一、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）计算下列各题（要求写出计算步骤）
1）
解：因为
所以，原式
2）设，求。
解：因为
……
……
所以。
3）求，其中。
解：
4）求幂级数的和函数，并求级数的和。
解：设，则有
上式两边关于求导得。
二、（本题共16分）设为数列，为有限数，求证：
1）如果，则
2）如果存在正整数，使得，则。
证明：1）因为所以存在有。
对任意的，存在整数，当时有
又因为存在整数当有，所以取
当时有
这就证明。
2）设，则有。
三、（本题共15分）设函数在闭区间上具有连续的三阶导数，且。
求证：在开区间内至少存在一点，使得。证明：因为，在之间，所以，其中，又因为在上连续在之间，由介值定理可得，存在使得。
四、（本题共15分）在平面上，有一条从点向右的射线，其线密度为。
在点处（其中）有一质量为的质点。求该射线对质点的引力。解：用微元法计算，设此射线上一小段为，其上一点的坐标为，此小段对质点的引力方向为，大小为，由此可得该射线对质点的引力为
五、（本题共15分）设是由方程所确定的隐函数，且具有二阶连续偏导数。
求证：和。证明：此题是错题。
六、（本题共15分）设函数连续，为常数，是单位球面。
记第一型曲面积分为。求证：证明：当时。
当不全为零时，用微元法证明。
用平面去
切球面，其中
设平面切球面所得半弦长，则
所切小环带展开后长为，宽为。
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