或改变有限项之

后得到的数列，故由刚才所证，{an}收敛，矛盾．所以当{an}发散时，{bn}也发散．在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义2若liman0，则称{an}为无穷小数列．

n

由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：

定理2.1数列{an}收敛于a的充要条件是：{ana}为无穷小数列．

Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出limana和liman不存在的“—N”定义.n

n

Ⅴ 课外作业: P２７ 2、3、4、6、7、8.

第二篇：数列极限

《数学分析》教案--第二章 数列极限

xbl

第二章 数列极限

教学目的：

1.使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质；

2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义 证明数列极限等有关命题。要求学生：逐步建立起数列极限的 数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的 并能运用

概念.深刻理解定义证明有关命题，语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性；

教学重点、难点：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的 用.教学时数：16学时

定义及其应

§ 1 数列极限的定义

教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。

教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的N定义及其应用。教学时数：4学时

一、引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入——

二、讲授新课：

（一）数列：

1.数列定义——整标函数.数列给出方法: 通项,递推公式.数列的几何意义.-《数学分析》教案--第二章 数列极限

xbl

2.特殊数列: 常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列.（二）数列极限: 以 为例.定义(的 “

”定义)定义(数列 收敛的“

”定义)注：1.关于 ：的正值性, 任意性与确定性,以小为贵;2.关于：非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义.（三）用定义验证数列极限： 讲清思路与方法.例1

例2

例3

例4

证

注意到对任何正整数

时有

就有

第三篇：数列极限

若当n无限增大时数列能无限的接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限，不具有这种特性的数列不是收敛数列

收敛数列的特性是随着n的无限增大，数列无限接近一个常数a，这就是说，当n充分大时，数列的通项与常数a之差的绝对值可以任意小

第四篇：数列极限例题

三、数列的极限

(1)n1}当n时的变化趋势.观察数列{1n问题:

当n无限增大时, xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是, 如何确定? 通过上面演示实验的观察:

(1)n1当n无限增大时, xn1无限接近于1.n问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.xn1(1)n1给定

11 nn1111, 由, 只要n100时, 有xn1, 100n10010011,只要n1000时, 有xn1, 给定1000100011,只要n10000时, 有xn1, 给定10000100001给定0,只要nN([])时, 有xn1成立.定义

如果对于任意给定的正数(不论它多么小), 总存在正整数N, 使得对于nN时的一切xn, 不等式xna都成立, 那末就称常数a是数列xn的极限, 或者称数列xn收敛于a, 记为

limxna,或xna(n).n如果数列没有极限, 就说数列是发散的.注意：

N定义:limxna0,N0, 使nN时, 恒有xna.n其中记号:每一个或任给的;:至少有一个或存在.数列收敛的几何解释:

a2axN2x2x1xN1ax3x

当nN时, 所有的点xn都落在(a,a)内, 只有有限个(至多只有N个)落在其外.注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.n(1)n11.例1 证明limnnn(1)n111 .证

注意到xn1 nn任给0, 若要xn1, 只要

11,或 n, n所以, 取 N[], 则当nN时, 就有 1n(1)n11.nn(1)n11.即limnn

重要说明：（1）为了保证正整数N，常常对任给的0,给出限制01；

n(1)n11”的详细推理

（2）逻辑“取 N[], 则当nN时, 就有

n1见下，以后不再重复说明或解释，对函数极限同样处理逻辑推理.由于N立.严格写法应该是：任给0, 不妨取01，若要11N1，所以当nN时一定成立nN11，即得

1成nn(1)n11111< ,只要 n,所以, 取 N[], 则当nN时, 由于xn1=nn1111NN1，所以当nN时一定成立nN1，即得成立.也就

n是成立

n(1)n111.xn1=

nnn(1)n11.即limnn小结: 用定义证数列极限存在时, 关键是任意给定0,寻找N, 但不必要求最小的N.例3证明limq0, 其中q1.nn证

任给0(要求ε<1)若q0, 则limqlim00;

nnn若0q1, xn0q, nlnqln，nnlnln, 取N[](1), 则当nN时, 就有qn0, lnqlnqlimqn0.n0, q1,q1,, n

说明：当作公式利用：limq

n1, q1,不存在，q1.

第五篇：数列极限1

（一）迭代数列的极限

1.设x11，xn11xn(n2,3,)。证明limxn存在，并求其值。n1xn

2.设x10，xn111(xn)(n1,2,3,)。证明limxn存在，并求其值。n2xn

1A(xn)(n1,2,)。证明limxn存在，并求其值。n2xn一般情形：设A0，x10，xn1

3.设x10，xn13(1xn)(n1,2,)。证明limxn存在，并求其值。n3xn

A(1xn)(n1,2,)，其中A0。证明limxn存在，并求其值。nAxn

n一般情形：设x10，xn14.设x1

6，xn1

5.设x10，xn13n1,2,3,)。证明limxn存在，并求其值。4(n1,2,)。证明limxn存在，并求其值。nxn

n6.设数列xn满足1x1，xn1sinxn(n1,2,)。证明limxn存在，并求其值。

变式：求limsin[sin(sinx)]。n

（二）n项和式（乘积）的极限

n1111k2);1.（1）llim；(2）llim；（3）lim(n3nn154n1k112kk1(k1)!n

nn1(k1)32k

(4)lim;(已知lim, a1;e)(5)lim2knnn1k0k!k1(k1)!k!(k1)!k0an

(6)lim1111.);(提示: 22n2n12n12n2nk1

nnaak312)(a0).(7)limln3;(8)limnnnnn1k1k2

2.（1）llimcosn2cos

22cos2n2n；（2）llim(1a)(1a)(1a)，其中|a|1； n22n（3）llim(1a)(1a)(1a)，其中|a|1。n

3.设a11，a22，当n3时，anan1an2，证明：（a）an1an2an1；（b）lim

3210。nan

4.设

1a01,an

(提示:令a0cos

5.求极限limnn1,2,...)，求lim4n(1an)和lim(a1a2an).nn(0).)(1)k1nk11.3k2

(nN), 求a1a2an.nn6.设a00, 定义an11sin(an1)

7.设sin1xsinx0,sinnxsin(sinn1x)(n

2,3,...)，求极限limxnx.x3

o(x3)(x0).)(提示: 用Stolz定理, 并已知sinxx3!

8.设limn(anan1)0, 若极限limna1a2anA(有限), 则limanA.nnn

a1a2an的极限.)n(提示: 令bnanan1,则anb1b2bn,考虑an

19.设Sn2nlnC

k0nknk,其中为Cn组合数.求limSn.n

10.设m,b是常数且|b|1.又设x0m,xn1mbsinxn(nN), 证明{xn}有极限a, 且a

是满足方程xmbsinx的唯一解.(提示: 存在性用Cauchy准则.)

11.设limanan20, 证明nanan10.(提示: 现估计相邻两项差的大小,再用极限定义.)nn

12.设0xn1xn1(p1,nN).证明数列{xn}收敛.np

(提示:用极限定义验证确界原理保证的确界为其极限.)

13.设0xnmxnxm(n,mN).证明数列{xn}收敛.(提示同上题.)n

14.设xn1xn2yn,yn1xnyn(nN),x1y11,求nxn.yn(提示: 记an

xn1, 则|an1an||anan1|.)4yn