表扬八法（共五则范文）

第一篇：表扬八法

近日，在读《给老师的建议》一书时，看到了表扬八法，感觉实用，拿来与大家一起分享：

一、大张旗鼓表扬法

表扬要大张旗鼓，人越多越表扬，既肯定了被表扬的学生，又为广大学生指明了方向。

二、适当夸张表扬法

表扬可以适当夸张，本来表现一般，可以说他很好，目的在于激励学生，不用担心有人说你错了。

三、笼统抽象表扬法

对事不对人，肯定这一件事做得对，为学生如何做事把握方向。

四、利用文字表扬法

给学生写短信、写条子，或在作业本、试卷上利用文字表扬，这比口头表扬更亲切、更有影响力。有时，一封短信可能影响到学生的一切。

五、创造条件表扬法

如果觉得某个学生需要通过表扬调动积极性，可以为他创造条件，让他参与某项活动，之后表扬。

六、旧事重提表扬法

表扬不怕重复。为了激励某个同学的积极性，可以把以前表扬过的内容重新予以表扬。

七、借助他人表扬法

把你要表扬的学生告诉其他老师和同学，通过他们的嘴去表扬，有时作用比你的直接表扬作用更大。

八、提前激励表扬法

让学生参与一项活动或去做某件事，无论结果如何，从一开始就予以表扬。

其实，表扬绝不止上述八法。只要老师们在实践中能激发起学生的积极性，都可以归纳为表扬的艺术。

第二篇：班主任工作反思：班主任表扬“八忌”

班主任工作反思：班主任表扬“八忌”

人们都喜欢听赞美的话，特别是未成年的学生。表扬，是赞美中的一种。表扬像中医开的补药，只有服用得法才能奏效。为此，本文建议班主任表扬时应做到以下“八忌”：

一忌频繁无度。

有的教师常犯这种毛病他们总认为学生的每个优点都应表扬，同一优点重复表扬多次。殊不知，对于某个学生的某种优点表扬次数多了，其他同学会厌烦，他自己也未必高兴。

二忌不掌握“火候”。

要做出色、香、味俱全的佳肴，除有相应的调料外，掌握好火候也是十分必要的。表扬虽不像批评那样要谨慎小心、瞻前顾后，但要取得表扬的最佳效果，也必须掌握“火候”，即选择表扬的最佳时机和最佳方式。

三忌不因人而异。

表扬的方式和方法应因年级、因人而异。对于小学低年级学生表扬几句他们就会美滋滋的，但高年级学生或中学生就不同了。他们的思想可复杂得多，思维也敏捷多了。他们有的心里希望你表扬，但表面却装作不愿让你表扬讨厌表扬。这就要求教师区分对象，要有高超的表扬艺术。

四忌不分场合。

当众点名表扬是表扬方式中最郑重的，不宜多用。必用时，应是较突出的人和事。（班主任

www.feisuxs）对于不适宜当众点名表扬的人和事，教师可以在其它场合用捎带式（表扬别人时顺便提一下），转达式（通过被表扬者的好友或其它途径转达），无声式（教师用眼神、微笑等）、动作式（向被表扬者点点头、，拍拍他的肩膀或做手挚）等方式进行表扬。

五忌不公正。

由于教师“偏爱”，几个同学共同做的好事，教师却只表扬其中的“好学生”，对“差生”根本不提或一带而过，这是不公平的。这样常常会使“差生”产生对立情绪，在他们心中留下难以抹掉的阴影。甚至会引起班内有正义感的学生的不满，教师的威信也会因此而丧失。

六忌不摸底。

表扬不摸底细，是无“的”之矢，无舵之舟，是不会产生正效应的。比如学生某在校内拾到一角钱交给了教师，教师在班里表扬了他，殊不知他在校外捡到10元钱而昧为已有。须知，“没有不透风的墙”，当学生们知道真情后，教师“失察”的表扬，只能成为笑柄。

七忌无深度。

表扬不是发布新闻，不能就理论事，应使被表扬者知道自己受表扬的“所以然”,并使其他学生也从中受到某方面的教育,人人都有羡慕之情、向往之心、效仿之行，从而推动整个班集体的进步。

八忌无广度。

表扬内容不应只局限于关心集体、学习成绩优良、按时完成作业、认真做值日、遵守纪律、拾金不昧等，应该把表扬的触角伸到学生的学习、生活、心理、生理、人际交往、课余爱好等众多领域中去。凡是有利于学生成长的各种优点都应表扬，因为我们要培养的是全面发展的一代新人。

第三篇：春季养车八法

春季养车八法

春天来了，爱车要做哪些换季保养呢？很多车主对此还不是很熟悉，为了使车主在给汽车做保养的时候心中有数，车爵仕汽车美容技术部给所有车友介绍几个换季保养的项目。

打蜡、封釉护漆面

随着春季的来临，风沙、雨水便成为车主的一块心病，因为这样的天气对车漆损伤极大。北方春季由于风沙较大，汽车表面会有很多的尘土，擦车时很容易划伤车漆。南方春季多雨，下完雨后，由于空气中的湿度较大，车身上的雨渍、雨滴很难立刻被风吹干。雨滴在阳光下像放大镜一样，将紫外线聚焦在车漆表面，使车漆老化。这时有部分爱车的车主就会选择去经常性的洗车，保持车身洁净、车漆亮丽。再下雨，再刮风，再去洗车，如此反复，不仅浪费金钱，对车漆也没有好处。

春季要多给汽车打蜡，给汽车的漆面多一些爱护。但在选择车蜡时要注意，在普通的沙蜡中，含有细小的、肉眼看不到的研磨颗粒。将车漆打亮就是依靠这些颗粒在车漆上反复研磨，去除车漆表面的氧化层。由于打蜡的手法是转圈打磨，经常使用普通车蜡的车身上会有细微的划道。在现在时间就是金钱的快节奏社会中，很多车主可能觉得经常打蜡比较麻烦，也太耽误时间，那么建议您最好去做一次漆面封釉，将类似瓷釉的车漆保护剂使用振抛机压入车漆内形成保护层，彻底隔离紫外线、酸雨和风沙的侵蚀。此外，釉剂中还含有紫外线吸收剂和增艳剂，保护车漆不会褪色，使旧车的漆面也能光艳照人。

空调保养要全面

受季节变更因素的影响，春季保养空调是一件非常重要的事情，因为它能够直接关系到车主的使用和空调寿命，及时准确的保养可以让车主放心享受车内舒适环境带来的清新舒爽。那么如何去做才能享受这份安逸呢？首先，要有目的性地进行。北方春季气候特征就是干燥，风沙大，这也是爱车空调在春季遇到的“无形杀手”。经常清洁冷凝器，蒸发器表面，保持干净无杂质，可以令冷凝器更好的把热气散发到车外，也可提升空调的使用效果。其次检查风扇有无异物，马路上的垃圾带，石子，泥沙阻碍了风扇的正常工作，使其工作效率大幅降低。

其次，经常清洁、定期更换空调滤清器，才能保持良好的空气调节质量。通常车主可以在每5000公里或3个月对空调滤清器进行一次清洁，其方法就是用空气压缩机将滤芯表面的尘土吹掉。每30000公里或12个月更换一次空调滤芯。(依据各款车辆的不同进行)最后，要注意对内室死角的清理，尤其是出风口的除菌和清理。春季气温较之冬日有明显的上升，加上冬日很少开窗通风，这也给细菌繁衍生长提供了“温床”。这时车主可以自行购买车用内饰除菌剂来亲自动手，也可找专门的店家来进行出风口消毒。总之，空调在春季的保养主要还是以清洁和检查为主，这里所提到的也只是其中一小部分而已，对于车主来说，每年到了这个季节，厂家都会进行一些这样的免费检测活动，您不妨留心一下，保障空调没有后顾之忧，让舒爽伴您一路同行。

轮胎气压要适当

冬季因为气温较低，轮胎的气压一般比较充足，可到了春季，随着气温的升高，应当测量一下胎压，如果气压过高应适当放气到规定范围，假如气压不正常，这些反复交叉的变形就不能保持在设计允许的范围以内，这样形同轮胎在慢性自杀。轮胎寿命缩短，耗油量增加是不能避免，甚至有可能爆胎翻车。其次，要检查胎纹，汽车轮胎在长期使用中，由于轮胎与地面间的滑动摩擦力作用，轮胎会产生磨损，当磨耗过了轮胎标志时，就要更换轮胎，因为此时的轮胎性能已经大大降低，安全性下降，在公路容易爆胎。一般而言，一条轮胎的使用寿命是四、五万公里左右。轮胎的磨损情况和轮胎的安装位置有直接关系的。要改变轮胎不规则的磨损现象，最好的办法就是使每个轮胎都能均衡地磨损，那样就可以延长轮胎的使用寿命。他建议当汽车行驶到6000公里时，进行一次四轮调整；8000公里时，做一次四轮定位；并且在车主觉得胎有振动等问题时，做一次四轮平衡。最后，检查轮胎胎面是否有损伤，有句话说“千里之堤，溃于蚁穴”，胎体是否有被扎钉，胎侧是否有起鼓，胎身是否有被划破，橡胶是否老化龟裂等潜在的隐患都可能导致轮胎漏气，轮胎瘪气会造成车胎被轮辋碾裂甚至切碎，从而引发交通事故。

电瓶呵护要及时

电瓶在汽车的使用过程中起到了重要的作用，如果它不能正常供电，则发动机和车上用电系统就会跟着出问题或者停转。因此车主平时就必须细心呵护好它，才能避免发动机不能起动或是车行半途突然熄火的困境。其实对电瓶的保养非常容易，车主只要在每次检查发动机时，顺便花很少的时间保养一下电瓶就可以了。由于电瓶又分为不同的种类，其保养和检查方法也是不一样的。拿最常见的免维护电瓶来说：第一步先将棉布蘸湿温水把电瓶外部擦洗一下，把表面、尤其是正负两个极头的灰尘、油污、白色粉末等易造成漏电污物擦拭干净。并且还可以在接头处涂上一层黄油，降低以后的腐蚀程度。这样经常的擦洗电瓶，电瓶的桩头不但不会囤积白色的酸蚀粉末，而且其使用寿命会更长。第二步检查电瓶线的正负接头是否牢固，如有松动，拧紧即可，这样有利于电瓶更好地发挥电量。第三步，一般的免维护电瓶的寿命周期是两年，如果您的电瓶到了“岁数”，发现起动困难时，那么您就不要吝惜兜里的银子，该出手时就出手吧！换块新的电瓶可以排除您被撂在路上的可能。

雨刷保养要细心

春季雨水的增多必然让雨刷承担更多的责任。因为雨天的路面及视线都不利于驾驶，如果雨刷不能很好刷掉雨水，那将会给您行车安全带来很大危险，此时的雨刷则扮演着相当重要的角色，因此对它的检查保养更要细心到位。雨刷要经常保持清洁，车主可用面纸或棉布沾水，顺着橡胶条擦拭，将沾附在橡胶条上的灰尘清除。避免雨刷长时间接触玻璃，晴天时玻璃上的温度是相当高的，高温对于橡胶的弹性有着致命的伤害，容易使像胶提早硬化。避免使用含氨清洁剂，洗衣用肥皂粉或是某些家用清洁剂中含有氨的成分，这些成分也容易使橡胶条硬化，因此并不适合添加在雨刷水箱中。另外要注意的是，不同的清洁剂不可混用，否则可能会产生凝结物而阻塞了水管喷头。玻璃若有破损应尽快填补或更换，在路上行车难免会遇到跳石打伤玻璃，在玻璃表面上留下坑坑疤疤的凹痕，这不仅会对雨刷造成伤害，严重的话，较大的凹痕还可能会引起玻璃龟裂。市面有种产品是专门用来保养雨刷胶条的胶条保护剂，有的做成像麦克笔，也有的是附在其它清洁用品的包装里，一包包像面纸一样的东西。这些对于雨刷的帮助主要是增加它的润滑性，避免雨刷在玻璃上刮出一道道细纹，延长胶条的弹性。

底盘防腐最重要

由于冬季经常下雪，加上融雪喷洒的盐水，底盘会受到腐蚀。到了春季随着雨水的增多，洗车的次数也会增加，可每次洗车后的污水会残留在底部，长久下去就会形成潜在的腐蚀因素，对爱车造成伤害。能有效保护底盘的方式就是做底盘封塑，所谓底盘封塑，就是在底盘表面喷涂具有防水、耐酸碱和高低温等特性的特殊弹性胶，将底盘和四轮支撑体部位完全包裹住，它能有效保护底盘不受腐蚀，同时还能起到抗击路面石子的撞击，减少噪音等作用。目前市面上的地盘装甲材料主要有沥青和橡胶树脂，沥青容易变硬脱落、弹性不足，达不到保护底盘的作用，而橡胶树脂弹性持久、附着力强、保护强度大，是目前比较高档的底盘保护材料。底盘封塑要到专业的汽车美容中心去做。首先要对底盘进行彻底清洁。电脑洗车设备具有底盘清洁功能，高压水柱的喷射可将底盘上的泥沙冲净。如果底盘油污过多，还要用去油污的清洁剂洗一遍，使底盘露出原有的本色，底盘封塑才可以开始进行。做完底盘封塑还要注意不要用碱性清洗剂冲洗车身及底盘，这样会影响防锈效果并缩短防锈时间。

车内杀菌保健康

冬季天气寒冷，车主很少开窗通风，以至车内滋生了数以万计的细菌，还会产生大量的异味。选择专用清洗液，配合专业的抽洗机，采用大量的循环清水将脏东西和清洗剂带出来，选用专业车内杀菌剂，彻底清除异味，抑制细菌滋生。用配有特制消毒杀菌剂的高温水蒸气均匀地将汽车内部蒸几分钟，对车内各部位进行清洁，起到清洁、软化污垢、消毒杀菌、除去车内异味的作用。采用超声波室内杀菌消毒设备、充分雾化药液、利用空调内循环系统使药液均匀分布，达到杀除病毒及细菌的作用。

对车厢内空气的消毒：在车内无人的状况下，用紫外线灯照射车厢内部，对车内进行消毒，消毒完成后，开窗通风约5至6分钟。也可使用无腐蚀作用的消毒剂进行喷雾消毒。消毒后，车厢内的设施应用清水擦拭，再用清洁的棉布擦干，以便去除残留的消毒剂。其次，也可采用化学消毒剂气溶胶喷雾消毒方法。使用2%过氧乙酸按每立方米8毫升的量，进行气溶胶喷雾消毒1小时，消毒结束后通风换气。过氧化氢复方空气消毒剂以每立方米50毫克的量，采用喷雾法30分钟，消毒结束后通风换气。对车厢内的设施消毒后应用清水擦拭，再用清洁的干布擦干，以便去除残留的消毒剂。

要使消毒达到理想的效果，还需特别注意掌握消毒药剂的浓度与时间要求，这是因为各种病原体对消毒方法抵抗力是不同的。由于街边店缺乏一定的医学常识，在消毒药剂的配比上缺乏一定的针对性，消毒的效果不太理想，故车主在选择对车辆进行消毒时，应选择那些比较正规的，声誉较好的装饰店进行消毒杀菌。

多多留心制动液

轿车制动系统绝大多数是双管路真空助力液压制动。值得重视的是传递制动力的制动液，它有极强的吸水性。如果有水进入制动液，在制动的过程中，摩擦产生的高温会使水气化。而气体具有可压缩性，在制动液中被压缩，就会造成制动失灵甚至失效。

入春以后，雨水越来越多，空气的湿度会越来越大。如果制动液在雨季到来之前就有少量水分，那将是很危险的。有些制动液吸水较严重的车辆，在制动液油杯盖上就能看见水珠。所以在保养时必须要检查制动液，以保证驾乘者的生命安全。

以上所讲的是一些从冬季过度到春季的换季保养，但除了换季保养外常规保养也是非常重要的，常规保养包括更换机油、三滤等。如果您的爱车到了规定里程，那么在做换季保养的同时把常规保养也做了，把您的爱车调整到最佳状态，带着家人和朋友驾车去踏青，感受春天的魅力和生机,感受大自然的美好。

辞旧迎新新的一年开始了，202_陪伴您忙碌了一年的爱车，也该好好的收拾一下了。秋冬时节，干燥的气候、频繁的风沙，是否已经使您的车身产生了划痕，漆面变得暗淡无光？由于不能经常开窗通风，车厢内的异味是否难以去除？给汽车做一次内外美容养护，干干净净迎新年、迎接新的征程吧！

通过吉刚美容技师专业的系列汽车美容护理新技术，可以使车身恢复本来面貌，内饰恢复自然色泽，全车焕然一新，达到魔术翻新效果。

漆面处理是通过使用各种专业工具和养护产品对漆面进行抛光、还原、镜面、上光等处理，经过处理后，漆面上的细小网纹完全看不到了，漆面顿时熠熠生辉。内饰和发动机表面通过处理也能看出“魔术”般的翻新效果。针对内饰中的皮质品、橡塑件、织物、丝绒等使用不同的清洗剂进行处理后，一些看起来很难去除的污渍会奇迹般地消失，塑胶件和皮革部位色泽自然，不反油光，洁净的车厢里还会留下淡淡果香。

发乌发暗的轮胎轮毂也可通过处理面貌一新。美容药剂还可对轮胎上的细微裂纹起到密封作用，保证它不会轻易积累灰尘，更易清洗。

除了做好车身外部的保养之外，为迎接即将到来的节日驾车游，最好能提前为底盘封上塑脂护板，将车的底盘彻底保护起来。旅游区的路面状况复杂，飞溅的碎石、沙砾容易损伤机件，雨季泥泞路面对底盘都会造成腐蚀和伤害。给底盘封上塑脂护板后就可以起到防腐、防锈、防撞、防噪的作用了。

经过吉刚汽车美容技师的全面美容护理，您的汽车会如同新车般光彩照人，整洁清新，让您开着新车开始202_年工作生活新面貌。

冬去春来，寒署轮回。

当又一个酷热的夏季扑面而来的时候，对于汽车美容装饰及养护市场来说，这将意味着新一轮季节性

消费大潮的隆重开启。

在炎热气候条件下爱车养车的多层次火爆需求，强势推出了“‘202_亮爽一夏’夏季爱车养车总动员特别行动”，并专门为活动推出了一整套新一代夏季养车特别技术及产品配备。

一、水釉被膜洗车(夏季装)

夏天太阳光直射强，温度高，容易对车身漆面产生损害，导致车漆起泡，车漆老化加快，车漆不好者

甚至会产生小块剥落等现象。

在原有水釉洗车技术基础上，特别针对夏季行车环境，推出了新一代水釉洗车夏季装，在保持越洗越亮洗车效果的同时，将太阳光反射回去，从而减轻车身表面的温度积聚，达到有效保护车漆的效果。

水釉被膜洗车夏季装，特别针对南方夏季雨水多的特点，溶入了防止酸雨对车漆的侵害。

二引掣养护技术(夏季装)

引掣是汽车的动力核心，在酷热的夏季，引掣系统一边要为行车提供足够的动力，一边要承受火热的高温，如果不采取特别的养护措施，势必会影响汽车的动力和性能的长久性。敏锐地观察到了夏季引掣养护的十分必要性，依靠最新推出的专业技术，针对性地推出了夏季引掣养护专业技术，从汽车引掣的日常清洗、降温降热、线路维护等多个环节入手，保护汽车的引掣动力系统在夏日里的安全和性能。

汽车贴膜养护(夏季装)

夏季行车的一大安全隐患，来自于阳光的照射，玄光干扰驾驶视线，会严重影响开车过程中的安全。同时，在太阳光的直射下，车身热量过高也会导致车室内温度升高，车内细菌、有害气体弥漫，不利于人的身体健康。

车爵仕汽车贴膜养护夏季系列，专门针对夏天阳光过度照射、容易产生玄光，干扰行车视线，容易导致车室内气温升高等特点，隔热节油、保护隐私、防止玄光、防止汽车玻璃自爆和人为原因对车窗玻璃的破坏，从多个角度保护夏季行车的安全。

汽车轮胎养护(夏季装)

炎炎夏日，地面温度高达七八十度，滚烫的地表对汽车轮胎来说，是一个严峻的考验，很容易造成车

胎老化，减少使用寿命。

汽车轮胎养护夏季装，使用一系列自主化高端特色产品和技术，专门针对在夏天火热的气候环境下，对汽车轮胎的保养和维护，达到减轻汽车轮胎的高温负荷，防止强阳光，热温度对轮胎的损害，延长使用

时间，有效保护车胎的安全。

底盘装甲保护(夏季装)

高温、雨水、尘土、沙砾、沥青，地面各种污染物、有害物，直接对汽车底盘不断侵袭，夏日这个季节，实在让汽车的底盘装置难堪重负，局部锈蚀、路线受损，都会严重影响到汽车的使用性能。底盘装甲保护技术夏季装，突破传统的制作工艺，采用全合成材料，超强硬度，形成耐腐蚀、耐砂石溅击的保护层

有效保护汽车底盘系统免受腐蚀、冲击的伤害。

此外，汽车空调清洗保养、故障检修，汽车内室消毒、空气清鲜、真皮内饰保养，一系列夏季汽车保养高品质应

对策略。

第四篇：书法八法

中国书法史至清代,出楷书二家一为黄自元,一为嘉庆帝十一子成亲王爱新觉罗.永惺.黄有[间架结构十二法]传世,[成亲王“书法指南”]

文章虽好，书法为先，欲知字值千金，须用心通八法。点如瓜子，中含万象之光；捺似钢刀，有斩三军之势；捧阳鸟而出海，驱渴马以奔泉；直似悬针，穿破九霄之云雾；画如横剑，劈开太极之阴阳；有往皆收，无垂不缩；撇钩快锐，胜斧凿之锋芒；挑剔飞腾，赛鸾凤之体势；左右若群臣顾主，转折如万水朝东；笔画均匀，务要不疏而不密；间架端正，须教无歪与无斜；字字若星辰之磊落，行行如锦绣之铺陈；草书百丈之龙蛇，直绝半空之风雨；造处神惊鬼哭，写时凤翥鸾翔；颜筋柳骨，钟情王态，兼此诸家之格，取其字体之中，精通未易，端楷尤难，能仿法斯，方为妙手。

第五篇：均值不等式八法

运用均值不等式的八类拼凑方法

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。

一、拼凑定和

通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。

例１ 已知0x1，求函数yx3x2x1的最大值。

解：yx2x1x1x11x2x11x

2x1x11x32x1x141x4。22327

当且仅当3x11321x，即x时，上式取“=”。故ymax。2327

评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。

例2

求函数yx0x1的最大值。

解：

y

 x2x221x1x2x2

21x因，22327

x2

1x2，即x当且仅当时，上式取“=

”。故ymax。293

3评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。例3 已知0x2，求函数y6x4x2的最大值。

解：y36x224x22182x24x24x2

32x24x24x21883

18。327

当且仅当2x4

x，即x



=”。故ymax

1883，又y0,ymax。

二、拼凑定积

通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为

出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件

例4 设x1，求函数y

x5x2的最小值。

x

1解：y

x14x1

1x145x1x1

59。当且仅当x1时，上式取“=”。故ymin9。

评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑

定积”，往往是十分方便的。

例5 已知x1，求函数y

24x1

x3的最大值。

解：x1,x10，y

24x1

x1

4x1

4

x1

4x1



3。

224

当且仅当x1时，上式取“=”。故ymax3。

评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设

法将分母“拼凑定积”。

例6 已知0x，求函数y

2cosx的最小值。

sinxxx

解：因为0x，所以0，令tant，则t0。

211cosx1t213t所以yt

sinxsinx2t2t2当且仅当

13t，即tx时，上式取“

=”。故ymin 2t

3评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。

三、拼凑常数降幂

例7 若a3b32,a,bR，求证：ab2。

分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥

梁，能为解题提供信息，开辟捷径。本题已知与要求证的条件是ab1，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。

证明：a313133a,b313133b。，a3b3463ab,ab2.当且仅当ab1时，上述各式取“=”故原不等式得证。

评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。

例8 若x3y32,x,yR，求x2y25xy的最大值。

解：31xx1x3x3,31yy1y3y3,31xy1x3y3,x2y25xy

1x3x31y3y351x3y3



77x3y3

7。

当且仅当ab1时，上述各式取“=”，故x2y25xy的最大值为7。

例9 已知a,b,c0,abc1，求证：a3b3c3abbcca。

证明：1a3b331ab,1b3c331bc,1c3a331ca，32a3b3c33abbc

ca，又abbcca3，32a3b3c32abbcca3,a3b3c3abbcca。

当且仅当abc1时，上述各式取“=”，故原不等式得证。

四、拼凑常数升幂

例10 若a,b,cR，且abc

1。

分析：已知与要求证的不等式都是关于a,b,c的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是

1abc

3证明：2161616



a5,2

b5,2c5，3332。

31

abc32.

当且仅当abc

时，上述各式取“=”，故原不等式得证。

3例11 若ab2,a,b,R，求证：a3b32。

证明：311a1313a3,311b1313b3,3ab4a3b3。

又ab2,a3b32。当且仅当ab1时，上述各式取“=”，故原不等式得证。

五、约分配凑

通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。

例12 已知x,y,0,1，求xy的最小值。

xyy1

解：xyx

284y6x

4x32xyxy

326 4。

当且仅当

1，故xymin64。时，即x4.y16，上式取“=”

xy

241的最小值。x1x

例13 已知0x1，求函数y

解：因为0x1，所以1x0。

所以y

41x411x4

x1x59。x1xx1xx1x

41x2x

时，即x，上式取“=”，故ymin9。

3x1x



当且仅当

a2b2c21

abc。例14 若a,b,cR，求证

bccaab2

分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于a,b,c的轮换对称式，当abc时，等式成立。

a2a

，此时

bc2

a1bca2

设mbc，解得m，所以应拼凑辅助式为拼凑的需要而添，经此一添，解题可见眉

244bc

目。

证

明

：

a2bcb2cac2aba,b,cbc4ca4ab4。

a2b2c21，故原不等式得证。abc。当且仅当abc时，上述各式取“=”

bccaab2

六、引入参数拼凑

某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。

149

例15 已知x,y,zR，且xyz1，求的最小值。

xyz

解：设0，故有xyz10。

914914914

xyz1xxx xyzxyzxy

z。当且仅当

式取“=”，即x

149

x,y,z同时成立时上述不等xyz

y

z，代入xyz1，解得

36，此时36，故

x4y9z的最小值为36。

七、引入对偶式拼凑

根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。

例16 设a1,a2,,an为互不相等的正整数，求证

证明：记bn

则

an111a1a2a

31。122232n2123n

ana1a2a31111

，构造对偶式，dn122232n2a1a2a3an

an1a11a21a311111

bndn22222，n1231a12a23a3nan



当且仅当aiiiN,in时，等号成立。又因为a1,a2,,an为互不相等的正整数，

所以dn

11111111

，因此bn。123n123n

评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。

八、确立主元拼凑

在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。

例17 在ABC中，证明cosAcosBcosC

1。8

分析：cosAcosBcosC为轮换对称式，即A,B,C的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其它变元

看作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉。

证明：当cosA0时，原不等式显然成立。

当cosA0时，cosAcosBcosC

cosAcosBCcosBC

21cosAcosBCcosA 2

11cosA1cosA1cosA1cosA。2228

cos(BC)1

当且仅当，即ABC为正三角形时，原不等式等号成立。

cosA1cosA

综上所述，原不等式成立。

评注：变形后选择A为主元，先把A看作常量，B、C看作变量，把B、C这两个变量集中到cos(BC)，然后利用cos(BC)的最大值为1将其整体消元，最后再回到A这个主元，变中求定。

综上可见，许多貌似繁难的最值问题或不等式证明问题，运用均值不等式等号成立条件，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式，轻松获解。这种运用等号成立条件的拼凑方法，既开拓了学生的思路，又活跃了学生的思维，培养了学生的数学能力。