极值点偏移问题的处理策略及探究

极值点偏移问题的处理策略及探究

所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于,两点，则的中点为，而往往.如下图所示.极值点没有偏移

此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！

【问题特征】

【处理策略】

一、不含参数的问题.例1.（2010天津理）已知函数，如果，且，证明：

【解析】法一：，易得在上单调递增，在上单调递减，时，，时，函

数在处取得极大值，且,如图所示.由，不妨设，则必有，构造函数，则，所以在上单调递增，也即对恒成立.由，则，所以，即，又因为，且在上单调递减，所以，即证

法二：欲证，即证，由法一知，故，又因为在上单调递减，故只需证，又因为，故也即证，构造函数，则等价于证明对恒成立.由，则在上单调递增，所以，即已证明对恒成立，故原不等式亦成立.法三：由，得，化简得…，不妨设，由法一知，.令，则，代入式，得，反解出，则，故要证：，即证：，又因为，等价于证明：…‚，构造函数，则，故在上单调递增，从而也在上单调递增，即证‚式成立，也即原不等式成立.法四：由法三中式，两边同时取以为底的对数，得，也即，从而，令，则欲证：，等价于证明：…ƒ，构造，则，又令，则，由于对恒成立，故，在上单调递增，所以，从而，故在上单调递增，由洛比塔法则知：，即证，即证ƒ式成立，也即原不等式成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.二、含参数的问题.例2.已知函数有两个不同的零点，求证：.【解析】思路1：函数的两个零点，等价于方程的两个实根，从而这一问题与例1完全等价，例1的四种方法全都可以用；

思路2：也可以利用参数这个媒介去构造出新的函数.解答如下：

因为函数有两个零点，所以，由得：，要证明，只要证明，由得：，即，即证：，不妨设，记，则，因此只要证明：，再次换元令，即证

构造新函数，求导，得在递增，所以，因此原不等式获证.【点评】含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。

例3.已知函数，为常数，若函数有两个零点，试证明：

【解析】法一：消参转化成无参数问题：，是方程的两根，也是方

程的两根，则是，设，则，从而，此问题等价转化成为例1，下略.法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数：

不妨设，∵，∴，∴，欲证明，即证.∵，∴即证，∴原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例2中思路二的解答，下略.法三：直接换元构造新函数：

设，则，反解出：，故，转化成法二，下同，略.例4.设函数，其图像与轴交于两点，且.证明：.【解析】由，易知：的取值范围为，在上单调递减，在上单调递增.法一：利用通法构造新函数，略；

法二：将旧变元转换成新变元：

∵两式相减得：，记，则，设，则，所以在上单调递减，故,而，所以，又∵是上的递增函数，且，∴.容易想到，但却是错解的过程：

欲证：，即要证：，亦要证，也即证：，很自然会想到：对两式相乘得：，即证：.考虑用基本不等式，也即只要证：.由于.当取将得到，从而.而二元一次不等式对任意不恒成立，故此法错误.【迷惑】此题为什么两式相减能奏效，而变式相乘却失败？两式相减的思想基础是什么？其他题是否也可以效仿这两式相减的思路?

【解决】此题及很多类似的问题，都有着深刻的高等数学背景.拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件：

（1）

函数在闭区间上连续；

（2）

函数在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得.当时，即得到罗尔中值定理.上述问题即对应于罗尔中值定理，设函数图像与轴交于两点，因此，∴，……

由于，显然与，与已知

不是充要关系，转化的过程中范围发生了改变.例5.（11年，辽宁理）

已知函数

（I）讨论的单调性；

（II）设，证明：当时，；

（III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：.【解析】（I）易得：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（II）法一：构造函数，利用函数单调性证明，方法上同，略；

法二：构造以为主元的函数，设函数，则，由，解得，当时，而，所以，故当时，.（III）由（I）知，只有当时，且的最大值，函数才会有两个零点，不妨设，则，故，由（II）得：，又由在上单调递减，所以，于是，由（I）知，.【问题的进一步探究】

对数平均不等式的介绍与证明

两个正数和的对数平均定义：

对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：

（此式记为对数平均不等式）

取等条件：当且仅当时，等号成立.只证：当时，.不失一般性，可设.证明如下：

（I）先证：……

不等式

构造函数，则.因为时，所以函数在上单调递减，故，从而不等式成立；

（II）再证：……‚

不等式‚

构造函数，则.因为时，所以函数在上单调递增，故，从而不等式‚成立；

综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立.前面例题用对数平均不等式解决

例1.（2010天津理）已知函数，如果，且，证明：

【解析】法五：由前述方法四，可得，利用对数平均不等式得：，即证：，秒证.说明：由于例2，例3最终可等价转化成例1的形式，故此处对数平均不等式的方法省略.例4.设函数，其图像与轴交于两点，且.证明：.【解析】法三：由前述方法可得：，等式两边取以为底的对数，得，化简得：，由对数平均不等式知：，即，故要证

∵

∴，而

∴显然成立，故原问题得证.例5.（11年，辽宁理）

已知函数

（I）讨论的单调性；

（II）设，证明：当时，；

（III）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：.【解析】（I）（II）略，（III）由

故要证

.根据对数平均不等，此不等式显然成立，故原不等式得证.【挑战今年高考压轴题】

（2016年新课标I卷理数压轴21题）已知函数有两个零点.证明：.【解析】由，得，可知在上单调递减，在上单调递增.要使函数有两个零点，则必须.法一：构造部分对称函数

不妨设，由单调性知，所以，又∵在单调递减，故要证：，等价于证明：，又∵，且

∴，构造函数，由单调性可证，此处略.法二：参变分离再构造差量函数

由已知得：，不难发现，故可整理得：

设，则

那么，当时，单调递减；当时，单调递增．

设，构造代数式：

设，则，故单调递增，有．

因此，对于任意的，．

由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有

令，则有

而，在上单调递增，因此：

整理得：．

法三：参变分离再构造对称函数

由法二，得，构造，利用单调性可证，此处略.法四：构造加强函数

【分析说明】由于原函数的不对称，故希望构造一个关于直线对称的函数，使得当时，当时，结合图像，易证原不等式成立.【解答】由，故希望构造一个函数，使得，从而在上单调递增，在上单调递增，从而构造出（为任意常数），又因为我们希望，而，故取，从而达到目的.故，设的两个零点为，结合图像可知：，所以，即原不等式得证.法五：利用“对数平均”不等式，由对数平均不等式得：，从而

等价于：

由，故，证毕.说明：谈谈其它方法的思路与困惑。