大学 高等数学 竞赛训练 积分学

大学生数学竞赛训练三—积分学

一、（15分）计算。

解：原式

二、（20分）设曲面和球面

1）求位于内部的面积

2）设，求位于内部的体积。

解：1）解方程组得

方法二、。

2）此为旋转体的体积

方法二、三、（15分）求，其中为球面，并取外侧。

解：对应外侧的单位法向量为

由对称性可得，所以。

四、（15分）设函数具有二阶导数，且，函数在区间上连续，证明：

证明：利用泰勒公式，对任取的有

其中在之间，因为，所以我们有

取，则有

两边在上关于可得

五、（15分）计算。

解：设，则有，又因为，所以。

方法二、原式

六、（20分）设具有二阶连续偏导数，光滑曲线是区域的边界，证明：

其中是沿曲线外法向量的方向导数。

证明：设曲线的单位外法向量为，则曲线的正方向（逆时针方向）对应的单位切向量为，因为

所以。

七、