动力学中的图象问题、临界问题牛顿运动定律的适用范围·典型例题解析

第一篇：动力学中的图象问题、临界问题牛顿运动定律的适用范围·典型例题解析

动力学中的图象问题、临界问题牛顿运动定律的适用范围·典型例题解析

【例1】如图25－1所示，木块A、B静止叠放在光滑水平面上，A的质量为m，B的质量为2m．现施水平力F拉B，A、B刚好不发生相对滑动，一起沿水平面运动．若改用水平力F′拉A，使A、B也保持相对静止，一起沿水平面运动，则F′不得超过

A．2F B．F/2 C．3F

D．F/3 解析：水平力F拉B时，A、B刚好不发生相对滑动，这实际上是将要滑动，但尚未滑动的一种临界状态，从而可知此时的A、B间的摩擦力即为最大静摩擦力．

先用整体法考虑，对A、B整体：F＝(m＋2m)a：

再将A隔离可得A、B间最大静摩擦力：fm＝ma＝F/3；

若将F′作用在A上，隔离B可得：B能与A一起运动，而A、B不发生相对滑动的最大加速度：a′＝fm/2m；再用整体法考虑，对A、B整体：F′＝(m＋2m)a′＝F/2因而正确选项为B．

点拨：“刚好不发生相对滑动”是摩擦力发生突变(由静摩擦力突变为滑动摩擦力)的临界状态．由此求得的最大静摩擦力正是求解此题的突破口．

【例2】在光滑的水平面上，一个质量为0.2kg的物体在1.0N的水平力作用下由静止开始做匀加速直线运动，2.0s后将此力换为方向相反、大小仍为1.0N的力，再过2.0s将力的方向再换过来„„，这样，物体受到的力的大小虽然不变，方向却每过2.0s变换一次，求经过半分钟物体的位移及半分钟末的速度分别为多大？

解析：在最初2s内物体的加速度为a＝F/m＝1/0.2m/s2＝5m/s2，物体做初速度为零的匀加速直线运动，这2s内的位移为s＝at2/2＝1/2×5×22m＝10m 2s末物体的速度为v＝at＝5×2m/s＝10m/s 2s末力的方向改变了，但大小没变，加速度大小仍是5m/s2，但方向也改变了，物体做匀减速直线运动．到4s末，物体的速度为vt＝v0－at＝10m/s－5×2m/s＝0

[

]

故在第二个2s内的位移为s2＝vt＝(v0＋vt)/2·t＝10m

所以，物体在前4s内的位移为s1＋s2＝20m．

可以看出，第二个4s物体将重复第一个4s内的运动情况：前2s内做初速度为零的匀加速直线运动，后2s内做匀减运动且后2s末的速度为零．依此类推，物体在半分钟内的v－t图线如图25－2所示，物体在半分钟内的位移为s＝7(s1＋s2)＋s1＝7×20m＋10m＝150m，半分钟末物体的速度为10m/s．

点拨：物体从静止开始，每经过4s，物体的运动状态重复一次．这一特点经过v－t图线的描述，变得一目了然，充分显示了借助于图象解题的优点．

【问题讨论】本题中，若物体在该水平力作用下由静止开始运动，第一次在1.0s后将力换为相反方向，以后，再每经过2.0s改变一次力的方向，则该题的答案又如何？

【例3】用细绳拴着质量为m的重物，从深为H的井底提起重物并竖直向上作直线运动，重物到井口时速度恰为零，已知细绳的最大承受力为T，则用此细绳子提升重物到井口的最短运动时间为多少？

点拨：(1)由题意可知，“最大”承受力及“最短”作用时间均为本题的临界条件．提重物的作用时间越短，要求重物被提的加速度越大，而细绳的“最大”承受力这一临界条件又对“最短”时间附加了制约条件．显然这两个临界条件正是解题的突破口．

(2)重物上提时的位移一定，这是本题的隐含条件．

(3)开始阶段细绳以最大承受力T上提重物，使其以最大加速度加速上升；紧接着使重物以最大加速度减速上升(绳子松驰，物体竖直上抛)，当重物减速为零时恰好到达井口，重物这样运动所需时间为最短．

答案：例3 t＝2HT/g(T－mg)例4 θ＝60°时，Xmn＝53m【问题讨论】该题还可以借助速度图线分析何种情况下用时最短． 一般而言，物体可经历加速上升、匀速上升和减速上升三个阶段到达井口，其v－t图线如图25－3中的图线①所示；若要时间最短，则应使加速上升和减速上升的加速度均为最大，其v－t图线如图25－3中②所示．

显然在图线与坐标轴围成面积一定的条件下，图线②所需时间最短． 【例4】一个物体在斜面上以一定的速度沿斜面向上运动，斜面底边水平，斜面倾角θ可在0～90°间变化，设物体达到的最大位移x和倾角θ间关系如图25－4所示，试计算θ为多少时x有最小值，最小值为多少？

点拨：这是一道由图线给出的信息作为已知条件的习题．由图线可知，θ＝90°时，物体竖直上抛，所能达到的最大高度x1＝10m，以此求得上抛的初速度v0；

θ＝0°时，物体在水平面上作匀减速直线运动，最大位移x2＝

103m，以此求得物体与接触面间动摩擦因数μ：

当斜面倾角为任意值θ时，物体上滑加速度的大小为：a＝gsinθ ＋μgcosθ，代入vt2－v02＝2ax讨论求解即可．

mg)

答案：2HT/g(T－ 例4 θ＝60°时，Xmn＝53m

跟踪反馈

1．如图25－5所示，在粗糙平面上，物体在水平拉力作用下做匀加速直线运动．现使F不断变小，则在滑动过程中 3 t＝

[

] A．物体的加速度不断变小，速度不断增大 B．物体的加速度不断增大，速度不断变小

C．物体的加速度先变大再变小，速度先变小再变大 D．物体的加速度先变小再变大，速度先变大再变小

2．一个物体在水平面上受到恒定的水平力作用，从静止开始运动，经过时间t后撤去外力，物体继续运动，其v－t图线如图25－6所示，则在此过程中，水平拉力和滑动摩擦力的大小之比为F∶f＝________．

3．如图25－7所示，在光滑水平面上挨放着甲、乙两物块．已知m2＝2m1，乙受到水平拉力F2＝2N，甲受到一个随时间变化的水平推力F1＝(9－2t)N作用．当t＝________秒时，甲、乙两物块间开始无相互挤压作用．

4．甲物体由A地出发，从静止开始作加速度为a1的匀加速运动，后作加速度大小为a2的匀减速运动，到B地时恰好停止运动．乙物体由A地出发始终作加速度为a的匀加速运动，已知两个物体从A到B地所用的时间相同，求证：1/a＝1/a1＋1/a2

(提示：本题借助图象法求解较为简捷明了．根据习题所描述的物理过程，作出甲、乙两物体的v－t图线，如图25－8所示，再由题意及图线可知甲加速过程的末速度、减速过程的初速度及乙加速运动至B地的末速度相等，均为最大速度vm．由时间关系可知vm/a＝vm/a1＋vm/a2)

参考答案：1．D 2．3∶1 3．4s 4．略

第二篇：牛顿运动定律的简单应用典型例题

牛顿运动定律的简单应用典型例题

【例1】一物体放在光滑水平面上，初速为零，先对物体施加一向东的恒力F，历时1s；随即把此力改为向西，大小不变，历时1s；接着又把此力改为向东，大小不变．历时1s；如此反复，只改变力的方向，共历时1min，在此1min内 [ ] A．物体时而向东运动，时而向西运动，在1min末静止于初始位置之东 B．物体时而向东运动，时而向西运动，在1min末静止于初始位置 C．物体时而向东运动，时而向西运动，在1min末继续向东运动 D．物体一直向东运动，从不向西运动，在1min末静止于初始位置之东 【分析】物体在第1s内受恒力作用向东作匀加速运动．在第2s内，受力向西，加速度方向向西，但速度方向仍向东，物体作向东的匀减速运动．由于力的大小不变，前、后两秒内物体的加速度大小不变，仅方向相反，所以至第2s末，物体向东运动的速度恰减为零，且第2s内的位移与第1s内的位移相同． 以后，力的方向又改为向东、继而向西„„如此往复，物体则相应地向东作匀加速运动、继而向东作匀减速运动，„„在1min内物体一直向东运动，至1min末恰静止． 【答】 D．

【说明】 物体运动的加速度方向必与受力方向相同，但不一定与速度方向相同．若以向东方向为速度的正方向，物体运动的v-t图如图所示，物体依次作着加速度大小相等、加速度方向相反的匀加速运动、匀减速运动，„„直到停止．整个1min内v＞0，表示物体一直向东运动．

【例2】汽车空载时的质量是4×103kg，它能运载的最大质量是3×103kg．要使汽车在空载时加速前进需要牵引力是2.5×104N，那么满载时以同样加速度前进，需要的牵引力是多少？

【分析】由空载时车的质量和牵引力算出加速度，然后根据加速度和满载时的总质量，再由牛顿第二定律算出牵引力．

空载时，m1=4×103kg，F1=2.5×104N，由牛顿第二定律得加速度： 满载时，总质量为m1+m2=7×103kg，同理由牛顿第二定律得牵引力：

F2=（m1+m2）a=7×103×6.25N=4.375×104N

【说明】根据牛顿第二定律F = ma可知，当加速度a相同时，物体所受的合外力与其质量成正比．因此可以不必先算出加速度的大小，直接由比例关系求解．即由

直接得

【例3】如图1所示，一根质量为m，长为L的均匀长木料受水平拉力F作用后在粗糙水平面上加速向右运动．在离拉力作用点x处作一断面，在这一断面处，左右两部分木料之间的相互作用力为多少？

【分析】 取整个木料和断面左端（或右端）为研究对象，由于它们的加速度相同，可根据它们所受合外力与质量成正比的关系得解．

【解】 设整个木料所受的摩擦力为f，断面两侧的相互作用力为T，作用在断面左端部分的摩擦力为

整个木料和断面左侧水平方向的受力情况如图2所示．根据加速度相同时力与质量的比例关系可知

【说明】本题由于利用了F∝m的关系，可以不必计算加速度，十分简捷．由解得结果可知，截面位置取得离拉力处越远，截面两侧的相互作用力越小，当x = L时，T=0，这是显然的结果．

如果木料受到水平推力作用，情况怎样？有兴趣的同学可自行研究．

【例4】物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如图1所示．在A点物体开始与弹簧接触．到B点时，物体速度为零，然后被弹回，则以下说法正确的是 [ ]

A．物体从A下降和到B的过程中，速率不断变小 B．物体从B上升到A的过程中，速率不断变大

C．物体从A下降到B，以及从B上升到A的速程中，速率都是先增大，后减小

D．物体在B点时，所受合力为零

【分析】本题考察a与F合的对应关系，弹簧这种特殊模型的变化特点，以及由物体的受力情况判断物体的运动性质．对物体运动过程及状态分析清楚，同时对物体正确的受力分析，是解决本题思路所在． 【解】找出AB之间的C位置，此时F合=0 则（1）从A→C．由mg＞kx1，（2）在C位量mg = kxc，a=0，物体速度达最大（如图2乙）（3）从C→B，由于mg＜kx2，同理，当物体从B→A时，可以分析B→C做加速度越来越小的变加速直线运动；从C→A做加速度越来越大的减速直线运动．

【说明】由物体的受力情况判断物体的运动性质，是牛顿第二定律应用的重要部分，也是解综合问题的基础．

弹簧这种能使物体受力连续变化的模型，在物理问题（特别是定性判断）中经常应用．其应用特点是：找好初末两态，明确变化过程．

【例5】图中A为电磁铁，C为胶木秤盘，A和C（包括支架）的总质量为M，B为铁片，质量为m，整个装置用轻绳悬挂于O点．当电磁铁通电，铁片被吸引上升的过程中，轻绳上拉力F的大小为 [ ]

A．F = Mg B．Mg＜F＜（M＋m）g C．F=（M + m）g D．F＞（M + m）g

【分析】以铁片为研究对象，它被吸引上升过程中受到电磁铁对它的吸引力Q（变力）、重力mg．在每一时刻

Q-mg = ma，即Q＞mg．

根据牛顿第三定律，铁片也对电磁铁A（包括支架C）施加向下的吸引力，其大小Q′=Q．

以A和C为研究对象，它受到细线向上拉力F、A′和C的重力Mg、铁片吸引力Q′．由力平衡条件知

F = Mg + Q′ = Mg + Q，∴F＞（M + m）g．

【答】 D．

【说明】必须注意，铁片能吸引上升是一个加速过程，因此，Q＞mg．同时，不要疏忽铁片对磁铁的吸引力．

【例6】如图1所示，一只质量为m的猫抓住用绳吊在天花板上的一根质量为M的垂直杆子．当悬绳突然断裂时，小猫急速沿杆竖直向上爬，以保持它离地面的高度不变．则杆下降的加速度为 [ ]

【分析】 设猫急速上爬时对杆的作用力为f，方向向下，则杆对猫的作用力的大小也为f，方向向上，绳断裂后，猫和杆的受力情况如图2所示

由于猫急速上爬，保持对地面的高度不变，意味着在这个过程中，猫对地无加速度，处于力平衡状态，所以f = mg

杆仅受两个竖直向下的力作用，根据牛顿第二定律，得杆的加速度大小为

其方向竖直向下． 答 C．

说明 本题反映了牛顿第二定律的相对性，即加速度a必须是地面而言的．如果不理解这一点，本题就难以求解．

【例7】如图1所示，一木块从h=3.0m、长L=5.0m的固定斜面的顶端，由静止开始沿着斜面滑至底端．如果木块与斜面之间的动摩擦因数μ=0.30，求

（1）木块运动的加速度；

（2）木块从斜面顶端滑至底端所需的时间．

【分析】以木块为研究对象，它在下滑过程中受到三个力作用：重力mg、斜面支持力N、斜面的滑动摩擦力f（图2）由于这三个力不在同一直线上，可采用正交分解法，然后根据牛顿运动定律求出加速度，结合运动学公式可求出运动时间．

【解】（1）设斜面倾角为θ，由受力图2可知：沿斜面方向由牛顿第二定律得

mgsinθ-f = ma．

垂直斜面方向由力平衡条件得

N-mgcosθ=0．

又由摩擦力与正压力的关系得

f=μN．

联立上述三式可解得木块下滑的加速度为

a = g（sinθ-μcosθ）．

式中

∴a = g（sinθ-μcosθ）

=9.8（0.60-0.30×0.80）m／s2=3.60m／s2．

【说明】 这是属于已知力求运动的问题，通过加速度建立了力和运动的联系．题解中基本上遵循了牛顿第二定律应用的步骤。

【例8】 两重叠在一起的滑块，置于固定的、倾角为θ的斜面上，如图1所示，滑块A、B的质量分别为M、m，A与斜面间的滑动摩擦因数为μ1，B与A之间的滑动摩擦因数为μ2，已知两滑块都从静止开始以相同的加速度从斜面滑下，滑块B受到的摩擦力 [ ]

A．等于零 B．方向沿斜面向上 C．大小等于μ1mgcosθ D．大小等于μ2mgcosθ

【分析】把A、B两滑块作为一个整体，设其下滑加速度为a．由牛顿第二定律（M + m）gsinθ-μ1（M + m）gcosθ=（M + m）a，得

a = g（sinθ-μ1cosθ）．

由于a＜gsinθ，可见B随A一起下滑过程中，必然受到A对它沿斜面向上的摩擦力，设力fB（图2）由牛顿第二定律

mgsinθ-fB = ma，得fB =mgsinθ-ma

= mgsinθ-mg（sinθ-μ1cosθ）=μ1mgcosθ． 【答】 B、C．

【说明】由于所求的摩擦力是未知力，如果不从加速度大小的比较先判定其方向，也可任意假设，若设B受到A对它的摩擦力沿斜面向下．则牛顿第二定律的表达式为

mgsinθ+fB = ma，得 fB = ma-mgsinθ

=mg（sinθ-μ1cosθ）-mgsinθ =-μ1mgcosθ．

式中负号表示所求摩擦力的方向与假设的方向相反，应为沿斜面向上．

【例9】 一个质量为m的物体放在水平地面上，设物体与地面间的摩擦系数为μ，对物体施以作用力F。问：

（1）若F是拉力，则F应沿怎样的方向拉，才能使物体获得最大的加速度？（2）若F是推力，则为了不产生加速度，F应朝什么方向推？ 【误解】

（1）当F沿着水平方向拉，物体才有最大的加速度。

（2）为了使物体不获得加速度F的方向必须与水平地面垂直。【正确解答】

（1）如图1所示，物体受重力mg、支持力N′、摩擦力f和拉力F作用。设F与竖直方向成α角，与水平方向成θ角。

在y轴方向有

N′=mg-Fcosα 则f=μ（mg-Fcosα）

在x轴方向上的物体的加速度为

令 μ=tgθ，则

在F是拉力情况下，当90°-α=θ时，也就是作用力F的方向与地面的夹角恰为θ=arctgμ时，物体能获得最大的加速度。很明显，若μ=0，则θ=0°，也就是α=90°时，物体能获得最大的加速度。

（2）如图所示，若F是推力，设推力与竖直方向的夹角为α，与水平地面的夹角为θ，则

f=μ（mg + Fcosα）

在x轴方向上物体的加速度为

推力使物体在x方向上获得加速度，即a＞0，所以

Fsinα-μ（mg + Fcosα）＞0 即 F（sinα-μcosα）-μmg＞0 当α角使

F（sinα-μcosα）-μmg≤0时，即 sinα-μcosα≤

sinα-μcosα≤0

来求解α角的范围。令μ = tgβ 则有

sinα-tgβcosα≤0

即

sin（α-β）≤0，在α、β均为锐角时得

α≤β=arctgμ

当用力推物体时，施力的方向与竖直方向的夹角α小于β，不论F多大都不能使物体获得加速度。

【错因分析与解题指导】[误解]的主要错因是没有注意摩擦力的影响，由于外力F的方向不同，会使摩擦力的大小发生变化。无论是滑动摩擦力还是最大静摩擦力，都和物体与地面间的正压力有关。当外力F以与地面成不同的角度来推、拉物体时，正压力就有不同的值，所以物体所受的合力就有不同的值。只有在正确分析物体的受力情况后，对问题才能作出正确的解答。

【例10】 质量为m=2kg的木块原来静止在粗糙水平地面上，现在第1，3，5„奇数秒内给物体施加方向向右、大小为F1=6N的水平推力，在第2，4，6„偶数秒内，给物体施加方向仍向右、大小为F2=2N的水平推力，已知物体与地面间的摩擦因数μ=0.1．取g=10m／s2，问：（1）木块在奇数秒和偶数秒内各做什么运动？（2）经过多长时间，木块位移的大小等于40.25m？

【分析】以木块为研究对象，它在竖直方向处于力平衡状态，水平方向仅受推力F1（或F2）和摩擦力f的作用．由牛顿第二定律可判断出木块在奇数秒和偶数秒的运动，结合运动学公式，即可求出运动时间． 【解】（1）木块在奇数秒内的加速度为

木块在偶数秒内的加速度为

所以，木块在奇数秒内做a = a1=2m／s2的匀加速直线运动，在偶数秒内做匀速直线运动．

（2）在第1s内木块向右的位移为

至第1s末木块的速度

v1=at=2×1m/s=2m/s．

在第2s内，木块以第1s末的速度向右做匀速运动，在第2s内木块的位移为

s2=v1t=2×1m=2m．

至第2s末木块的速度

v2=v1=2m/s．

在第3s内，木块向右做初速等于2m/s的匀加速运动，在第3s内的位移为

至第3s末木块的速度

v3=v2+at=2m/s+2×1m/s=4m/s．

在第4s内，木块以第3s末的速度向右做匀速运动，在第4s内木块的位移为

S4=v3t=4×1m=4m．

至第4s末木块的速度

v4=v3＝4m/s．

„„

由此可见，从第1s起，连续各秒内木块的位移是从1开始的一个自然数列．因此，在ns内的总位移为

当sn=40.25m时，n的值为8＜n＜9．取n=8，则8s内木块的位移共为

至第8s末，木块的速度为

v8=8m/s．

设第8s后，木块还需向右运动的时间为tx，对应的位移为

sx=40.25m-36m=4.25m，由

得合理解

tx=0.5s．

所以，木块的位移大小等于40.25m时需运动时间

T=8s+0.5s=8.5s．

【说明】木块运动的v-t图如下图所示．

因为v-t图线与t轴间的面积表示对应时间内的位移，所以每秒内位移成一等差数列，其公差等于划有斜线的小三角形面积，即

△s=s1=1m．

[例11]如图1所示，一细线的一端固定于倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球．当滑块以a=2g的加速度向左运动时，线中拉力T等于多少？

【分析】当小球贴着滑块一起向左运动时，小球受到三个力作用：重力mg、线中拉力T、滑块A的支持力N，如图2所示．小球在这三个力作用下产生向左的加速度．当滑块向左运动的加速度增大到一定值时，小球可能抛起，滑块的支持力变为零，小球仅受重力和拉力两个力作用．

由于题设加速度a=2g时，小球的受力情况未确定，因此可先找出使N=0时的临界加速度，然后将它与题设加速度a=2g相比较，确定受力情况后即可根据牛顿第二定律列式求解．

【解】根据小球贴着滑块运动时的受力情况，可列出水平方向和竖直方向的运动方程分别为

Tcos45°-Nsin45°=ma，（1）Tsin45°+Ncos45°=mg．（2）

联立两式，得

N=mgcos45°-masin45°．

当小球对滑块的压力等于零，即应使N=0，滑块的加速度至少应为

可见，当滑块以a=2g加速向左运动时，小球已脱离斜面飘起．此时小球仅受两个力作用：重力mg、线中拉力T′，（图3）设线与竖直方向间夹角为β．同理由牛顿第二定律得

T′sinβ=ma，T′cosβ=mg．

联立两式得

【说明】 如果没有对临界状态作出分析，直接由（1）、（2）两式联立得线中拉力

这就错了！

【例12】如图1质量为M的斜面体放在有摩擦的地面上，质量为m1的物体A与质量为m2的物体B之间有摩擦，但物体B与斜面间的摩擦不计，物体B的上表面水平．AB在加速下滑的过程中相对静止，斜面的倾角为θ，求：

①物体B对物体A的摩擦力和弹力 ②地面对斜面体的摩擦力和弹力

【分析】 本题考察整体和隔离法研究动力学问题，恰当的选取研究对象并正确受力分析是解题关键．

【解】（1）取A和B组成的系统为研究对象，受力如图2（a），沿斜面方向

（m1+m2）gsinθ=（m1+m2）a

∴ a=gsinθ（1）

再以A研究受力如图2（b）则 x方向

m1gsinθ+f1cosθ-N1sinθ=m1a（2）y方向

N1cosθ+f1sinθ=m1gcosθ（3）

由式（1）（2）（3）得

f1=m1gcosθ·sinθ 方向：水平向左 N1=m1gcos2θ方向：竖直向上

（2）对物体B受力分析如图2（c）沿y方向

N′2=m2gcosθ+N′1cosθ+f′1sinθ（4）

由牛顿第三定律知 N1=N′1（5）

f1= f′1（6）∴N′2=（m1+m2）gcosθ

对斜面体C分析受力如图2（d），则沿x方向：

N2sinθ-f2=0（7）

沿y方向：

N-Mg-N2cosθ=0（8）

有牛顿第三定律知 N=N′2（9）由式（7）（8）（9）得

f2=（m1+m2）gcosθsinθ 方向水平向左 N = Mg +（m1+m2）g·cos2θ 方向竖直向上

【说明】 本题研究对象很多，在分析各力时，力要清晰，且标好各自符号。题目考察综合分析能力．在运用牛顿第二定律解决问题的应用中，我们应当具备把一个复杂问题分解成若干简单问题的能力，找准它们之间的联系，这既是一种解题方法，也是解复杂题目的关键所在．

【例13】 如图1所示的三个物体质量分别为m1和m2和m3，带有滑轮的物体放在光滑水平面上，滑轮和所有接触面的摩擦以及绳子的质量均不计，为使三个物体无相对运动．水平推力F等于多少？

【分析】由于三个物体无相对运动，因此可看作一个整体，列出整体的牛顿第二定律方程．然后再隔离m1、m2，分别列出它们的运动方程． 【解】 由整体在水平方向的受力列出牛顿第二定律方程为

F=（m1+m2+m3）a．（1）

分别以m1、m2为研究对象作受力分析（图2）设绳张力为T． 对m1，在水平方向据牛顿第二定律得

T=m1a．（2）

对m2，在竖直方向由力平衡条件得

T-m2g=0．（3）

联立式（1）、（2）、（3），得水平推力

【说明】也可以全部用隔离法求解．设连接m1与m2的绳中张力为T，m2与m3之间相互作用力为N，滑轮两侧绳子张力形成对m3的合力为F′，画出各个物体的隔离体受力图如图3所示（m1、m3竖直方向的力省略）．

对于m1，由受力分析知

T=m1a．（4）

对于m2，由水平方向与竖直方向的受力情况，分别可得

N=m2a，（5）T-m2g=0．（6）

对于m3，设滑轮两侧绳中张力的合力为F′，其水平分力化都表示物体运动状态已发生了改变．（向左）等于T，因此

F-N-T=m3a．（7）

由（4）、（5）、（6）三式得

把它们代入式（7）得水平推力

显然，全部用隔离法求解时，不仅未知数和方程数多，还可能因疏漏滑轮两侧绳子拉力对m3的影响而造成错误．所以应注意灵活地有分有合，交替使用隔离法和整体法．

【例14】 在升降机地面上固定着一个倾角α=30°的光滑斜面，用一条平行于斜面的细绳拴住一个质量m=2kg的小球（图1）当升降机以加速度a=2m／s2竖直向上匀加速运动时，绳子对球的拉力和小球对斜面的压力分别为多少？（取g=10m／s2）

【分析】以小球为研究对象，它随升降机向上加速运动过程中受到三个力作用：重力mg、绳子拉力T、斜面支持力N．由于这三个力不在一直线上，可采用正交分解法，然后列出牛顿第二定律方程，即可求解．

【解】 根据小球的受力情况（图2），把各个力分解到竖直、水平两方向．在竖直方向上（取向上为正方向），根据牛顿第二定律得

Tsinα + Ncosα-mg = ma．（1）

在水平方向上（取向右为正方向），根据力平衡条件得

Tcosα-Nsinα=0．（2）

将（1）式乘以sinα，（2）式乘以cosα，两式相加得绳子对球的拉力为

将（1）式乘以cosα，（2）式乘以sinα，两式相减得斜面对球的支持力为

根据牛顿第三定律，球对斜面的压力

N′=-N=-20.8N，式中“-”号表示N′与N方向相反，即垂直斜面向下．

【说明】 本题是已知运动求力，解题基本步骤与例2相同．需注意题中求出的N是斜面对球的支持力，还必须用牛顿第三定律，得出球对斜面的压力．

【例15】如图所示，在一个盛水的容器中漂浮一个物体，这时水面到达物体的某一位置。如将这个容器放在升降机中，在升降机以加速度a由静止开始向上匀加速直线上升的过程中，物体浸入水中的深浅如何变化？

【误解】 设漂浮物体的密度为ρ，体积为V，浸入水中的体积为V′，水的密度为ρ水。当容器静止时

ρgV=ρ

水gV′

当容器以加速度a向上做匀加速直线运动时

F浮-mg = ma

∴ F浮=m（g+a）=ρV（g+a）设此时排开水的体积为V″，则有 ρ水V″g=ρV（g+a）

物体浸入深度将大些。

【正确解答】当容器处于静止状态时

当容器以加速度a向上运动时，则有 F浮-mg = ma 即 ρ水（g + a）V″-ρgV =ρaV

∴V″=V′ 物体浸入深度不变。

【错因分析与解题指导】当容器以加速度a竖直向上做匀加速运动时，容器中的漂浮物和水同样处于“超重”状态，因此，水对漂浮物的浮力应变成ρ水（g + a）V″而不是ρ水gV″，这也就是[误解]的根源之所在。

我们不妨再来考虑一种特殊情况：即当盛水容器放在自由下落的升降机上，物体浸入水中的深浅又如何变化呢？

全决定于自由下落前物体浸入水中的情况。由于下落前物体已静浮液在

结论。

[例16]一个质量m为3.0kg的物块，静置在水平面上，物块与水平面间的动摩擦因数为0.20，现在给物块施加一个大小为15N，方向向右的水平推力F，并持续作用6s，在6s末撤去F1，在撤去F1的同时给物块施加一个大小为12N，方向向左的水平推力F2，持续作用一段时间后又将它撤去，并立即给物块施加一个大小仍为12N、方向向右持续作用的水平推力F3，已知物块由静止开始运动，经历14s速度达到18m/s，方向向右，g取10m/s2，求物块在14s内发生的位移。[分析]本题是物块多次受不同恒力而运动的题目，显然研究对象是物块。物块的运动情况可分为三个阶段： 第一段：v10=0

物体向右做初速为零的匀加速运动，历时6s 第二段：v20=a1t1=3.0×6m/s=18m/s

物体将向右做匀减速运动，由于t2末知，t2秒末物体可能有向右速度，可能速度为零，可能有向左的速度。第三段：v3t=18m/s（向右）

由分析知道各段的速度和加速度情况，根据速度和加速度可画出v-t图象，用图象来求解。

第二段末尾速度是第三段初始速度，两段速度图线交点在横轴之上（即正值），且说明物体在第二段一直向右运动，t2=2sv2t=6m/s

[解]

解法一：用图象解

物体运动的v-t图线与横轴所围“面积”为位移大小，即

解法二：用牛顿定律和运动学公式解

v1t=a1t1=18m/s ②

v2t=v1-a2t2=18-6t2④

t3=t总-t1-t3=8-t2 ⑥

v3=v2t+a3t3=18-16t2+2(8-t2)=18 ⑦ 解得：

t2=2s t3=6s v2t=6m/s

解法二：用动量定律求解 对全程有

F1t1-F2t2+F3(t-t1-t2)-ft=mv

解得

t2=2s从而t3=6s 对第一段（F1-f）t1=mv1 v1=18m/s

对第二段

（F2+f）t2=mv2-mv1 v2=6m/s

∴ s=s1+s2+s3=150m [说明]

1.物体的运动性质由两个条件决定：一是运动的初始状态，即初速度，二是物体所受合外力的大小方向。

2.同一个物体做几个不同的运动时，前一过程的末速度，是后一过程的初速度。3.一题往往有几种不同的解法，注意各种解法的特点，正确运用物理公式求解。[例17]图为一空间探测器的示意图，P1、P2、P3、P4是四个喷气发动机，P1、P3的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，P2、P4的连线与y轴平行，每台发动机开始时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动，开始时，探测器以恒定的速率v0向正x方向平动，要使探测器改为向正x偏负y60°的方向以原来的速率v0平动，则可

A.．先开动P1适当时间，再开动P4适当时间 B．先开动P3适当时间，再开动P2适当时间 C．开动P4适当时间

D．先开动P3适当时间，再开动P4适当时间

[分析]每台发动机开动时，都能向探测器提供的是“推力”

最后探测器是向x偏负y60°的方向以原来的速度v0平动，对此速度进行分解

沿x正方向速率减小，要开动P1 , [解]正确答案为A。

[说明]判断物体的运动时，要考虑初速度和受力情况。速度分解时，由于合速度处于直角三角形的斜边所以合速度大小要大于水平分速度大小。

第三篇：高中物理牛顿运动定律知识点含几种典型例题

牛顿运动定律的综合应用习题

典型例题透析

类型

一、瞬时加速度的分析

1、质量分别为mA和mB的两个小球，用一根轻弹簧联结后用细线悬挂在顶板下，如图所示，当

细线被剪断的瞬间。关于两球下落加速度的说法中，正确的是()

A、aA＝aB＝0

B、aA＝aB＝g

C、aA＞g，aB＝0 D、aA＜g，aB＝0

解析：分别以A、B两球为研究对象。当细线束剪断前，A球受到竖直向下的重力mAg、弹簧的弹力T，竖直向上细线的拉力T′；B球受到竖直向下的重力mBg，竖直向上弹簧的弹力T，如下图。

它们都处于力平衡状态，因此满足条件，T ＝mBg

T′＝mAg＋T＝(mA＋mB)g

细线剪断的瞬间，拉力T′消失，但弹簧仍暂时保持着原来的拉伸状态，故B球受力不变，仍处于平衡状态。所以，B的加速度aB＝0，而A球则在重力和弹簧的弹力作用下，其瞬时加速度为：

答案：C举一反三

【变式】如图所示，木块A与B用一轻弹簧相连，竖直放在木块C上，三者静置于地面，它们的质量

之比是l∶2∶3，设所有接触面都光滑，当沿水平方向抽出木块C的瞬间，木块A和B的加速度分别是aA＝

，aB＝。

解析：在抽出木块C前，弹簧的弹力F＝mAg。抽出木块C瞬间，弹簧弹力不变，所以，A所受合力仍为零，故aA＝0。木块B所受合力FB＝mBg＋F＝

答案：，所以。

类型

二、力、加速度、速度的关系

2、如图，自由下落的小球下落一段时间后，与弹簧接触，从它接触弹簧开始，到弹簧压缩到最短的过程中，小球的速度、加速度、合外力的变化情况是怎样的？（按论述题要求解答）

解析：因为速度变大或变小取决于速度方向与加速度方向的关系（当a与v同向时v变大，当a与v反向时v变小），而加速度由合力决定，所以此题要分析v、a的大小变化，必须要分析小球受到的合力的变化。

小球接触弹簧时受两个力作用：向下的重力和向上的弹力（其中重力为恒力）。

在接触的头一阶段，重力大于弹力，小球合力向下，且不断变小（因为F合＝mg－kx，而x增大），因而加速度减少（a＝F合／m），由于a与v同向，因此速度继续变大。

当弹力增大到大小等于重力时，合外力为零，加速度为零，速度达到最大。

之后，小球由于惯性仍向下运动，但弹力大于重力，合力向上且逐渐变大（F合＝kx－mg）因而加速度向上且变大，因此速度减小至零。

（注意：小球不会静止在最低点，将被弹簧上推向上运动，请同学们自己分析以后的运动情况）．

综上分析得：小球向下压弹簧过程，F方向先向下后向上，大小先变小后变大； a方向先向下后向上，大小先变小后变大；v方向向下，大小先变大后变小。

（向上推的过程也是先加速后减速）。举一反三

【变式】如图所示，一轻质弹簧一端系在墙上的O点，自由伸长到B点，今用一小物体m把弹簧压缩到A点，然后释放，小物体能运动到C点静止，物体与水平地面间的动摩擦因数恒定，试判断下列说法正确的是：（）

A．物体从A到B速度越来越大，从B到C速度越来越小

B．物体从A到B速度越来越小，从B到C速度不变

C．物体从A到B先加速后减速，从B到C一直减速运动

D．物体在B点受合外力为零

解析：物体从A到B的过程中水平方向一直受到向左的滑动摩擦力Ff＝μmg大小不变；还一直受到向右的弹簧的弹力，从某个值逐渐减小为零，开始时，弹力大于摩擦力，合力向右，物体向右加速，随着弹力的减小，合力越来越小；到A、B间的某一位置时，弹力和摩擦力大小相等，方向相反，合力为零，速度达到最大；随后，摩擦力大于弹力，合力增大但方向向左，合力方向与速度方向相反，物体开始做减速运动，所以小物块由A到B的过程中，先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运动。从B到C一直减速运动。

答案： C

类型

三、整体法和隔离法分析连接体问题

3、为了测量木板和斜面间的动摩擦因数，某同学设计这样一个实验。在小木板上固定一个弹簧秤(弹簧秤的质量不计)，弹簧秤下端吊一个光滑的小球。将木板和弹簧秤一起放在斜面上。当用手固定住木板时，弹簧秤示数为F1；放手后使木板沿斜面下滑，稳定时弹簧秤示数为F2，测得斜面倾角为θ，由以上数据算出木板与斜面间的动摩擦因数。(只能用题中给出的已知量表示)

解析：把木板、小球、弹簧看成一个整体，应用整体法。

木板、小球、弹簧组成的系统，当沿斜面下滑时，它们有相同的加速度。

设，它们的加速度为a，则可得：(m球＋m木)gsinθ－μ(m球＋m木)gcosθ＝(m球＋m木)a 可得：a＝gsinθ－μgcosθ

①

隔离小球，对小球应用隔离法，对小球受力分析有：mgsinθ－F2＝ma ②

而：mgsinθ＝F1

③

由①②得：F2＝μmgcosθ

④

由③④得举一反三 tanθ

【变式】如图示，两个质量均为m的完全相同的物块，中间用绳连接，若绳能够承受的最大拉力为T，现将两物块放在光滑水平面上，用拉力F1拉一物块时，恰好能将连接绳拉断；倘若把两物块放在粗糙水平面上，用拉力F2拉一物块时(设拉力大于摩擦力)，也恰好将连接绳拉断，比较F1、F2的大小可知()。

A、F1＞FB、F1＜FC、F1＝FD、无法确定

解析：（1）当放置在光滑水平面上时。

由于两物体的加速度相同，可以把它们看成一个整体，对此应用整体法。

由F＝ma可知，两物体的整体加速度。

在求绳子张力时，必须把物体隔离（否则，绳子张力就是系统内力），应用隔离法。

隔离后一物体，则绳子的张力：。

（2）当放置在粗糙水平面上时，同样应用整体法与隔离法。

设每个物块到的滑动摩擦力为F′，则整体加速度

隔离后一个物体，则绳子的张力。

可见这种情况下，外力都等于绳子的最大张力T的两倍，故选项C正确。

答案：C。

类型

四、程序法解题

4、如图所示，一根轻质弹簧上端固定，下挂一质量为m0的平盘，盘中有物体质量为m，当盘静止时，弹簧伸长了l，现向下拉盘使弹簧再伸长Δl后停止，然后松手放开，设弹簧总处在弹性限度内，则刚松开手时盘对物体的支持力等于：

A、(1＋

B、(1＋)mg C、D、解析：题目描述主要有两个状态：(1)未用手拉时盘处于静止状态；(2)松手时盘处于向上加速状态，对于这两个状态，分析即可：

当弹簧伸长l静止时，对整体有

①

当刚松手时，对整体有：

对m有：F－mg＝ma ③

对①、②、③解得：

答案：B

类型

五、临界问题的分析与求解

5、如图所示，斜面是光滑的，一个质量是0.2kg的小球用细绳吊在倾角为53°的斜面顶端。

2斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行；当斜面以8m/s的加速度向右做匀加速运动时，求绳子的拉力及斜面对小球的弹力。

思路点拨：斜面由静止向右加速运动过程中，当a较小时，小球受到三个力作用，此时细绳平行于斜面；当a增大时，斜面对小球的支持力将会减少，当a增大到某一值时，斜面对小球的支持力为零；若a继续增大，小球将会“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角将会大于θ角。而题中给出的斜面向右的加速度，到底属于上述哪一种情况，必须先假定小球能够脱离斜面，然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定。

解析：处于临界状态时小球受力如图示：

则有：mgcotθ＝ma0

解得：a0＝gcotθ＝7.5m/s

∵a＝8m/s＞a0

∴小球在此时已经离开斜面

∴绳子的拉力

斜面对小球的弹力：N＝0 举一反三

22【变式】一个弹簧放在水平地面上，Q为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P为一重物，已知P的质量

M=10.5kg，Q的质量m＝1.5kg，弹簧的质量不计，劲度系数k=800N/m，系统处于静止，如下图所示，现给P施加一个方向竖直向上的力F，使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.2s以后，F为恒力，求：力F的最大值与最小值。(取g=l0m/s)

解析：(1)P做匀加速运动，它受到的合外力一定是恒力。P受到的合外力共有3个：重力、向上的力F及对Q对P的支持力FN，其中重力Mg为恒力，FN为变力，题目说0.2s以后F为恒力，说明t＝0.2s的时刻，正是P与Q开始脱离接触的时刻，即临界点。

(2)t＝0.2s的时刻，是Q对P的作用力FN恰好为零的时刻，此时刻P与Q具有相同的速度及加速度。因此，此时刻弹簧并未恢复原长，也不能认为此时刻弹簧的弹力为零。

(3)当t＝0时刻，应是力F最小的时刻，此时刻F小＝(M＋m)a(a为它们的加速度)。随后，由于弹簧弹力逐渐变小，而P与Q受到的合力保持不变，因此，力F逐渐变大，至t＝0.2s时刻，F增至最大，此时刻F大＝M(g＋a)。

以上三点中第(2)点是解决此问题的关键所在，只有明确了P与Q脱离接触的瞬间情况，才能确定这0.2s时间内物体的位移，从而求出加速度a，其余问题也就迎刃而解了。

解：设开始时弹簧压缩量为x1，t＝0.2s时弹簧的压缩量为x2，物体P的加速度为a，则有：

kx1＝(M＋m)g

①

kx2－mg＝ma ②

x1－x2＝

③

由①式得：

解②③式得：a＝6m/s

2力F的最小值：F小＝(M＋m)a＝72N

力F的最大值：F大＝M(g＋a)＝168N

类型

六、利用图象求解动力学与运动学的题目

6、放在水平地面上的一物块，受到方向不变的水平推力的作用，F的大小与时间t的关系和物

2块速度v与时间t的关系，如图甲、乙所示。取重力加速度g＝10m/s。由此两图线可以求得物块的质量m和物块与地面之间的动摩擦因数μ分别为()

A、m＝0.5kg，μ＝0.4

B、m＝1.5kg，μ＝

C、m＝0.5kg，μ＝0.2

D、m＝1kg，μ＝0.2

2解析：由v－t图可知在0～2s 静止，2～4s是以初速度为0，加速度a＝2m/s做匀加速运动，4～6s内以v＝4m/s做匀速直线运动，结合F－t图像可分析得出：μmg＝2N，ma＝3N－2N，解得m＝0.5kg，μ＝0.4。

答案：A

类型

七、用假设法分析物体的受力

7、两个叠在一起的滑块，置于固定的、倾角为θ的斜面上，如下图所示，滑块A、B质量分别为M、m，A与斜面间的动摩擦因数为μ1，B与A之间的动摩擦因数为μ2，已知两滑块都从静止开始以相同的加速度从斜面滑下，滑块B受到的摩擦力（）

A、等于零

B、方向沿斜面向上

C、大于等于μ1mgcosθ

D、大于等于μ2mgcosθ

解析：把A、B两滑块作为一个整体，设其下滑加速度为a，由牛顿第二定律：

(M＋m)gsinθ－μ1(M＋m)gcosθ＝(M＋m)a 得a ＝g(gsinθ－μ1cosθ)

由于a＜gsinθ，可见B随A一起下滑过程中，必须受到A对它沿斜面向上的摩擦力，设摩擦力为FB(如图所示)，由牛顿第二定律：mgsinθ－FB＝ma 得FB＝mgsinθ－ma＝mgsinθ－mg(sinθ－μ1cosθ)＝μ1mgcosθ

答案：B、C

总结升华：由于所求的摩擦力是未知力，如果不从加速度大小比较先判定其方向，也可任意假设，若设B受到A对它的摩擦力沿斜面向下，则牛顿第二定律的表达式为：mgsinθ＋FB＝ma得FB＝ma－mgsinθ＝mg(sinθ－μ1cosθ)－mgsinθ＝－μ1mgcosθ，大小仍为μ1mgcosθ。

式中负号表示FB的方向与规定的正方向相反，即沿斜面向上。举一反三

【变式】如图所示，传送带与水平面夹角θ＝37°，并以v＝10m/s的速度运行，在传送带的A端轻轻地放一小物体，若已知传送带与物体之间的动摩擦因数μ＝0.5，传送带A到B端的距离s＝16m，则小物体从A端运动到B端所需的时间可能是(g＝10m/s)（）

A、1.8s B、2.0s

C、2.1s

D、4.0s

2解析：若传送带顺时针转动，物体受向上的摩擦力，因mgsinθ＞μmgcosθ，故物块向下加速运动，a＝gsinθ－μgcosθ＝2m/s2。由4.0s，所以，D正确。，解得：t＝4.0s。即，小物体从A端运动到B端所需的时间为

若传送带逆时针转动，物体开始受向下的摩擦力，向下加速运动，a1＝gsinθ＋μgcosθ＝10m/s，2当速度达到l0m/s时，运动位移，所用的时间为，t1＝，以后由于下滑力的作用物块

又受向上的摩擦力，此时它的加速度为a2＝2m/s，在此加速度下运动的位移 s2＝s－s1＝11m，又由得11＝10t2＋t2，解得t2＝1s。所以，小物体从A端运动到B端所需的时间：t总＝t1＋t2＝2s，B正确。

答案：B、D。

22探究园地

3、如图a，质量m＝1kg的物体沿倾角θ＝37°的固定粗糙斜面由静止开始向下运动，风对物体的作用力沿水平方向向右，其大小与风速v成正比，比例系数用k表示，物体加速度a与风速v的关系如图b所示。求：（sin37°=0.6,cos37°=0.8,g=10m/s）

2（1）物体与斜面间的动摩擦因数μ；（2）比例系数k。

解析：（1）对初始时刻：mgsinθ－μmgcosθ＝ma0 ①

由图读出a0=4m/s代入①式，2解得：μ＝＝0.25；

（2）对末时刻加速度为零：mgsinθ－μN－kvcosθ＝0 ②

又N＝mgcosθ＋kvsinθ

由图得出此时v=5m/s

代入②式解得：k＝＝0.84kg/s

2、如图所示，用力F拉物体A向右加速运动，A与地面的摩擦因数是对于A的加速度，下面表述正确的是：（）

A．B．，B与A间的摩擦因数是。

C．

D．

解析：正确选项是C。对于A、B选项我们应该知道它们错在哪里。A选项误把A受到的力算到AB整个上面了。B选项则没有分析正确地面给A的摩擦力，A对地面的压力是。D选项把AB之间的摩擦力方向搞反了。

7、如图所示，AB为一轻杆，AC为一轻绳，物体m的重为G=100N，α=30°，求绳上的张力TAC=？，因此摩擦力是

解析：方法（1）：力的作用效果

将A点所受竖直向下的拉力T分解，如图：

TAC=

方法（2）：共点力平衡

A点受力如图：

由平衡条件可得∑F=0

(3)正交分解

如图建立坐标系：

∵A点静止

∴

第四篇：一次函数的图象和性质知识点和典型例题讲解

一次函数的图象和性质

一、知识要点：

1、一次函数：形如y=kx+b(k≠0, k, b为常数)的函数。注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；

（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。

2、图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0）

（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。

3、性质：

(1)图象的位置:

(2)增减性

k>0时，y随x增大而增大

k<0时，y随x增大而减小 4．求一次函数解析式的方法

求函数解析式的方法主要有三种

(1)由已知函数推导或推证

(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。

(3)用待定系数法求函数解析式。

“待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况：

①利用一次函数的定义

构造方程组。

②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。

③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。

④利用题目已知条件直接构造方程。

二、例题举例：

例1．已知y=，其中

=

(k≠0的常数)，与

成正比例，求证y与x也成

正比例。

证明：∵

设

∵y=

∴y=与=a成正比例，(a≠0的常数), , ·a=

(k≠0的常数), =akx，其中ak≠0的常数，∴y与x也成正比例。

例2．已知一次函数=(3-)

=(n-2)x+

-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。

解：依题意，得

解得 n=-1，∴=-3x-1，

=(3-)x, 是正比例函数；

随x的增大而减小； 随x的增大而增大。=-3x-1的图象经过第二、三、四象限，=(3-)x的图象经过第一、三象限，说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程。

例3．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行，且与直线y=-3(x-6)相交，交点在y轴上，求此直线解析式。

分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定与y轴的交点，若两直线平行，则解析式的一次项系数k相等。例 y=2x,y=2x+3的图象平行。

解：∵y=kx+b与y=5-4x平行，∴k=-4，∵y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴，∴b=18，∴y=-4x+18。

说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向，由b来定点，即函数图象平行于直线y=kx，经过(0, b)点，反之亦成立，即由函数图象方向定k，由与y轴交点定b。

例4．直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。

解：∵点B到x轴的距离为2，∴点B的坐标为（0，±2），设直线的解析式为y=kx±2，∵直线过点A（-4，0），∴0=-4k±2，解得：k=±，x+2或y=-x-2.∴直线AB的解析式为y=

说明：此例看起来很简单，但实际上隐含了很多推理过程，而这些推理是求一次函数解析式必备的。

（2）此例需要把条件（面积）转化为点B的坐标。这个转化实质含有两步：一是利用面积公式AO·BD=6（过点B作BD⊥AO于D）计算出线段长BD=2，再利用|

|=BD及点B在第三象限计算出=-2。若去掉第三象限的条件，想一想点B的位置有几种可能，结果会有什么变化？（答：有两种可能，点B可能在第二象限（-2，2），结果增加一组y=-x, y=(x+3).例6．已知正比例函数y=kx(k<0)图象上的一点与原点的距离等于13，过这点向x轴作垂线，这点到垂足间的线段和x轴及该图象围成的图形的面积等于30，求这个正比例函数的解析式。

分析：画草图如下：

则OA=13，=30，则列方程求出点A的坐标即可。

解法1：设图象上一点A（x, y）满足

解得：；；；

代入y=kx(k<0)得k=-

∴y=-x或y=-, k=-.x。

解法2：设图象上一点A（a, ka）满足

由（2）得=-,)·(-)=

.代入（1），得(1+

整理，得60

解得 k=-

∴ y=-+169k+60=0.或k=-.x.x或y=-

说明：由于题目已经给定含有待定系数的结构式y=kx，其中k为待定系数，故解此例的关键是构造关于k的方程。此例给出的两个解法代表两种不同的思路：解法1是把已知条件先转化为求函数图象上一点的坐标，构造方程解出，再求k；解法2是引进辅助未知数a，利用勾股定理、三角形面积公式直接构造关于a、k的方程组，解题时消去a，求出k值。

例7．在直角坐标系x0y中，一次函数y=

x+的图象与x轴，y轴，分别交于A、B两点，点C坐标为（1，0），点D在x轴上，且∠BCD=∠ABD，求图象经过B、D两点的一次函数的解析式。

分析：由已知可得A点坐标（-3，0），B点坐标（0，），点C是确定的点（1，0），解题的关键是确定点D的坐标，由点D在x轴上，以∠BCD=∠ABD的条件，结合画草图可知∠BCD的边BC确定，顶点C确定，但边CD可以有两个方向，即点D可以在C点右侧，也可以在C点左侧，因此解此题要分类讨论。

解：∵点A、B分别是直线y=

x+

与x轴和y轴交点，∴A（-3，0），B（0，），AB=，∵点C坐标（1，0）由勾股定理得BC=

设点D的坐标为（x, 0），（1）当点D在C点右侧，即x>1时，--78-

第五篇：关于“三农”问题的典型例题

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关于“三农”问题的典型例题

1、阅读下列材料：材料一 1933年5月12日，（罗斯福）发布农业调整法，强制农民减少耕地面积和牲畜繁殖，以提高农产品价格，解决农副产品过剩问题。国家对缩减耕地和降低牲畜繁殖的人进行补贴。后来政府还对各州、各区甚至很多大农场规定农产品的生产定额，对超过国家规定生产定额的产品课以重税。——引自《从分散到整体的世界史•现代分册》材料二（新政）所谓“新”，指的是（美国）抛弃了自1776年以来所确定的自由放任、自由竞争和通过资本主义经济本身自我调节的基本原则，实现国家对经济生活的全面干预和调节。——引自《从分散到整体的世界史•现代分册》材料三 我们原来打算直接用无产阶级国家的法令，在一个小农国家里按共产主义原则来调整国家的生产和产品分配。现实生活说明我们犯了错误。

——引自《列宁选集》卷四材料四 粮食税自然是意味着农民在纳税后有支配余粮的自由……余粮的自由也就自然意味着资本主义的自由发展……在一个遭受极度破坏和落后的小农国家里，受无产阶级国家监督与调节的资本主义的发展不仅有益，而且必要，因为它能立刻促进农业的高涨。

——引自《列宁选集》卷四材料五 邓小平在同英国首相撒切尔夫人的谈话中讲：中国的主体，十亿人口的地区坚定不移地实行社会主义……在这个前提下，可以容许在自己的身边、在小地区和小范围内实行资本主义。

——引自《邓小平文选》请回答：（1）依据材料一归纳罗斯福新政在农业方面的主要措施，并说明其目的。（2）结合材料二理解罗斯福新政的实质。（3）材料三中列宁的初衷与现实为什么会发生矛盾？（4）材料一和材料四相比，在农业政策上有何异同之处？（5）通过分析材料五，你是如何理解不同制度的国家的经济政策的?答案：(1)强制农民减少耕地、牲畜,提高农产品价格,国家补贴遵守减缩任务的农户,限定一定范围的农产品生产,重税惩罚超额产品。目的在于使生产消费趋于平衡,维护垄断资产阶级利益。

(2)新政的实质在于以国有化形式尽量避免资产阶级自由企业制度的竞争,以政府的力量全面干预调节经济生活,维护资本主义自由企业制度。

(3)列宁的初衷是以上层建筑的力量来改造经济基础和生产关系中的分配和生产问题,忽视了当时落后的生产力状况和本身存在的一些实际问题。经济困难、农民不满、富农叛乱等现实表明必须实行新的政策以解决--------------------------精品

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矛盾。

(4)都主张国家对农业生产和产品分配进行干预或调节,以调动积极性,促进农业的恢复和发展。但是前者与后者相比,它们在历史条件、目的、具体措施和结果方面迥然不同。

(5)无产阶级专政的国家通过在一定限度内恢复资本主义、发展国民经济是积极的,符合实际的;资本主义国家以干预方式甚至采取一些貌似过激的措施遏制危机,避免走上法西斯道路,也是值得称道的。这说明任何一种社会制度都没有固定不变的经济模式。发展经济,加快发展需要改革。

2、（15分）小岗村、华西村、浙江慈溪是中国农村改革不同时期的典型代表。阅读下列材料：材料

一、（小岗村）全村适龄儿童还没有全部入学，上中学的很少。……一位30多岁的妇女说：“念上个一两年，也和没念差不多，庄稼人靠劳动吃饭，读不读书没有多大关系。”……但是（小岗村）同时也出现了与它们经济发展和不适应、很不相称的事情：一是他们在村头盖了个牌楼，花了不少钱。……二是盖了气派的村公所办公楼。……农村改革已经快20年了，小岗村至今也不过是停留在兢兢业业地把他们的那几亩地种好的水平上。因此生产结构不合理，多种经营部发展。粮食生产是大幅度增产了，但比较利益低、卖粮难、农民收入低、经济不发达。--摘自《万里与小岗村--为纪念中国改革开放20周年而作》材料

二、1984年3月，中共中央、国务院转发了农、牧、渔业部《关于开创社队企业新局面的报告》，把全国的乡镇企业发展推向高潮。华西村办起了年产30万吨线材厂、30万吨轧钢厂、毛纺厂等20多个大中型企业。年产值一年翻一番，1992年为5.16亿元，1993年超过11亿元。

--摘自周大鸣《农民企业家的文化社会学分析》材料

三、浙江省慈溪市蔬菜开发有限公司创造性地探索并完善了“公司+科技+农户”的经营管理模式，运用订单、合约、参股合作等多种形式，联合当地10多个镇和周边10余个县的2万多农户，建立了总面积20余万亩次的紧密型、半紧密型和松散型蔬菜基地，……较好的解决了分散的农户小生产与大市场的对接问题，使每亩土地的产值和利润比传统单一结构增长2-4倍，基本实现了“投资少、见效快、覆盖广、两头富”的初始目标，成功地将千百万农户与千百万消费者进行了高效有序的链接。

--据人民网2006年12月25日回答：⑴依据材料，概括小岗村、华西村、浙江慈溪经济发展的不同特点。（6分）小岗村：单一经营，发展速度缓慢。（2分）华西村：重视发展乡镇企业。（2分）浙江慈溪：发展现代农业。（2分）⑵依据材料，分析小岗村、华西村、浙江慈溪经济发展对我们今天建设社会主义新农村的启示。（9分）--------------------------精品

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启示：要重视教育，提高农民的文化素质；要讲求实际，不搞形式主义；要面向市场，合理调整产业结构；加强农业科技创新；重视经营管理模式创新；……（每点2分，最高不超过8分。言之有理，可酌情给分）

3、我国现在已取消农业税，进入工业反哺农业的社会主义现代化建设的新时期。而在工业化初期，农业支持工业，为工业提供积累带有普遍性的趋向。中国和前苏联的工业化的资金支持不可能像西方国家那样靠对外掠夺，农业的高积累支持工业发展更是不可避免。结合史实说明前苏联在建国初期，中国在过渡时期，农村经济是如何服从工业化发展需要的。在这期间前苏联出现了哪些问题？对我们有什么启示？答案：（1）苏联在建国初期实行“农业集体化运动”，中国在过渡时期对农业进行社会主义改造，强调重工业的发展，忽视农业的发展。（2）问题：高度集中的政治经济体制对经济的破坏性特别大，严重束缚了生产力的发展；过分重视重工业发展，忽视了农业的发展；在农业集体化运动中，操之过急。（3）启示：农业政策的制定必须符合本国国情；农业的发展要走可持续发展的道路；农业的发展必须符合经济发展的规律等。

4、农村经济的发展：在人类跨入新世纪之初，中国“十一五”规划的开局之时，一项重大而深远的战略举措--社会主义新农村建设正在神州大地稳步推进。建设新农村，对中国农民而言是一种福音，对中国农村来说是重大变革，对中国农业则是千载难逢的发展机遇。阅读下列材料：材料一 树上的鸟儿成双对，绿水青山带笑颜。从今不再受那奴役苦，夫妻双双把家还。你耕田来我织布，我挑水来你浇园。寒窑虽破能避风雨，夫妻恩爱苦也甜。（1）材料一反映了我国古代农民在政治、经济上的理想是什么？（2分）政治上摆脱压迫奴役，经济上男耕女织、自给自足。（2分）材料二 1958年10月28日，山东范县县委书记作报告：“人人进入新乐园，吃喝穿用不要钱；鸡鸭鱼肉味道鲜，顿顿可吃四个盘；天天可以吃水果，各样衣服穿不完；人人都说天堂好，天堂不如新乐园。”（2）材料二中农民向往的“新乐园”在当时是指什么？简要分析它出现的原因。（5分）新乐园：人民公社。（1分）原因：社会主义总路线指出，全国掀起“大跃进”高潮和以“一大二公”为特点的人民公社化运动，以高指标、瞎指挥、浮夸风和“共产风”为主要标志的“左”倾错误迅速发展。（4分）材料三 大包干，大包干，直来直去不拐弯，交够国家的，留足集体的，剩下全是自己的。--------------------------精品

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（3）材料三反映了我国怎样的一种经济体制？对我国农村经济建设产生了什么影响？经济体制：家庭联产承包责任制。（1分）影响：调动了农民的积极性，解雇了农村生产力，（2分）使农民逐步富裕起来。（1分）

5、阅读下列材料：材料一 到1958年10月底，全国74万多个农业生产合作社改组成2.6万多个人民公社。参加公社的农户有1.2亿户，占全国总农户的99%以上，全国农村基本上实现了人民公社化。由于在合作化运动的后期已出现了过急过猛的问题，所以人民公社化运动也出现了急于向共产主义过渡的情况，刮起了“一平二调三收款”的“共产风”。右图反映1958年河北怀来人民公社社员吃“大锅饭”的情景。材料二 1970年，韩国发起了“新村运动”。“新村运动”的初期，政府把工作重点放在了改善农民生活环境上，地方政府把近20种乡村公共事业的建设项目交给农民自主开发，如修建桥梁、村级公路等。1971年，韩国全国80%以上的农舍都是茅草屋。为改善农村居住环境，政府采取了“政府出大头、地方出中头、农民出小头”的建房政策，即中央政府出建房资金的55%，地方政府出30%，每家农户出15%的方式，国家向农户贷款帮助建房。“新村运动”开始后，政府为提高农民收入，在全国推广水稻高产品种，使韩国稻米产量大幅提高，农民收入也随之攀升。韩国在大力推进“新村运动”的过程中，始终重视农村精神文明建设，提高农民的伦理道德水平，培养勤勉、自助协作精神。材料三 在圈地运动开始的最初时期，失地进城农民被简单地看成流浪汉和“懒汉”，英国统治阶级通过“血腥立法”，加以严惩。

--李世安《英国农村剩余劳动力转移问题的历史考察》材料四 二战以后，为安置转移出来的农村劳动力，日本政府主要采取了以下措施：……调整农业产业结构，发展农村合作事业，拉长产业链，就地转移农村劳动力。……日本政府采取措施促进非农产业向农村地区扩散；鼓励劳动力由农业向农村非农产业就地转移。

--《日本经验与我国农村劳动力的转移途径》请回答：（1）依据材料一分析人民公社化运动的特点。人民公社化运动的后果如何？（5分）（2）依据材料二分析韩国“新村运动”建设的重点工作有哪些？（4分）（3）依据材料三、四，比较英、日两国农业劳动力转移的不同特点。（4分）（4）上述材料对进一步解决“三农”问题有何启示？（2分）答案要点：（1）特点：由许多农业合作社联合组成；全国农户普遍参加；急于向共产主义过渡（刮起共产风）；集体生活（吃食堂）（4分）后果：挫伤人民群众的生产积极性，是造成严重经济困难的因素之一。（1分）--------------------------精品

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（2）改善农民生活环境；改善农村居住环境；提高农民收入；重视农村精神文明建设。（4分）（3）英国主要通过暴力和强制方式，日本采取温和的政策引导；（2分）英国农村劳动力主要流向城市，日本则注重农村劳动力的就地转移。（2分）（4）从实际出发，农村生产关系调整要适应生产力的发展；维护农民的切身利益；科学调整农村产业结构、安置劳动力。（2分，答到两点即可）

6、假如你是一个导游员，陪同一个外国旅游团到安徽凤阳农村考察，外国友人请你介绍1953-1956年、1958-1964年、1966-1976年、1978年以来凤阳农村发生的巨大变化，并简要分析1978年以来发生变化的原因，你准备怎样介绍呢？ 参考答案：①1953-1956年，广大农民积极参加农业合作社，农村土地所有制发生根本性的变化，农民走上社会主义道路。

②1958-1964年，掀起人民公社化运动高潮，各地纷纷组建人民公社，浮夸风泛滥，出现了严重的经济困难。③1966-1976年，是十年“文革”时期，农村经济遭严重破坏，农民四处逃荒要饭。

④1978年至今，实行家庭联产承包责任制，粮食产量大幅度提高，人民生活大为改善，农村经济走向繁荣。

原因：十一届三中全会后，中国历史进入社会主义现代化建设的新时期，党和政府总结了建国以来的经验教训，作出了改革开放的伟大决策，解放了农村生产力，提高了农民的生产积极性。

7、根据中共八大和十一届三中全会召开的历史背景，分析这两次会议的正确决策在贯彻过程中的不同结果及其主要原因。(1)“八大”背景：①借鉴苏联教训，总结了“十大关系”，开始探索适合中国国情的社会主义道路。②三大改造完成，国家经济结构和国内主要矛盾已发生根本变化。③社会主义性质的宪法已颁布，社会主义制度已建立，全国人民面临建设社会主义国家的总任务。（2）十一届三中全会背景：①长期的“左”的错误和十年浩劫，全国经济陷入困境，必须尽快改革。②文革虽已结束，但“左”的思想政策仍在继续推行，必须拨乱反正。③真理标准问题的大讨论，长期以来“左”倾思想禁锢开始被冲破。（3）不同结果：“八大”的正确决策很快被从理论上修改，“左”倾错误随之迅猛发展。十一届三中全会的正确决策得以全面落实，并形成新时期党的基本路线。(4)主要原因：①五六十年代，中共党内个人崇拜和教条主义十分严重，毛泽东的“阶级斗争”理论能够推行；八九十年代，中共吸取教训，纠正错误，重新确立正确思想路线。②新中国几十年的建设经验和教训，提高了全国人民辨别是非的能力。③改革开放的基本国策，开阔了党和人民的眼界，坚定了以济建设为中心的信念。--------------------------精品

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