《高等数学》教学大纲

《高等数学》教学大纲

课程名称：高等数学Ⅰ

课程代号：

学时数：

学分数:

适用专业：专升本

一、本课程的地位、任务和作用

高等数学是人们在从事高新技术及知识创新中必不可少的工具，它的内容、思想、方法和语言已广泛渗入自然科学和社会科学，成为现代文化的重要组成部分。21世纪是信息时代，它不仅给人类生活带来日新月异的变化，也给“高等数学”课程的教学增添了新的内涵。

“高等数学”是高等院校的一门重要的基础课，通过学习使学生受到必要的高等数学教育，使其具有一定的数学素养，为后续课程学习及今后的应用打下良好的数学基础。

二、本课程的基本内容及要求

第一章

函数

（一）基本内容

函数的概念及表示法,函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性，复合函数，反函数，隐函数，基本初等函数的性质及其图形。掌握常用的不等式和等式以及极坐标。

（二）基本要求

1．理解函数的概念，掌握表示法。

2．了解函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性。

3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数，隐函数概念。

4．掌握简单初等函数的性质及其图形。

5．掌握常用的不等式和等式以及极坐标。

第二章

极限与连续

（一）基本内容

熟练掌握数列极限与函数极限的定义及性质，函数的左、右极限，无穷小与无穷大的概念，无穷小的性质及其比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限

函数连续的概念，间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

（二）基本要求

1．理解数列极限与函数极限的概念。

理解函数的左、右极限概念及极限存在与左、右极限存在的关系。

2．掌握极限的性质、极限的四则运算法则。

3．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，基本掌握利用“两个重要极限”求极限的方法。

4．理解无穷小与无穷大的概念，掌握无穷小比较方法，会用等价无穷小求极限。

5．理解函数连续的概念，会判别函数间断点的类型。

6．了解连续函数的性质，初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质并会利用这些性质。

第三章

一元函数微分学

（一）基本内容

导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数的概念，某些简单函数n阶导数，一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用。

（二）基本要求

1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述简单物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，初步了解微分在近似计算中的应用。

3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。

4．会求分段函数的导数。

5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

第四章

一元函数微分学的应用

（一）基本内容

罗尔（Rolle）定理，拉格朗日（Lagrange）中值定理，柯西定理（Cauchy）中值定理，泰勒（Taylor）中值定理，洛比达（L＇Hospital）法则，函数的极值及其求法，函数单调性，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数最大值和最小值的及其简单应用，弧微分，曲率半径。

（二）基本要求

1．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，初步了解泰勒定理。了解柯西中值定理。

2．掌握用“洛比达“法则求未定式极限的方法。

3．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

4．会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

5．了解弧微分的概念及其计算公式，了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

第五章

一元函数积分学

（一）基本内容

原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，不定积分和定积分的换元积分与分部积分方法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分。

（二）基本要求

1．理解原函数、不定积分的概念。

2．掌握不定积分的基本公式，理解不定积分的性质，掌握不定积分的换元法和分部积分法。

3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。

第六章

一元函数积分学的应用

（一）基本内容

定积分的元素法，用定积分计算面积、体积、弧长，用定积分计算功、水压力、引力。

（二）基本要求

1．掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、旋转体的体积、平面截面面积为已知的立体体积、平面曲线的弧长）。

2．掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力沿直线所做的功、水压力和引力）。

笫七章

常微分方程

（一）基本内容

微分方程的概念，微分方程的解、阶、通解、初始条件和特解，变量可分离的方程，齐次方程，一阶线性方程，伯努利（Benoulli）方程，全微分方程，可用简单的变量代换求解的某些微分方程，可降阶的高阶微分方程，线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程，高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，欧拉（Euler）方程，微分方程的幂级数解法，微分方程的简单应用问题。

（二）基本要求

1．了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念

2．掌握可分离变量方程及一阶线性方程的解法

3．会求解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换求解某些微分方程。

4．会用降阶法求解方程：。

5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6．掌握二阶常数齐次线性微分方程的解法，并会求解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7．会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

8．了解微分方程的幂级数解法，会求解欧拉方程。

9．会用微分方程解决一些简单的应用问题。

笫八章

向量代数与空间解析几何

（一）基本内容

向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积的概念及运算，两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦，曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程、直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角，点到平面和点到直线的距离，球面，母线平行于坐标轴的柱面，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程，常用的二次曲面方程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。

（二）基本要求

1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2．掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），掌握两个向量垂直、平行的条件。

3．掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

4．掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

5．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

6．了解空间曲线的参数方程和一般方程。

7．了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

第九章

多元函数微分学

（一）基本内容

多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数极限和连续的概念，有界闭区域多元连续函数的性质，多元函数偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分在近似计算中的应用，多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度的概念及其计算，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数的最大值、最小值及其简单应用。

（二）基本要求

1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。

4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

5．掌握多元复合函数偏导数的求法。

6．会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们方程。

8．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

第十章

重积分

（一）基本内容

二重积分、三重积分的概念及性质，二重积分与三重积分的计算和应用。

（二）基本要求

1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。

2．掌握二重积分（直角坐标系、极坐标系）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标系、柱面坐标、球面坐标）。

3．会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力等）。

第十一、十二章

曲线积分与曲面积分

（一）基本内容

两类曲线积分的概念、性质及计算，两类曲线积分的关系，格林（Green）公式，平面曲线积分与路径无关的条件，已知全微分求原函数，两类曲面积分的概念、性质及计算，两类曲面积分的关系，高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式，散度、旋度的概念及计算，曲线积分和曲面积分的应用。

（二）基本要求

1．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2．掌握计算两类曲线积分的方法。

3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

4．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。

7．了解散度与旋度的概念，并会计算。

8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。

第十三章

无穷级数

（一）基本内容

常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与级数以及它们的收敛性，正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法，交错级数与莱布尼茨定理，任意项级数的绝对收敛与条件收敛，函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法，函数可展开为泰勒级数的充分必要条件，常见函数如，，等的麦克劳林展开式，幂级数在近似计算中的应用，函数的傅里叶级数，Dirichlet收敛定理，函数在和上的傅里叶级数，函数在和上的正弦级数和余弦级数。

（二）基本要求

1．理解常数项级数的收敛、发散以及收敛级数的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法。

4．掌握交错级数的莱布尼茨定理。

5．理解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，了解绝对收敛与条件收敛的关系。

6．了解函数项级数收敛域与和函数的概念。

7．掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛区域的求法。

8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求某些数项级数的和。

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握常见函数如，，等的麦克劳林展开式，并会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11．了解幂级数在近似计算上的简单应用。

12．了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在和上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在和上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

三、习题数量与要求

（一）数量：以网上作业为主，教师作业为辅。

（二）要求：覆盖基本理论、基本方法、基本计算。

四、教学方式与考核方式

教学方式：面授辅导、平时作业

考核方式：考勤、作业和考试

五、几点说明：

（一）推荐教材

朱士信

唐烁等。高等数学（上、下）。高等教育出版社

（二）参考书目

1．同济大学应用数学系．高等数学（五版）（上、下）．北京：高等教育出版社，2002

2．殷锡鸣等．高等数学．上海：

华东理工大学出版社，2003

3．马知恩．工科数学分析基础（第二版）．北京：高等教育出版社，2006

4．萧树铁．大学数学．北京：高等教育出版社，2005

5．安徽大学数学系．高等数学．合肥：安徽大学出版社，2002