§5.1 平面向量的概念及线性运算
考试要求 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义．
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求两个向量差的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ
a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0
λ(μ
a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.微思考
1．三角形加法法则的推论是什么？
提示 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．中点公式的向量形式是什么？
提示 中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(×)
(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(×)
(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之亦成立．(√)
题组二 教材改编
2．给出下列命题：①若a与b都是单位向量，则a＝b；②直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量；③若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合；④海拔、温度、角度都不是向量，则所有正确命题的序号是()
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
答案 D
解析 ①错误，虽然单位向量长度相等，但是方向不确定；②错误，由于只有方向，没有大小，故x轴，y轴不是向量；③正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；④正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．
3．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于()
A.B．2
C．3
D．4
答案 D
解析 ＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4.4．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________.(用a，b表示)
答案 b－a －a－b
解析 如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.题组三 易错自纠
5．对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b.若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．
6．下列四个命题中，正确的是()
A．若a∥b，则a＝b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若|a|＝|b|，则a∥b
D．若a＝b，则|a|＝|b|
答案 D
题型一
平面向量的概念
1．给出下列命题，正确的命题为()
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a与b方向相反
D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同
答案 A
解析 对于A，向量与向量，长度相等，方向相反，命题成立；对于B，当a＝0时，不成立；对于C，当a，b之一为零向量时，不成立；对于D，当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．
2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是()
A．a＝－b
B．a∥b
C．a＝2b
D．a∥b且|a|＝|b|
答案 C
解析 因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．
3．下列命题中正确的有()
A．若a∥b，则a与b同向
B．相反向量就是方向相反的向量
C．a与b同向，且|a|>|b|，则a>b
D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
答案 D
解析 平行向量也可能方向相反，所以A是错误的；因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等可以推出这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D是正确的．
4．下列命题正确的有()
A．方向相反的两个非零向量的模相同
B．单位向量都相等
C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D．“若A，B，C，D是不共线的四点，且＝”⇔“四边形ABCD是平行四边形”
答案 D
解析 方向相反的两个非零向量只是方向相反，与长度大小无关系，故A错误；
单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B错误；
两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故C错误；
A，B，C，D是不共线的四点，＝，即模相等且方向相同，即四边形ABCD对边平行且相等，即为平行四边形，反之也成立，故D正确．
思维升华 平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．
题型二
平面向量的线性运算
命题点1 向量加、减法的几何意义
例1 设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则()
A．a⊥b
B．|a|＝|b|
C．a∥b
D．|a|>|b|
答案 A
解析 方法一 利用向量加法的平行四边形法则．
在▱ABCD中，设＝a，＝b，由|a＋b|＝|a－b|知，||＝||，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.方法二 ∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.命题点2 向量的线性运算
例2(2020·合肥质检)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则等于()
A.a＋b
B.a＋b
C.a－b
D.a－b
答案 A
解析 方法一 如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以＝＋.因为＝，所以＝，＝，所以＝＋＝a＋b.方法二 ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.方法三 由＝，得－＝(－)，所以＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.命题点3 根据向量线性运算求参数
例3(2020·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.答案
解析 取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，所以λ＝，μ＝，则λ＋μ＝.思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)求已知向量的和或差．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用向量减法的几何意义；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
跟踪训练1 在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若＝x＋y(x，y∈R)，则x－y＝______.答案 2
解析 由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，因为＝x＋y，所以＝＋，所以解得
所以x－y＝2.题型三
共线定理的应用
例4 设两向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
(1)证明 ∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴，共线，又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)解 ∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.思维升华 利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔，共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练2(1)(2020·南昌质检)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是()
A．λμ＝1
B．λμ＝－1
C．λ－μ＝－1
D．λ＋μ＝2
答案 A
解析 ∵与有公共点A，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t，使＝t，即λa＋b＝ta＋μtb，则消去参数t，得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，＝a＋b，此时存在实数使＝，故和共线．∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线，故选A.(2)(2020·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________．
答案 －
解析 由题意知，A，B，D三点共线，故存在一个实数λ，使得＝λ.又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，∴＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，∴3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，∴解得k＝－.课时精练
1．(2020·湖北宜昌一中月考)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．a与b共线反向
D．存在正实数λ，使a＝λb
答案 D
解析 因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a与b共线同向，故D正确．
2.如图所示，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于()
A．0
B.C.D.答案 D
解析 根据正六边形的性质，易得，＋＋
＝＋＋
＝＋＝.3．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是()
A．点P在线段AB上
B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上
D．点P在△ABC外部
答案 C
解析 由＋＋＝，得＋＋＝－，即＝－2，故点P在线段AC上．
4．(2020·唐山模拟)已知O是正方形ABCD的中心．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则等于()
A．－2
B．－
C．－
D.答案 A
解析 ＝＋＝＋＝－＋＝－，所以λ＝1，μ＝－，因此＝－2.5．(2020·郑州模拟)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为()
A．1
B．－
C.D．－2
答案 B
解析 由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－.6.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝.下列关系中正确的是()
A.－＝
B.＋＝
C.－＝
D.＋＝
答案 A
解析 由题意得，－＝－＝＝＝，所以A正确；＋＝＋＝＝，所以B错误；－＝－＝＝，所以C错误；＋＝＋，＝＝－，若＋＝，则＝0，不符合题意，所以D错误．
7．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________.答案 2
解析 因为||＝||＝|－|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|＋|＝2.8．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.答案
解析 ∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝.9．设M是△ABC所在平面上的一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则＝________.答案
解析 ∵D是AC的中点，∴＋＝2，又∵＋＋＝0，∴＝－(＋)＝－×2，即＝3，故＝，∴＝.10．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正确命题有________．(填序号)
答案 ②③④
解析 ＝a，＝b，＝＋＝(＋)＋＝＋＝－a－b，故①错；
＝＋＝a＋b，故②正确；
＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；
＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故④正确．
所以正确命题序号为②③④.11．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．
解 由题设知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因为a，b不共线，所以有解得t＝.故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．
12.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.(1)试用a，b表示，；
(2)证明：B，E，F三点共线．
(1)解 在△ABC中，因为＝a，＝b，所以＝－＝b－a，＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b，＝＋＝－＋＝－a＋b.(2)证明 因为＝－a＋b，＝＋＝－＋
＝－a＋＝－a＋b
＝，所以＝，即与共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线．
13．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为()
A．3
B．4
C．5
D．6
答案 B
解析 如图，∵D为AB的中点，则＝(＋)，又＋＋2＝0，∴＝－，∴O为CD的中点，又∵D为AB的中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4.14．(2020·广东六校联考)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为()
A.B.C.D.答案 C
解析 方法一 因为＝，所以＝.设＝λ，则＝＋＝＋λ
＝＋λ(＋)＝＋λ
＝λ＋(1－λ).又＝t＋，所以t＋＝λ＋(1－λ)，得解得t＝λ＝.方法二 因为＝，所以＝，所以＝t＋＝t＋，因为B，P，N三点共线，所以t＋＝1，所以t＝.15．(2020·滁州模拟)已知A1，A2，A3为平面上三个不共线的定点，平面上点M满足＝λ(＋)(λ是实数)，且＋＋是单位向量，则这样的点M有()
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
答案 C
解析 方法一 由题意得，＝－λ(＋)，＝＋，＝＋，∴＋＋＝(1－3λ)·(＋)，如图所示，设D为A2A3的中点，∴(1－3λ)(＋)是与共起点且共线的一个向量，显然直线A1D与以A1为圆心的单位圆有两个交点，故λ有两个值，即符合题意的点M有两个，故选C.方法二 以A1为原点建立平面直角坐标系(图略)，设A2(a，b)，A3(m，n)，则＋＝(a＋m，b＋n)，∴M(λ(a＋m)，λ(b＋n))，∴＝(－λ(a＋m)，－λ(b＋n))，＝(a－λ(a＋m)，b－λ(b＋n))，＝(m－λ(a＋m)，n－λ(b＋n))，∴＋＋＝((1－3λ)(a＋m)，(1－3λ)(b＋n))．
∵＋＋是单位向量，∴(1－3λ)2[(a＋m)2＋(b＋n)2]＝1，∵A1，A2，A3是平面上三个不共线的定点，∴(a＋m)2＋(b＋n)2>0，所以关于λ的方程有两解，故满足条件的M有两个，故选C.16．经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，(m>0，n>0)．
(1)证明：＋为定值；
(2)求m＋n的最小值．
(1)证明 设＝a，＝b.由题意知＝×(＋)＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝a＋b，由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得＝λ，即nb－ma＝λa＋λb，从而消去λ得＋＝3.(2)解 由(1)知，＋＝3，于是m＋n＝(m＋n)
＝≥(2＋2)＝.当且仅当m＝n＝时，m＋n取得最小值，最小值为.
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