10专题十数列极限与函数极限

第一篇：10专题十数列极限与函数极限

2012年高考复习资料—第二轮复习专题练习题

华中师大一附中孟昭奎

专题十数列极限与函数极限

一、选择题

(1x)mab，则a·b=（）1．（2008年高考·湖北卷）已知m∈N, a、b∈R，若lim n0x

A．-mB．mC．-1D．1 *

2．lim(n1

4A．1 111)的值为（）464684682n1111B．C．418D．11 24

x32xa2(x1)3．若函数f(x)15a在点x=1处连续，则实数a=（）(x1)3x

1A．4B．-14C．4或-14 D．1或-4 4

4．下列命题：①发果f(x)=1，那么limf(x)=0；②如果f(x)=x1，那么f(x)=0；③如xx

x22xx,x0果f(x)=，那么limf(x)不存在；④如果f(x)，那么limf(x)=0，其中真x2x0x2x1,x0

命题是（）

A．①②B．①②③C．③④D．①②④

ax2bx3cx3bxccxa1，则lim5．设abc≠0，lim的值等于（），limxaxbxbx3cx2a3xbx2c4

419 A．4B．C．D． 944

an1abn126．设正数a, b满足lim(x+ax-b)=4，则lim等于（）nax22b11 A．0B．C．D．1 4

27．把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则lim等于（）

A．2an1na1n14B．12C．1D．2

二、填空题

8．已知数列的通项an=-5n+2，其前n项和为Sn，则lim

9．lim(x2Sn=________． nn241)=________． x24x

2专题十数列极限与函数极限

2012年高考复习资料—第二轮复习专题练习题

华中师大一附中孟昭奎

10．（2008年高考·安徽卷）在数列{an}中，an=4n-5, a1+a2+…+an=an2+bn, n∈N*，其中a, b2

anbn

为常数，则limn的值为__________． nabn

ex1,(x0)11．关于函数f(x)(a是常数且a>0)．下列表述正确的是_________．（将你2ax,(x0)

认为正确的答案的序号都填上）

①它的最小值是0

②它在每一点处都连续

③它在每一点处都可导

④它在R上是增函数

⑤它具有反函数

12．如图所示，如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_______条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=_______;f(n)=_______．（答案用数字或n的解析式表示）

三、解答题

1x(x0),13．已知f(x) xabx(x0).

（1）求f(-x)；（2）求常数a的值，使f(x)在区间(-∞, +∞)内处处连续．

14．已知{an}, {bn}都是公差不为0的等差数列，且limanaa2an2，求lim1的值． nbnnbn2n

15．已知数列{an}中a1=2, an+1=(2-1)(an+2), n=1, 2, 3, …．

（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}中b1=2, bn+1=3bn4, n=1, 2, 3, …．

专题十数列极限与函数极限

第二篇：数列极限和函数极限（最终版）

数列极限和函数极限

极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、判别方法等问题.1.极限定义

1．1 数列极限定义

设有数列an与常数A，如果对于任意给定的正数（不论它有多么小），总存在正整数N，使得当nN时，不等式anA 都成立，那么就称常数A是数列an的极限，或者称数列an收敛于A，记作limanA.n

读作“当趋n于无穷大时，an的极限等于A或an趋于A”.数列极限存在，称数列an 为收敛数列，否则称为发散数列.关于数列极限的N定义，着重注意以下几点：

（1）的任意性: 定义中正数的作用在于衡量数列通项an与定数的a接近程度越小，表示接近的越好.而正数可以任意的小,说明an与可a以接近到任何程度，然而，尽管有其任意性，但一经给出，就暂时的被确定下来，以便依靠它来求出N.（2）N的相应性: 一般说，N随的变小而变大，由此常把N写作N，来强调N是依赖与的，但这并不意味着N是由所唯一决定的，重要的是N的存在性，而不在于它值得大小.另外,定义中nN的也可以改写成nN.（3）几何意义:对于任何一个以A为中心，为半径的开区间A,A，总可以在数列an中找到某一项aN，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有an的有限项（N项）.数列是定义在自然数集上的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值,其解析表达式为anfn;我们把数列中的n用x来替换后就得到了一个函数fx,数列和函数的区别在于数列中的点是离散的,而函数是连续的,那么类似的我们也有函数极限的定义.1．2 函数极限定义

1.2.1x时函数的极限：设函数fx为a,上的函数，A为定数，若对任给的0，总存在着正数Ma，使得当xM时有fxA，则称函数fx当

x趋于时以A为极限，记作limfxA.x

即有limfxA0,M0,xM,有fxA.x

对应的,我们也有limfxA,limfxA的相应的

x

x

M语言成立.对于函数极限的M定义着重注意以下几点:

（1）在定义中正数M的作用与数列极限定义中的N类似,表明x充分大的程度；但这里所考虑的是比M大的所有实数x,而不仅仅是正整数n.（2）当x时,函数fx以A为极限意味着: A的任意小邻域内必含有fx在的某邻域内的全部函数值.（3）几何意义是:对任给0的,在坐标平面上,平行于x轴的两条直线yA与

yA,围成以直线yA为中心线,宽2为的带形区域；定义中的“当xM时,有fxA”表示:在直线xM的右方,曲线yfx全部落在这个带形区域之内.1.2.2xx0时函数的极限：设函数fx 在点x0的某一去心邻域U



x;内有

'定义，A为定数，如果对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使



得当0xx0时，有fxA，则常数A为函数fx在xx0时的极限，记作limfxA.xx0

即limfxA0,0,x:x0xx0,有fxA.xx0

对应的,我们也有limfxA,limfxA的相应的

xx0

语言成立.对于函数极限的

定义着重注意以下几点:

N定义中的N,它依赖于,但也不是由所唯

（1）定义中的正数,相当于数列极限

一确定的,一般来说, 愈小, 也相应地要小一些,而且把取得更小些也无妨.（2）定义中只要求函数在的某一空心邻域内有定义,而一般不考虑在点处的函数值是否有意义,这是因为,对于函数极限我们所研究的是当x趋于x0过程中函数值的变化趋势.（3）定义中的不等式0xx0等价于xUx0;，而不等式fxA等价于fxUA;.于是，

定义又可写成：

任给0,存在0,使得一切xUx0;有fxUA;.或更简单的表为:



任给0,存在0,使得fUx0;UA;.

（4）几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为

对任给0的,在坐标平面上画一条以直线yA为中心线,宽2为的横带,则必存在以直线xx0为中心线、宽为2的数带，使函数yfx的图像在该数带中的部分全部落在横带内，但点x,fx0可能例外（或无意义）.

2.极限性质

2．1数列极限的性质

收敛数列有如下性质：

（1）极限唯一性:若数列an收敛,则它只有一个极限.（2）若数列an收敛，则an为有界数列.（3）若数列an有极限，则其任一子列an也有极限.''

（4）保号性，即若limana00，则对任何a0,aaa,0,存在正整数N1，n



n>N1时,ana'ana'.（5）保不等式性:即若an与bn均为收敛数列, 若存在正整数N1，使得当n>N1时有

n

（6）数列极限的基本公式（四则运算）设limxn,limyn存在,则

n

limxnynlimxnlimyn

nn

n

limxnynlimxnlimyn

n

xnlimnlimlimyn0nylimynnn



n

limxnlimynxnyn

n

2．2函数极限性质

（1）极限唯一性；若极限limfx存在，则此极限是唯一的.xx0

（2）局部有界性

若limfx存在，则fx在x0的某空心邻域Ux内是有界的，当x0趋于无穷大时，xx0

亦成立.（3）局部保号性

若limfxA00，则对任何正数rAA,存在Ux0使得对一切

xx0

xUx0有fxr0fxr0，当趋于无穷大时，亦成立.（4）保不等式性

若limfxA，limgxB，且在某邻域U

xx0



x;内有fxgx，则

xx0

limfxlimgx.xx0

（5）函数极限的基本公式（四则运算）

设limfx,limgx存在,则

xa

limfxgxlimfxlimgx

xaxa

xa

limfxgxlimfxlimgx

xa

fxfxlimxalimlimgx0xagxlimgxxa



xa

通过以上对数列极限与函数极限的介绍,可以知道数列极限与函数极限的本质相同,性质一致.3.极限的判别法

3.1 数列极限的判别法

（1）单调有界定理：单调有界数列必有极限.证明:不妨设an为有上界的递增数列.由确界原理,数列an有上确界,记

asupan.下面证明a就是an的极限.事实上,任给0,按上确界的定义,存在数列

an中某一项aN,使得aaN.又由an的递增性，当nN时有

aaNan。

另一方面，由于a是an的一个上界，故对一切an都有anaa 所以当nN时有

aana

这样就证得, limana.n

同理可证有下界的递减数列必有极限，且极限即为它的下确界.(2)数列收敛的柯西准则:

数列an收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在着这样的正整数N，使得当m,n>N时，有xnxm.(3)数列极限的夹逼准则

如果收敛数列an，bn都以为a极限，数列cn满足下列条件：存在正数N，当n>N时有

ancnbn

则数列cn收敛,且 limcna.n

3.2函数极限的判别法：（1）函数极限的夹逼准则:

设limfxlimgxA且在某U

xx0



x;内有

fxhxgx

则limhxA.xx0

（2）函数收敛的柯西准则：

xx0

limfx存在的充要条件是:任给, 0，存在正数',使得对任何

x',x“Ux0;，有 fx'fx”.

第三篇：数列极限

《数学分析》教案--第二章数列极限

xbl

第二章数列极限

教学目的：

1.使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质；

2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。要求学生：逐步建立起数列极限的数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的并能运用

概念.深刻理解定义证明有关命题，语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性；

教学重点、难点：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的用.教学时数：16学时

定义及其应

§ 1 数列极限的定义

教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。

教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的N定义及其应用。教学时数：4学时

一、引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入——

二、讲授新课：

（一）数列：

1.数列定义——整标函数.数列给出方法: 通项,递推公式.数列的几何意义.-《数学分析》教案--第二章数列极限

xbl

2.特殊数列: 常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列.（二）数列极限: 以为例.定义(的 “

”定义)定义(数列收敛的“

”定义)注：1.关于：的正值性, 任意性与确定性,以小为贵;2.关于：非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义.（三）用定义验证数列极限：讲清思路与方法.例1

例2

例3

例4

证

注意到对任何正整数

时有

就有

第四篇：数列极限

若当n无限增大时数列能无限的接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限，不具有这种特性的数列不是收敛数列

收敛数列的特性是随着n的无限增大，数列无限接近一个常数a，这就是说，当n充分大时，数列的通项与常数a之差的绝对值可以任意小

第五篇：数列极限

§2.1 数列极限概念

第二章数列极限

§1 数列极限概念

Ⅰ.教学目的与要求

1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛.2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数.Ⅱ.教学重点与难点:

重点: 数列极限概念.难点: 数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数.Ⅲ.讲授内容

若函数f的定义域为全体正整数集合N+，则称

f:NR或f(n), nN

为数列．因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f(n)也可写作

a1,a2,,an,,或简单地记为{an}，其中an，称为该数列的通项．

关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子．

例1古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．

把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺)：第一天截下111，第二天截下2，„„，第n天截下n，„„这样就得到一个数列 22

21111,2,,n,．或n.2222

不难看出，数列{11}的通项随着n的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数2n2n

列{an}，若当n无限增大时an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．

收敛数列的特性是“随着n的无限增大，an无限地接近某一常数a”．这就是说，当n充分大时，数列的通项an与常数a之差的绝对值可以任意小．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．

定义1设{an}为数列，a为定数．若对任给的正数，总存在正整数N，使得当，n>N

时有|ana|则称数列

n

{an收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作

limana，或ana(n).读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”．

若数列{an}没有极限，则称{an}不收敛，或称{an}为发散数列．

定义1常称为数列极限的—N定义．下面举例说明如何根据N定义来验证数列极限．

例2证明lim证由于

0，这里为正数

nn

110|, nn



1故对任给的>0，只要取N=1



这就证明了lim



1，则当nN时，便有 

111|0|.即nNn

0.nn

例3证明

3n2

3.lim2

nn

3分析由于

3n299

|2(n3).(1)|2

n3n3n

因此，对任给的>o，只要

9，便有 n

3n2

3|,(2)|2

n3

即当n



时，(2)式成立．又由于(1)式是在n≥3的条件下成立的，故应取

Nmax{3,9



证任给0,取Nmax{3,据分析，当nN时有（2）式成立.于是本题得证.9



注本例在求N的过程中，(1)式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便．但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的E能确定出N．又(3)式给出的N不一定是正整

数．一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要它是正数即可．例4证明limq=0，这里|q|<1．

n

证若q=0，则结果是显然的．现设0<|q|<1．记h我们有

|q0||q|

1，则h>0． |q|, n

(1h)

并由(1h)n1+nh得到

.(4)

1nhnh1,则当nN时，由（4）式得|qn0|.这对任给的0,只要取Nh

|q|

就证明了limq0.n

注本例还可利用对数函数ylgx的严格增性来证明(见第一章§4例6的注及(2)式)，简述如下：

对任给的>0(不妨设<1)，为使|qn0||q|n，只要nlg|q|lg即n

lg

（这里也假定0|q|1).lg|q|

于是，只要取N

lg

即可。lg|q|

例5证明lima1=1，其中a>0．

n

证(ⅰ)当a1时，结论显然成立.(ⅱ)当a1时，记a1，则0.由

a(1)1n1n(a1)

得a1

a1

(5)n.1n

任给0，由(5)式可见，当n

a1



N时，就有a1，即|a1|.所以

lima1.n

(ⅲ)当0a1时，,1n

１

－１则0.由

11

(1)n1n1n1aa

a111a1

得1a（6）1

na1.1n1a1n1a

任给0，由（6）式可见，当n１所以lima1.n

a11



N时，就有1a，即|a1|.1n1n

关于数列极限的—N定义，应着重注意下面几点：

1．的任意性定义1中正数的作用在于衡量数列通项an与定数a的接近程度，愈小，表示接近得愈好；而正数可以任意地小，说明an与a可以接近到任何程度．然而，尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又既时任意小的正数，那么

,3或2等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式



|ana|中的可用,3或2等来代替．同时，正由于是任意小正数，我们可限定

小于一个确定的正数(如在例4的注给出的证明方法中限定<1)．另外，定义1中的|ana｜＜也可改写成|ana|.2．N的相应性一般说，N随的变小而变大，由此常把N写作N()，来强调N是依赖于的；但这并不意味着N是由所唯一确定的，因为对给定的，比如当N=100时，能使得当•n>N时有|ana|，则N=101或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定义1中的，n>N也可改写成nN．3．从几何意义上看，“当n>N时有|aa|”意味着：所有下标大于N的项aｎ都落在邻域U(a;)内；而在U(a;)之外，数列{an}中的项至多只有N个(有限个)．反之，任给>0，若在U(a;)之外数列{an}中

N，n

则当n>N时有anU(a,)，即当n>N时有|ana|<．由此，我们可写出数列极限的一种等价定义如下：

定义1任给>0，若在U(a,)之外数列an中的项至多只有有限个，则称数列an

收敛于极限a．

由定义1，可知，若存在某０0，使得数列{an}中有无穷多个项落在U(a,0)之外，则{an}一定不以a为极限．

例6证明{n2}和{(1)n}都是发散数列．

证对任何aR，取01，则数列{n}中所有满足na1的项(有无穷多个)显然

都落在U(a;0)之外，故知{n2}不以任何数a为极限，即{n2}为发散数列.至于数列{(1)n}，当a1时取01，则在U(a;0)之外有{(1)n}中的所有奇数项；当a1时取0

|a1|,则在U（a;0)之外有{(1)n}中的所有偶数项．所以2

{(1)n}不以任何数a为极限，即{(1)n}为发散数列．例7设limxnlimyna，做数列{zn}如下：

n

{zn}:x1,y1,x2,y2,,xn,yn,.证明limzna.n

证，因limxnlimyna,故对任给的0，数列{xn}和{yn}中落在U(a;)之外

n

n的项都至少只有有限个.所以数列{zn}中落在U(a;)之外的项也至多只有有限个．故由定义1'，证得limzna．

n

例8设{an}为给定的数列，{bn}为对{an}增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列{bn}与{an}同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等．

证设{an}为收敛数列，且limana．按定义1，对任给的>0，数列{an}中落在n

U(a;)之外的项至多只有有限个．而数列{bn}是对{an}增加、减少或改变有限项之后得到的，故从某一项开始，所以{bn}中落在U(a;)之{bn}中的每一项都是{an}中确定的一项，外的项也至多只有有限个．这就证得limbna．

n

现设{an}发散．倘若{bn}收敛，则因{an}可看成是对{bn}增加、减少或改变有限项之

后得到的数列，故由刚才所证，{an}收敛，矛盾．所以当{an}发散时，{bn}也发散．在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义2若liman0，则称{an}为无穷小数列．

n

由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：

定理2.1数列{an}收敛于a的充要条件是：{ana}为无穷小数列．

Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出limana和liman不存在的“—N”定义.n

n

Ⅴ 课外作业: P２７ 2、3、4、6、7、8.