导数中恒成立存在问题+零点问题
探究1
已知函数，其中ÎR．若对任意的x1，x2Î[-1，1]，都有，求实数的取值范围；
探究2
已知函数的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线平行。
记函数恒成立，求c的取值范围。
探究3
已知函数.若，当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围（其中e是自然对数的底数，）.探究4
已知函数满足，且当时，当时，的最大值为．
（1）求实数a的值；
（2）设，函数，．若对任意，总存在，使，求实数b的取值范围
探究5
.已知函数为常数）．
若a<0，且对任意的.x
［1,e］，f（x）≥(a－2)x恒成立，求实数a的取值范围．
探究6
已知函数，其中e为自然对数的底数．
（1）求函数在x1处的切线方程；
（2）若存在，使得成立，其中为常数，求证：；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
探究7
已知函数，.（1）若，则，满足什么条件时，曲线与在处总有相同的切线？
（2）当时，求函数的单调减区间；
（3）当时，若对任意的恒成立，求的取值的集合.探究8
已知函数．
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）令是函数图象上任意两点，且满足求实数的取值范围；
（3）若，使成立，求实数的最大值．
探究9
设函数.若对任意的实数，函数（为实常数）的图象与函数的图象总相切于一个定点.①
求与的值；
②
对上的任意实数，都有，求实数的取值范围.探究10
已知f（x）=x2+mx+1（m∈R），g（x）=ex．
若m∈（﹣1，0），设函数，求证：对任意x1，x2∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立．
1解答：
“对任意的x1，x2Î[-1，1]，都有|f¢(x1)-f¢(x2)|£4”等价于“函数y=f
´(x),xÎ[-1，1]的最大值与最小值的差小于等于4”.对于f
´(x)=x2－2mx－1,对称轴x=m.①当m<-1时,f
´(x)的最大值为f
´(1),最小值为f
´(-1),由
f
´(1)-f
´(-1)£4,即-4m£4,解得m³1,舍去;
……………………………6分
②当-1£m£1时,f
´(x)的最大值为f
´(1)或f
´(-1),最小值为f
´(m),由,即,解得-1£m£1;
………………………………8分
③当m>1时,f
´(x)的最大值为f
´(-1),最小值为f
´(1),由
f
´(-1)-f
´(1)£4,即4m£4,解得m£1,舍去;
综上,实数m的取值范围是[-1,1].2：解答
3解答
4解答．（1）当x∈(0，2)时，由条件，当x
4∈(-4，-2)，的最大值为
4，所以的最大值为
1．……………………………………………………………2分
因为，令，所以．……………………………3分
因为，所以．当x∈(0，)时，是增函数；
当x∈(，2)时，；是减函数．
则当x
=时，取得最大值为．所以a
=
1．……6分
（2）设在的值域为A，在的值域为B，则依题意知AB．
因为在上是减函数，所以A
=
．
又，因为，所以．
①
b
0时，>
0，g(x)是增函数，B
=
．
因为AB，所以．解得．
②
b
0时，<
0，g(x)是减函数，B
=
．
因为AB，所以．．
由①，②知，或．……………………………………………
5解答
6解答：（1）因为，所以，故．
所以函数在x1处的切线方程为，即．
……
2分
（2）由已知等式得．
记，则．
……
4分
假设．
①
若，则，所以在上为单调增函数．
又，所以，与矛盾．
……
6分
②
若，记，则．
令，解得．
当时，在上为单调增函数；
当时，在上为单调减函数．
所以，所以，所以在上为单调增函数．
又，所以，与矛盾．
综合①②，假设不成立，所以．
……
9分
（3）由得．
记，则．
①
当时，因为，所以，所以在上为单调增函数，所以，故原不等式恒成立．
……
12分
②
法一：
当时，由（2）知，当时，为单调减函数，所以，不合题意．
法二：
当时，一方面．
另一方面，．
所以，使，又在上为单调减函数，所以当时，故在上为单调减函数，所以，不合题意．
综上，．
……
16分
7解答．解：（1），又，在处的切线方程为，……………2分
又，又，在处的切线方程为，所以当且时，曲线与在处总有相同的切线
………4分
（2）由，，………7分
由，得，当时，函数的减区间为，；
当时，函数的减区间为；
当时，函数的减区间为，.………10分
（3）由，则，①当时，函数在单调递增，又，时，与函数矛盾，………12分
②当时，；，函数在单调递减；单调递增，（Ⅰ）当时，又，与函数矛盾，（Ⅱ）当时，同理，与函数矛盾，（Ⅲ）当时，函数在单调递减；单调递增，故满足题意.综上所述，的取值的集合为.……………16分
8解答
【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，根据零点与定义区间位置关系分类讨论函数单调性：当时，在上单调递增，当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，最后根据单调性确定函数最小值（2）先转化不等式不妨取，则，即恒成立，即在上单调递增，然后利用导数研究函数单调性：在恒成立.最后利用变量分离转化为对应函数最值，求参数.（3）不等式有解问题与恒成立问题一样，先利用变量分离转化为对应函数最值，的最大值，再利用导数求函数的最值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性：在上单调递增，进而确定函数最值
试题解析：解（1），令，则，当时，在上单调递增，的最小值为；
当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，的最小值为.综上，当时，；当时，.（2）,对于任意的，不妨取，则,则由可得，变形得恒成立，令，则在上单调递增，故在恒成立，在恒成立.，当且仅当时取，.（3），.，使得成立.令，则，令，则由
可得或（舍）
当时，则在上单调递减；
当时，则在上单调递增.在上恒成立.在上单调递增.，即.实数的最大值为.9解
（2）①，设切点为，则切线的斜率为，据题意是与无关的常数，故，切点为，……………6分
由点斜式得切线的方程为，即，故.…..………8分
②
当时，对任意的，都有;
当时，对任意的，都有;
故对恒成立，或对恒成立.而，设函数.则对恒成立，或对恒成立，………………10分，当时，,恒成立,所以在上递增，故在上恒成立，符合题意..……...………12分
当时，令，得，令，得,故在上递减，所以，而设函数，则，恒成立，在上递增，恒成立，在上递增，恒成立，即，而，不合题意.综上，知实数的取值范围.………………16分
10解
（2）G（x）=，则G′（x）=﹣，对任意x1，x2∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立，即证G（x）max≤H（x）min，∵x∈[1，1﹣m]，∴G（x）在[1，1﹣m]递增，G（x）max=G（1﹣m）=，∵H（x）在[1，1﹣m]递减，H（x）min=H（1﹣m）=﹣（1﹣m）+，要证G（x）max≤H（x）min，即证≤﹣（1﹣m）+，即证4（2﹣m）≤e1﹣m[5﹣（1﹣m）]，令1﹣m=t，则t∈（1，2），设r（x）=ex（5﹣x）﹣4（x+1），x∈[1，2]，即r（x）=5ex﹣xex﹣4x﹣4，r′（x）=（4﹣x）ex﹣4≥2ex﹣4＞0，∴r（x）在[1，2]递增，∵r（1）=4e﹣8＞0，∴ex（5﹣x）≥4（x+1），从而有﹣（1﹣m）+≥，即当x∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立．
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