求极限的方法

第一篇：求极限的方法

求极限的主要方法

⒈极限定义（分段函数的分段点，或者是函数间断点，常常要使用左、右极限）⒉极限的四则运算法则（注意必须首先满足定理条件，特别是求商的极限时，分母的极限不为零。）

⒊夹逼准则（对数列、函数都成立）

⒋单调有界数列必收敛（仅对数列成立）

⒌两个重要极限 11①lim(1)ne，lim(1)xe（属于1型）nxnx

1sinsinx1x1（属于0型）1，limxsinlim②limx0xx0xx1

x

⒍变量替换求极限（包括取对数后再求极限）

⒎利用有限个无穷小的和、差、积仍为无穷小，以及无穷小与有界量的乘积仍为无穷小

1⒏利用无穷小与无穷大之间的关系求极限（例如 为无穷小且0，则为

无穷大）

⒐等价无穷小替换（这是最重要求极限的方法之一，特别要注意无穷小的和、差替换的条件：要替换的两个无穷小不能是等价无穷小）

⒑利用Lagrange中值定理求极限

0⒒利用洛必达法则求极限（这是最重要求极限的方法之一，而且只适用于型或0

0型，其它类型必须转化为型或型才能使用）0

⒓等价无穷小替换与洛必达法则结合起来求极限（这是最主要的求极限方法）⒔利用泰勒公式将函数展开求极限

⒕若级数un收敛，则limun0

n0n

求导数的方法

⒈利用导数定义求导（分段函数的分段点求导，要使用定义，或左、右导数定义）⒉利用导数四则运算法则（必须满足定理条件，特别是求函数积、商的导数。）⒊利用反函数求导法则求导

⒋利用复合函数的链导法则求导（既是重点，也是难点）

⒌利用对数求导法求导

⒍隐函数求导法（注意y=y(x)始终是x的函数，按照复合函数求导）

⒎由参数方程给出的函数的求导（注意t=t(x)是x的函数，要按照复合函数求导）⒏用几个函数高阶导数公式、Leibniz公式，求高阶导数。

第二篇：经典求极限方法

求极限的各种方法

1．约去零因子求极限

x41例1：求极限lim x1x1

【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。【解】lim(x1)(x1)(x21)

x1x1limx1(x1)(x21)6=4

2．分子分母同除求极限

例2：求极限limx3x2

x3x31 【说明】

型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。x3

【解】limx211

x1

x3x31limx3

x33

【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；



axnan10mn

(2)limnn1xa0

xbmm1mn

mxbm1xb0an

bmn

n

3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限xlim(x23x21)

【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】lim(x22(x23x21)(x23x21)

x3x1)xlimx23x21 xlim2x23x210

例4：求极限limtanxsinx

x0x3 【解】limtanxsinxtanxsin

x0x3limxx0x3tanxsinx

lim

x0

tanxsinx1tanxsinx1

lim 33x0x024xxtanxsinx

lim

【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解．．．．．．．．．．．题的关键

4．应用两个重要极限求极限

sinx11

1和lim(1)xlim(1)nlim(1x)xe，第两个重要极限是lim

x0xnx0xxn

一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

x1

例5：求极限lim

xx1

【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑数部分。

x1122122x12【解】limlim1lim1x11e xx1xxx1x1

x

x

x，最后凑指X

1x2a

例6：(1)lim12；(2)已知lim8，求a。

xx

xxa5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】

(1)常见等价无穷小有：

1x)~e1, 当x0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(12b

x,1ax1~abx； 2

(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．

1cosx~

x

xx

(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。．．．．．

xln(1x)



x01cosxxln(1x)xx

【解】limlim2.x01cosxx02

x2

sinxx

例8：求极限lim

x0tan3x

例7：求极限lim

1xsinxxsinxxcosx11limlimlim【解】lim 322x0tan3xx0x0x06x3x3x

6．用罗必塔法则求极限

例9：求极限limlncos2xln(1sin2x)

x0x2

【说明】



或0

0型的极限,可通过罗必塔法则来求。2sin2x【解】limlncos2xln(1sin2x)sin2x

2x0x2limx02x

lim

sin2xx02x2cos2x1

1sin2x

3 【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解

x

例10：设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限lim

0

(xt)f(t)dt

x0

xx.f(xt)dt

u【解】 由于



x

x

f(xt)dtx

t

x

f(u)(du)0

f(u)du,于是

x

x

x

lim



(xt)f(t)dt

lim

x0

f(t)dt0

tf(t)dt

x0

xxx

f(xt)dt

x0

x0f(u)du

x

xf(x)xf(x)

=lim

0

f(t)dtx

f(t)dt

x0



x

=lim)duxf(x)

x0



x

f(u0

f(u)duxf(x)



x

f(t)dt

=lim

f(0)x0

x

=



f(0)f(0)1

.f(u)du

xf(x)

7．用对数恒等式求limf(x)g(x)极限

2例11：极限limx

x0

[1ln(1x)]

x)]

【解】limx

x

ln[1ln(1x)]lim

2ln[1ln(10

x

x0

[1ln(1x)]=limx0

e

=e

xe

xlim

2ln(1x)

0

x

e2.【注】对于1型未定式limf(x)g(x)的极限，也可用公式

limf(x)g(x)(1)=elim(f(x)1)g(x)

因为

limf(x)g(x)elimg(x)ln(f(x))elimg(x)ln(1f(x)1)elim(f(x)1)g(x)

例12：求极限lim1

2cosxxx0x

31.

xln2cosx

2cosx



3

【解1】 原式lim

e

1lnx0

x3

lim3x0x1

limln（2cosx）ln3sinx）

x0x2limx02x112lim

x02cosxsinxx1

xlne

2cosx

2cosx

3

【解2】 原式lim

1ln

x0

x3

lim3x0x2

ln（1

cosx1）

lim

cosx0

x

2limx11x03x26 8．利用Taylor公式求极限

13求极限 limaxax例2

x0x

2,(a0).【解】axe

xlna

xlnax212

ln2

a(x2),a

x

1xlnax2ln2

a(x22);

axax2x2ln2a(x2).limaxax2x0x2limx2ln2a(x2)x0x

2ln2

a.例14求极限lim11x0x(x

cotx).【解】limx0

111sinxxcosx

(cotx)lim x0xxxxsinx

x3x23

x(x)x[1(x2)]lim 3x0x113

)x(x3)

lim3x0x3.（9．数列极限转化成函数极限求解

1

例15：极限limnsin

nn

【说明】这是1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。

1

【解】考虑辅助极限limxsin

xx

x2

n2

lime

x

1

x2xsin1

x

lime

y0

11

siny12yy

e



1

所以，limnsin

nn

n2

e



10．n项和数列极限问题

n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.111

例16：极限lim22nn222n2n2n1



 

【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把f(x)看成［0,1］定积分。

11

limfnnn2

fn1n

ff(x)dx 0n

1111

【解】原式＝lim

222nn12n

11

nnn

 



121

dxln

2221x



 

111

例17：极限lim2nn22n2nn1

112n

【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成limfffnnnnn的形式，因而用两边夹法则求解；

(2)两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。

111

【解】lim2nn22n2nn1

因为



 

nnn

n

1n1



1n2nn1



1nn



nn1

又lim

n

nn

lim

n

1



＝１ 

所以lim

111

2nn22n2nn1

12．单调有界数列的极限问题

例18：设数列xn满足0x1,xn1sinxn(n1,2,)

（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；

n

xn1xn（Ⅱ）计算lim.n

xn

【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.【详解】（Ⅰ）因为0x1，则0x2sinx11.可推得 0xn1sinxn1,n1,2,，则数列xn有界.于是

xn1sinxn

sinxx）1，（因当x0时，则有xn1xn，可见数列xn单

xnxn

n

调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limxn存在.imxn0.设limxnl，在xn1s得 lsinl，解得l0，即linxn两边令n，n

n

x

（Ⅱ）因 limn1

n

xn

2xn

sinxnxn2

，由（Ⅰ）知该极限为1型，limn

xn

11sinx1xx

sinxx2

1

limsinxx0x

xlime

x0

lime

x0

x

e(使用了罗必塔法则)



x

故 limn1

n

xn

xn

1sinxnxnlime6.n

xn

第三篇：求极限的一般方法

求极限的一般方法

1、利用定义求极限：

例如：很多就不必写了！

2、利用柯西准则来求！

柯西准则：要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N，使得当n>N时，对于任意的自然数m有|xn-xm|<ε.3、利用极限的运算性质及已知的极限来求！

如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5=lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5

=1.4、利用不等式即：夹挤定理！

例子就不举了！

5、利用变量替换求极限！

例如lim(x^1/m-1)/(x^1/n-1)

可令x=y^mn

得：＝n/m.6、利用两个重要极限来求极限。

（1）lim sinx/x=

1x->0

(2)lim(1+1/n)^n=e

n->∞

7、利用单调有界必有极限来求！

8、利用函数连续得性质求极限

9、用洛必达法则求，这是用得最多得。

10、用泰勒公式来求，这用得也十很经常得。

放缩法的定义

所谓放缩法，要证明不等式A

放缩法的主要理论依据

（1）不等式的传递性；

（2）等量加不等量为不等量；

（3）同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。

放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法。

放缩法的常见技巧

（1）舍掉（或加进）一些项。

（2）在分式中放大或缩小分子或分母。

（3）应用基本不等式放缩。

（4）应用函数的单调性进行放缩。

（5）根据题目条件进行放缩。

使用放缩法的注意事项

（1）放缩的方向要一致。

（2）放与缩要适度。

（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。

（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。

与数列有关的不等式证明一般方法

（1)

（2)利用数列单调性，多使用于证明恒等问题 考虑数列的极限状况，例如1-1/(2的n次方)<1等情形

（3)放缩法，把数列放缩后易求出其和或积为目标，要根据数列通向公式的特点做到放缩有度

（4)利用二项式定理进行展开，舍去其中的某些项，达到容易表示结果的目的以下用N2表示n的平方,是N方分之一常用的放缩方法

1/N2<1/（N2-N）=1/(N-1)-1/N

1/N2<1/（N2-1）=1/2【1/（N-1）-1/（N+1)】

1/n^<1/（N2-0.25）=1/(N-0.25)-1/(N+0.25)=2【1/(2N-1)-1/(2N+1)】

a＞0,b＞0且a≤b 则：a≤调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数≤b这公式个很有用

第四篇：求极限的常用方法

2求极限的常用方法 2.1定义法

该方法在求极限的过程中很适于证明题.定义1在此我们用ε-δ定义极限,即设函数f(x)在x0的某个空心邻域

U(x0;1)内有定义,A

为定数,若对任给的ε>0,存在正数δ（<1）使得当0

<∣x-x0∣<δ时有∣f(x)-A∣<ε,称函数f(x)当x趋于x0时以A为极限,记作 limf(x)A.xx0

例1证明limax1(a1).x0

证任给0(不妨设1)，为使

ax1，（*）

即1ax1，利用对数函数㏒ax（当a1时）的严格增性，只要

㏒a(1)x㏒(1),于是，令

minloga(1),loga(1)，则当0<︱x︱< 时，就有（*）式成立，从而证得结论.注：本题是直接运用定义法进行证明极限的一类典型例题，解题中关键是值的确定是有技巧的，在以后的解题中要注意这一点.2.2利用单调有界原理求极限

定理1在实数系中，有界的单调数列必有极限.例2设xn1解因为xn1

12(xn

axn).其中a

>0,x00,求limxn.n

2(xn

xn1xn

axn

12)

(1

xn.axn

2axn)

=a，所以｛xn｝有下界．

12(1

aa

又

)1，有{xn}单减,然后对两边求极限，有l

1al2l，则lal0，l

a，故limxn

n

a

.注：本题要求的是数列项极限问题，于是我们很自然的联想到单调有界定理；

但是我们首先要根据题中已知的递推关系式来判定该数列的有界性和单调性，经判定符合定理条件之后即可对其运用定理来求解，这也是解此类题的一般思路和方法.2.3通过连续求极限

在高等数学中,极限是继函数概念的有一个最重要最基本的概念,极限可以进一步阐明函数的连续性,而函数连续性也可以应用于极限的求解.我们知道f在x0连续等价于limf(x)=f(limx),利用这个原理我们可以得到下面的定理.xx0

xx0

定理2若函数f在点x0连续，g在点u0连续，u0=f(x0)，则复合函数gf在点x0连续.公式表示即：limg(f(x))g(limf(x))g(f(x0)).xx0

xx0

这也是我们求极限的一种方法——连续函数法,我们看一道例题:

例3求极限limsin(1x).x

1解sin(1x2)可以看作函数g(u)sinu与f(x)1x2的复合.由公式可得，limsin(1x)sin(lim(1x))sin00.x1

x1

注：若复合函数gf的内函数f当xx0时极限为a，而af(x0)或f在x0

无定义（即x0为f的可去间断点），又外函数g在ua连续，则我们仍可以用上述定理来求复合函数的极限，即有

xx0

limg(f(x))g(limf(x)).xx0

2.4利用迫敛性定理求极限

定理3设limf(x)=limg(x)=A,且在某空心邻域U(x0;)内有f(x)≤

xx0xx0

h(x)≤g(x),则limh(x)=A.1

xx0

例4求limx[].x0

x

解当x>0时有，1-x

而lim(1x)=1，故由迫敛性得，x0



1x

]1,limx[]=1.x0x

另一方面，当x<0时有1x[

1x

]<1-x,故由迫敛性又可得,limx[]=1.x0x

综上我们可得limx[]=1.x0

x

注：运用迫敛性定理来解题时,要求我们有一点构造思想,正如本题中1-x

1x

]1这个关系式的构造;然后就是运用相关知识来证明极限的值,再由

迫敛性定理即可求得结果.2.5依据四则运算法则求极限2

若极限limf(x)与limg(x)都存在,则函数f±g, f•g当x→x0时极限

xx0

xx0

也存在,且

⑴lim[f(x)g(x)]=limf(x)±limg(x);

xx0

xx0

xx0

⑵lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x);

xx0

xx0

xx0

又若limg(x)≠0,则f／g当x→x0时极限存在,且有

xx0

⑶lim

f(x)g(x)

=limf(x)／limg(x).xx0

xx0

xx0

利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可从一些简单的函数极限出发,计算较复杂的函数极限.例5求lim(xtanx1).

x

解由xtanx= x

sincos

则有，

4

limcosx，x

limsinxsin

x



4由四则运算法则有，limsinx

lim(xtanx1)

x



=limx

x

x





limcosx

x

lim1

x

4



1.4

注：本题是相对简单的，即直接运用四则运算法则中的减法和除法，把原极限式展开分别求极限即可；其实运用四则运算求解极限时，一般的解题思路就是展开、分别求解极限.

第五篇：求极限的方法

求极限的若干方法

杨品玲

摘要：极限是数学分析中最重要的基本概念之一。微分、积分和级数概念的引进，充实了求极限的方法。求极限的八种方法：用极限四则运算法则、单调有界准则、两边夹定理、两个重要极限、等价无穷小、洛必达法则、积分的性质及定义、级数收敛的必要条件，并且进行归纳总结。有助于拓展学生的解题思路，提高教学质量。

关键词：积分性质；极限思想；洛必达法则

引言

极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题，如瞬时速度、曲线弧长、曲变形面积、曲面体体积等问题，正是由于它采用了极限的思想方法。教学中，怎样求极限也就显得尤为重要。

1极限产生的历史

1.1极限思想

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。

1.2极限思想的产生与发展

与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用。16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向。18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念。到了世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”[1]。

2求极限的方法

2.1用极限四则运算法则求极限

若数列an与bn都收敛，则有

lim(anbn)limanlimbn

n

n

n

lim(anbn)limanlimbn

n

n

n

limanbnlimanlimbn

n

n

n

an

anlimn

bn0）（其中bn0,limlim

nnblimbnn

n

总的来说，函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。利用极限的四则运算法则，可以求出较为复杂的函数的极限。

12223242n2

例、求极限lim.nn3

分析：所给函数中，当n时，分子为无穷多项和，分母也趋近于无

穷，首先应将函数进行初等变形，即先求出分子的和，化简分式，再求极限。

解：分子的和

n(n1)(2n1)，6

n(n1)(2n1)nn12n1

lim原式=lim 3nn6nnn6n

1n12n1

lim=lim（运算法则）

6nnnn1111

(1)lim(2)（当n，0）=lim6nnnnn11

=12.631222324252n2

2.2利用单调有界准则求极限

单调有界准则就是单调有界数列必定存在数列。例、证明：若a12，an12an，n1，2，3，…… 分析：本题的证明过程分三步：

证明数列单调；② 证明数

列有界；③ 根据通项关系计算极限。根据公理，数列an收敛。

证明：先用归纳法证明数列an有上界，上界是2.事实上，当n1，a222；设an2，则

an12an222.其次，数列严格递增；

nN，有（已知nN，n2）

an1an2ananan(2an)0.ana，有 根据公理，数列an收敛，设lim

n

liman2liman，即a22a，a2，1lim2ann

n

n

 liman2.n

2.3 用两边夹定理求极限

用两边夹定理求极限，关键是找出两个有相同极限的收敛函数，把fx 夹在中间。

(例、证明lim

n

111111)0.222222nn1n2n3n4nn

分析：解此题的关键是找出两个有相同极限的收敛函数f(n1)和f(n2)，且满足f(n1)f(n)f(n2)。

11111，22222nn1n2n3nnn1

f(n1)2（分母扩大，分子不变，分数值减小）

nnn1

f(n2)2（分母减小，分子不变，分数值扩大）

n

11111

22证明：设f(n)222，nn1n2n3nn11111n1

f(n)222222，nn1n2n3nnnn

n1

同理，f(n)2；

n

n11n11

li0，lim2lim0.li2

nnnnnnnn2n

设f(n)

limf(n)0，即

n

lim（n

111111

)0.222222nn1n2n3n4nn

2.4 运用两个重要极限求极限

[2]

(1)ne，可以求出许多幂指函数的极限。1）运用重要极限limn

1n

(1例

1、求极限limn

1n).n1

分析：此题不能直接运用重要极限求解，首先要对幂指数进行构造。

1n1n33)lim(1)nn3n31n313

im(1)lim(1)lnnn3n3(1解：limn

e13e.