几何不等式测试题

第一篇：几何不等式测试题

几何不等式测试题

1．在△ABC中，M为BC边的中点，∠B=2∠C，∠C的平分线交AM于D。

证明：∠MDC≤45°。

2．设NS是圆O的直径，弦AB⊥NS于M，P为弧

R，PM的延长线交圆O于Q，求证：RS＞MQ。

3．在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的平分线交外接圆于P、Q、R。

证明：AP+BQ+CR＞BC+CA+AB。

4．过△ABC内一点O引三边的平行线，DE∥BC,FG∥CA,HI∥AB,点D、E、F、G、I都在△ABC的边上，求证：表示六边形DGHEFI的面积。表示△ABC的面积。上异与N的任一点，PS交AB于

5．求证：△ABC的内心I到各顶点的距离之和不小于重心G到各边距离之和的2倍。

6．凸四边形ABCD具有性质：（1）AB=AD+BC，（2）在其内部有点P，P点到CD的距离为h，并使AP=h+AD,BP=h+BC，求证：。

7．设H为锐角△ABC的垂心，A1，B1，C1，分别为AH，BH，CH与△ABC外接圆的交点。求证：

成立。

8．一凸四边形内接于半径为1的圆。证明：四边形周长与其对角线之和的差值u,满足0

9.已知过锐角△ABC顶点A、B、C的垂线分别交对边于D、E、F，AB>AC，直线EF交BC于P，过点D且平行于EF的直线分别交AC、AB于Q、R。N是BC上的一点，且∠NQP+∠NRP＜180°，求证：BN>CN。

参考答案

【同步达纲练习】

1．设∠B的平分线交AC于E，易证EM⊥BC作EF⊥AB于F，则有EF=EM，∴AE≥EF=EM，从而∠EMA≥∠EAM,即90°-∠AMB≥∠EAM。又

2∠MDC=2（∠MAC+∠ACD）=2∠MAC+∠ACM=∠MAC+∠AMB，∴90°≥∠AMD+∠MAC=2∠MDC，∴∠MDC≤45°。

2．连结NQ交AB于C，连结SC、SQ。易知C、Q、S、M四点共圆，且CS是该圆的直径，于是CS>MQ。再证Rt△SMC≌Rt△SMR，从而CS=RS，故有RS>MQ.3．设的内心为I，由IA+IB>AB,IB+IC>BC,即2（AP-IP+BQ-IQ+CR-IR）＞AB+BC+CA

连AR，∵∠AIR=∠IAR，∴IR=AR，又AR=BR。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时（1）

同理

4．如图8。

（2）

由（1）、（2）即得AP+BQ+CR>AB+BC+CA。

设∽同理，三边长分别为a、b、c，IF=x，EH=y，DG=z，则依题意有，（易知OE=CF），所以，从而

由

由柯西不等式

于是

5．设G到各边距离为

（r为内切圆半径），得

（艾尔多斯——莫德尔不等式）。故

即AI+BI+CI≥2(r1+r2+r3)

又

6．分别以A、B、P为圆心，AD、BC、h为半径作圆，三圆两两外切，EF为⊙A、⊙B外公切线，⊙P与EF相切时h最大，此时设AD=r,BC=R,⊙P半径为m，则

化简得

由，即

知命题成立。

7．由外接圆心O向BC作垂线OD于D，则AH=2·OD，∠DOC=∠A，故

HA=2OD=2RcosA。同理HB=2RcosB,HC=2RcosC,由BC是，得

同理

而

∴2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)

故

。于是原不等式等价于的垂直平分线，8．如图，引进有关边长、对角线、角的记号，则a+d>e,d+c>f,c+b>e,b+a>f,四式相加得a+b+c+d>e+f,即u=(a+b+c+d)-(e+f)>0.又四边形至少有一角

.于是u<2等价于证明：

下面证明更强的结论：，不妨设，则

且，同样可设，由圆的半径为1及正弦定理得

由于

故结论成立。

9．取BC中点M，只需证∠MRP+∠MQP=180°，即R、M、Q、P四点共圆。

如图，连结ED，易知∠PEC=∠DEC，∠DEB=∠FEB，有∠EMC=180°-2∠ACB，∠EDP=180°-∠ACB-∠CED。∴∠MED=∠ACB-∠CED=∠EPC

∴△MDE∽△MEP，从而ME=MD·MP=MC又∵RQ∥FP，∴∠BRD=∠BFE=∠DCQ∴B、R、C、Q四点共圆。

RD·DQ=BD·CD=（BM+MD）（CM-MD）=MC-MD=MD·MP-MD=MD·PD∴R、M、Q、P四点共圆。

即∠MRP+∠MQP=180°，当N∈BC，且∠NQP+∠NRP＜180°时，N必在M右侧，故BN>CN。

连结ME。

第二篇：算术-几何平均值不等式

算术-几何平均值不等式

信息来源：维基百科

在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为

个正实数，它们的算术平均数是，总有：，它们的几何平均数是。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数

等号成立当且仅当。

算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。

例子

在 的情况，设:，那么

.可见。

历史上的证明 历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明

1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]： 命题：对任意的个正实数，当

时，显然成立。假设

成立，那么

成立。证明：对于 个正实数，假设成立，那么成立。证明：对于 个正实数，设，那么由于但是 成立。，因此上式正好变成

也就是说 综上可以得到结论：对任意的自然数 可以先找

使得，命题

都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题

成立了。

都成立。因此对任意的，再结合第三条就可以得到命题

归纳法的证明

使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：

由对称性不妨设

是

中最大的，由于，设，则，并且有

根据二项式定理。

于是完成了从

到

的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明[3]：

在的情况下有不等式

和

成立，于是：

所以，从而有。

基于琴生不等式的证明

注意到几何平均数 实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：。

由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

基于排序不等式的证明

令，于是有，再作代换，运用排序不等式得到：，于是得到，即原不等式成立。

此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

推广

算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。加权算术-几何平均不等式

不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设 且，那么：。

加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。

和

为正实数，并矩阵形式

算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式： 对于系数都是正实数的矩阵

设，那么有：

也就是说：对

个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对

个横行取的个几何平均数的算术平均。

极限形式

也称为积分形式：对任意在区间

上可积的正值函数，都有

这实际上是在算术-几何平均值不等式取成 后得到的形式。

后，将两边的黎曼和中的趋于无穷大参考来源

1.^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, Paris, 1821.p457.2.^ George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II, Chapter XXIV.p46.3.^ P.H.Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol.67, No.10(Dec., 1960), pp.1007  匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。

 李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。

 莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京 张锦炎 江泽涵 译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。 李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。

第三篇：几何法证明不等式

几何法证明不等式

用解析法证明不等式：

^2<(a^2+b^2)/2

(a,b∈R，且a≠b)

设一个正方形的边为C,有4个直角三角形拼成这个正方形,设三角形的一条直角边为A,另一条直角边为B,(B>A)A=B,刚好构成,若A不等于B时,侧中间会出现一个小正方形,所以小正方形的面积为(B-A)^2,经化简有(B+A)^2=4AB,所以有((A+B)/2)^2=AB,又因为(A^2+B^2)/2>=AB,所以有((A+B)/2)^2<=(A^2+B^2)/2,又因为A不等与B,所以不取等号

可以在直角三角形内解决该问题

=^2-(a^2+b^2)/2

=<2ab-(a^2+b^2)>/4

=-(a-b)^2/4

<0

能不能用几何方法证明不等式，举例一下。

比如证明SINx不大于x(x范围是0到兀/2，闭区间)

做出一个单位圆，以O为顶点，x轴为角的一条边

任取第一象限一个角x，它所对应的弧长就是1*x=x

那个角另一条边与圆有一个交点

交点到x轴的距离就是SINx

因为点到直线，垂线段长度最小，所以SINx小于等于x，当且尽当x=0时，取等

已经有的方法：第一数学归纳法2种;反向归纳法(特殊到一般从2^k过渡到n);重复递归利用结论法;凸函数性质法;

能给出其他方法的就给分

(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)

一个是算术，一个是几何。人类认认识算术才有几何，人类吃饱了就去研究细微的东西，所以明显有后者小于前者的结论，这么简单都不懂，叼佬就是叼佬^_^

搞笑归搞笑，我觉得可以这样做，题目结论相当于证

(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0

我们记f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)这时n看做固定的。我们讨论f的极值，它是一个n元函数，它是没有最大值的(这个显然)

我们考虑各元偏导都等于0，得到方程组，然后解出

a1=a2=……=an

再代入f中得0，从而f≥0，里面的具体步骤私下聊，写太麻烦了。

要的是数学法证明也就是代数法不是用向量等几何法证明.....有没有哪位狠人帮我解决下

【柯西不等式的证明】二维形式的证明

(a^2+b^2)(c^2+d^2)(a,b,c,d∈R)

=a^2·c^2+b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2

=a^2·c^2+2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。

一般形式的证明

求证：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2

证明：

当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立

令A=∑ai^2B=∑ai·biC=∑bi^2

当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A>0

构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C，展开得：

f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0

故f(x)的判别式△=4B^2-4AC≤0，移项得AC≥B，欲证不等式已得证。

第四篇：几何证明测试题

第一章测试题

1.半径为1的圆中，长度为1的弦所对的圆周角度数为：2.⊙O半径为5，弦AB=8，CD=6，且AB∥CD，则AB、CD间的距离是.3.过⊙O内一点P，的最长弦是10，最短的弦是6，那么OP的长为____________.4.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长。

5.如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．.如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，的度数和EF的度数． 求BE

7.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD。求证：DC是⊙O的切线。

A

8.如图，⊙O与△ABC三边分别截于DE、FG、HM，且DE=FG=HM，若∠A=70°,求∠BOC度数.A

OF

9.如图，C为⊙O直径AB延长线上的点，CD切⊙O于D点，CE平分∠DCA，交AD于E

CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F．连

结AE、EF．（1）求证：AE是∠BAC的平分线．（2）若∠ABD＝60°，问：AB与EF是否平行？E

11.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：（l）AC是⊙D的切线；（2）AB＋EB

＝AC．

中点，12.如图，AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为BCDE⊥AC于E，DE=6cm，CE=2cm，（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求AC、AB的长.A

13.如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连接AE、EF，（1）求证：AE是∠BAC的平分线，（2）若∠ABD=60°，AB是否与EF平行，为什么？

14.如图，梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，求证：（1）以AB为直径的圆与CD相切；（2）以CD为直径的圆与AB相切.A

B15．如图5，CD是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为C，BC＝3，BF＝AE∶

EF＝8∶3． 1，2

图5

求：(1)线段EF的长；(2)⊙O的直径的长．

第五篇：探究基本不等式及其几何意义

——探究基本不等式及其几何意义 □ 童雁

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A版）第三章3.4《基本不等式》。根据任教的学生的实际情况，将《基本不等式》划分为两节课（探究基本不等式及其几何意义，基本不等式及其应用），这是第一节课“探究基本不等式及其几何意义”。基本不等式是不等式中的重要不等式，应用它不仅可以证明不等式，同时在生活及生产实际中对于部分函数的最值的求法是一个有力的工具，所以对基本不等式的探究很重要。

二、学情分析

基本不等式是在学生学习了不等式的基本性质的基础上，对不等式性质及证明的应用。教材一开始就以中国古代数学家赵爽的弦图为背景，力图探究基本不等式与其几何意义。同时教材通过例

1、例2已经让学生感受到基本不等式的实际背景与应用，但这两个例子匆忙放在第一节来处理，显然会冲淡对基本不等式的结构和几何意义的探究。因此，本节主要从培养学生数形结合的思想为出发点，设计了一系列基本不等式（链）的问题，通过代数与几何作图方法，使学生感受不等式结构中蕴含的数形结合的美。

三、设计思想

1.通过具有一定思考价值的问题情境，提升学生持久的好奇心。使学生直接感受和体会平均数的实际意义；

2.教材对两个基本不等式各给出一种几何解释。本节课，力图让学生从不同的角度去探究基本不等式，让学生体会到基本不等式不仅是一个简单的式子，而且具有丰富的几何意义。

3.感受数学文化的影响并体会这种数形结合的研究方法,以便能将其迁移到其它不等式与数学知识的研究中去。

4.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

5.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。

四、教学目标

新课程高中数学教材(必修5)中，对基本不等式的教学提出了“探索并了解基本不等式的证明过程”。根据学生的实际情况，本节课确定的教学目标是：通过类比，从图象和代数结构这两种不同角度探究基本不等式的证明过程，加深对基本不等式的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生感受数学文化的影响，进一步培养探究数学问题的兴趣；培养学生主动学习、合作交流的意识。

五、教学重点与难点

教学重点：基本不等式链的代数证明与几何意义的阐释。教学难点：对基本不等式链的几何意义的阐释。

六、教学过程： 创设情景、提出问题

师：用一个两臂长短略有差异的天平称一样物品，有人说只要左右各秤一次，将两次所称重量相加后除以2就是物品的重量了.你觉得这种做法对吗？若不是，那比实际重量轻了还是重了？

学情预设：（学生可能会说出以下可能）1.实际重量应该在a,b之间； 2.实际重量可能是■

3.好像有问题，不会那么简单，但不知怎么说； 4.想到物理中的杠杆原理，但不知怎么说明； 5.利用物理中的杠杆原理，推出实际重量是■。可以请答对的学生到台上给大家讲讲。若无人答对，教师讲授如下：

解：设物品的实际重量是G，天平的两臂长分别为l1,l2，由杠杆原理有：l1G=，l2a,l1b=l2G,两式相除得G=■（a>0,b>0）。故物品的实际重量应该是■。

师：一般地，对于非负实数a、b，我们称■为a、b的算术平均数，■为a、b的几何平均数，二者之间的大小关系如何呢？大家可以再猜一猜。（设计意图）设计这样一个具有一定思考价值的问题情境，提升学生学习新知的兴趣和欲望，使学生直接感受和体会平均数的实际意义和研究价值。师生互动、探究新知 1.■≤■的探求：

学情预设：（学生可能会说出以下可能）（1）用两个数字代入检验可以知道■<■；（2）用两个相等的数字代入检验可以知道■=■；

（3）用a=0,b=-4代入检验可以发现■>■符合a、b是非负实数的条件吗?）（4）预习的学生可以给出不等式的证明。2.■≤■的证明：

师：根据大家的讨论，对于非负实数a、b，通过实验，我们发现这样一种关系：■≤■，即: 两个非负实数的算术平均数不小于它们的几何平均数。我们能继续给出严格的证明吗？为探究证明方法，先让我们观察以下图形：

（1）以下图1是我国古代数学家赵爽证明定理时所用过的“勾股方圆图”，是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？（希望通过这个实例引起学生的兴趣与讨论）

图1

图2

（2）师生：将图1中的“风车”抽象成图2.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形，设其两直角边长为a、b(a≠b)，由面积的几何意义得到一个不等式a2+b2>2ab。

那么何时等号成立呢?(学生不难看出)

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点.这时有a2+b2=2ab：

一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab。当且仅当a=b时等号成立。（时间允许的话，可以引导学生在正方形中折出一个内接正方形。利用图形可以给出勾股定理的两种证法。让学生回到折纸游戏中来，体会游戏与数学的奇妙性。）

（3）师：你还能从以下的图形中发现什么结论?(试图拓展学生对类似问题的几何构思与联想)

学情预设：在教师的引导下一些学生会发现和说出以下不等式成立的几何意义，为此请学生作答。

a2+b2≥2ab

■+■≥ab

(a+b)2≥4ab

（4）师：以上一些不等式的几何意义我们已经找到，能用代数方法给出a2+b2≥2ab的证明吗? 学情预设：

①对于(a-b)2≥0?圳a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立)，学生不难证明。②若a>0，b>0，用■，■代替a，b可得?圳■≤■（a>0,b>0）a+b≥2■这种换元的方法学生也不难证明。

师：看来通过证明a2+b2≥2ab，以换元的方法即可推出■≤■（设计意图）

将学生引入不等式成立的几何世界中，让学生不只是关注不等式成立的代数结构，而是希望学生以数形结合的观点与思维，全面理解和感受数学的魅力。3．进一步探求不等式■≤■的几何意义

师：前面对于不等式a2+b2≥2ab，我们可以构造几何图形说明其意义。那么我们能否也构造不等式■≤■的几何背景呢？

如图所示，AB是圆的直径，点C是AB上一点，且AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能用这个图形得出不等式■≤■的几何解释吗?

图3 学情预设：

在直径为a与b的和所对应的外接圆中，学生不难看出半径不小于半弦，这恰恰说明不等式■≤■的几何意义。当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立。师生总结：

不等式■≤■的代数意义：

（1）两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；（2）如果把■看做是两正数a、b的等差中项,■看做是两正数a、b的等比中项, 那么均值不等式可叙述为: 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.不等式■≤■的几何意义： 半径不小于半弦。设计意图：

用对应的手法，将不等式■≤■中包含的代数结构（等差中项与等比中项）与其几何意义交织起来，使学生认识数形结合的本质意义。4．不等式链■≤■≤■≤■的进一步探求

师：有人认为不等式链■≤■≤■≤■成立，你认为对吗？含有几个不等式？ 学情预设：（学生能将不等式链分成以下几部分）（1）■≤■（2）■≤■（3）■≤■

师：同学们能分别给出代数证明吗？ 学情预设：

（1）对于（2）前面已经证明；

（2）学生在讨论的前提下，可以由以下途径证明不等式■≤■： 2■≤a+b?圳■≤1?圳■·■≤■?圳■≤1?圳■≤■

（3）学生在讨论的前提下，可以由以下途径证明不等式：■≤■2ab≤a2+b2?圳a2+b2+2ab≤2a2+2b2?圳(a+b)2≤2a2+2b2?圳■≤■?圳■≤■ 5．不等式链■≤■≤■≤■的几何解释：

师：在半径不小于半弦的几何背景下，我们还能继续探求不等式链的几何意义吗？

学情预设：对此问题难度较大，学生不一定能够想到几何图形的构造„ 图4

师:如图4所示,过C作OD的垂线段交OD于E,则 OC=■-b=■ MC=■=■

那么DE=■=■=■ 由图形的直观可以得到:DE

为了提升学生的探究能力，有意识的在半径不小于半弦的几何图形中，穷追不舍，进一步挖掘不等式链■≤■≤■≤■的几何意义，进行一个全方位的研究，力图使学生产生数形结合的思维惯性。更重要的是让学生体会到对数学的研究方法,做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。达到深入理解和欣赏数学的目的。6.思考问题：

（1）如图5，构造直角三角形ABC,使BC=■,AC=■，再以BC=■为斜边，CD=■为直角边构造直角三角形BCD.延长CD，使得CD=CD,在三角形BCD中，过D作边BC的垂