高等数学考研几个重要定理的证明

第一篇：高等数学考研几个重要定理的证明

几个重要定理的证明

1、罗尔定理（考过）

如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）上可导，且f(a)= f(b)，则在开区间（a，b）内至少存在一点￡，使得f'()=0.证：∵函数f(x)在闭区间［a，b］上连续

∴由最大最小值定理有：m< f(x)

(1)若m=M，此时f(x)在［a，b］上为恒定值

对任意的x∈（a，b）都有f'()=0。

（2）若m≠M，因为f(a)= f(b)，则m和M中至少有一个不等于区间的端点值。不妨设M≠f(a)，则存在∈（a，b）使得f()=M。

∴对任意的x∈［a，b］使得f(x)≤f()，从而由费马引理，可知f'()=0.证毕。

2、拉格朗日中值定理（考过）

如果函数f(x)满足：（1）在闭区间［a，b］上连续；（2）在开区间（a，b）上可导，那么在（a，b）内至少存在（a，b）一点，使得f(b)f(a)f'()(ba)成立。

证：引进辅助函数(x)f(x)f(a)f(b)f(a)(xa)ba

易知F（a）=F（b）=0，且F（x）在［a，b］内连续，在（a，b）内

f(b)f(a)ba可导 且'(x)f'(x)

根据罗尔定理，可知在（a，b）内至少存在有一点，使'(x)=0，即

f(b)f(a)0 ba

f(b)f(a)f'()，由此可得baf'()

即f(b)f(a)f'()(ba)

证毕。

三、积分中值定理（考过）

如果函数f（x）在积分区间［a，b］上连续，则在（a，b）内至少存在一点，使得

1几个重要定理的证明

b

f(x)dx

af()(ba)

证：由于f（x）在［a，b］上连续，则存在m，M使得

mf(x)M

又由定积分估值定理，有

b

m(ba)f(x)dxM(ba)

a

b

即m

由介值定理得： f(x)dxabaM

b

f()

证毕。f(x)dxaba

四、变上限积分函数求导公式（没考过）

五、牛顿-莱布尼茨公式（没考过）

设函数f（x）在［a，b］上连续，F（x）是f（x）在（a，b）上的任意一个原函数，b

则f(x)dxF(x)

abaF(b)F(a)

证：

第二篇：考研数学高等数学重要知识点解析--有关微分中值定理的证明

考研数学高等数学重要知识点解析—有关微分中值定理的证明

万学教育•海文考研 王丹

202_年考研数学大纲于202_年9月14日正式出炉，数学

一、数学

二、数学三高等数学考试内容和考试要求包含标点符号在内均没有任何的变化；而线性代数部分，由原来的“线性方程组的克莱姆法则”改为“线性方程组的克拉默法则”，只是名称的改变，内容没有变化；概率论与数理统计部分，数学一没有任何变化，而数学三“多维随机变量的分布这一章”考试内容和考试要求的难度都降低了，具体变化为将考试内容中“两个及两个以上随机变量的函数的分布”增加了两个字“简单”，即“两个及两个以上随机变量简单函数的分布”；相应的考试内容中“会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布”改为“会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其简单函数的分布”。

有了考试大纲，就有了我们复习的依据，通过对历年考研命题规律的分析，我们得出与中值定理有关的证明题是考研数学的重点且是难点，每年必考有关中值定理的一道证明题10分．所以大家一定要引起重视，对于解这类题目,首先要确定证明的结论,然后联想与之相关的定理、结论和方法以及所需要的条件,再看题设中是否给出条件,若都没有直接给出,考虑如何由题设条件推出这些所需的条件,最后证明．其中,当要证明存在某些点使得它们的函数值或者高阶导数满足某些等式关系或者其他特性时,用中值定理所求的点常常是区间内的点．下面我就有关中值等式的证明总结几种方法，并且通过例题加强对此类问题方法的理解和把握。

一、有关闭区间上连续函数等式的证明主要有以下几种方法：

(1)直接法．利用最值定理、介值定理或零点定理直接证明,适用于证明存在[a,b],使得G(,f())0．

(2)间接法．构造辅助函数F(x)(其中F(x)的构造方法可参照重要题型五),然后验证F(x)满足中值定理的条件,最后由相应的中值定理得出命题的证明．

二、证明存在一点使得关于a,b,f(a),f(b)或,f(),f(),„,f(n)()的等式成立．常用证法：

(1)对于这类等式的证明问题,可以通过移项使等式一端为0,转化为重要题型五中证明存在一点使得G(,f(),f'())0的问题.(2)利用拉格朗日中值定理直接进行证明．

现举例题如下

例题1：设f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，0ab，试证明(a,b)，使得

'f(b)f(a)22f()(aabb)2ba3

分析本题的关键是构造辅助函数．对于关系式中显含a,b及f(a),f(b)的情形,更多地是直接采用拉格朗日中值定理,将含介值的项全部右移,再将左端分子、分母中的a,b分离,然后直接观察即可得到所需辅助函数．

'f(b)f(a)f(b)f(a)f'()22f()(aabb)222ba3ba(aabb)32

f(b)f(a)f'()即.a3b332

证令g(x)x3，则f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且当x0时，g'(x)0，f(b)f(a)f'()f(b)f(a)f'()则由柯西中值定理有，所以，'332g(a)g(b)g()ab3

'f(b)f(a)22f()即，得证.(aabb)ba32

例题2 设函数f(x)在0,3上连续，在0,3内存在二阶导数，且

2f(0)fx(d)x02f(2)f，(3)

(I)证明：存在(0,2)使f()f(0);(II)证明存在(0,3)，使f()0 证明：(I)2f(0)f(x)dx，又fx在0,2上连续 02

由积分中值定理得，至少有一点0,2，使得fxdxf20 02

2f02f，存在0,2使得ff0。

(Ⅱ)f2f32f0，即f2f3f0 2

又fx在2,3上连续，由介值定理知，至少存在一点12,3使得f1f0 fx在0,2上连续，在0,2上可导，且f0f2

由罗尔中值定理知，10,2，有f10

又fx在2,1上连续，在2,1上可导，且f2f0f1 由罗尔中值定理知，22,1，有f20

又fx在1,2上二阶可导，且f(1)f(2)0

由罗尔中值定理，至少有一点1,2，使得f()0.

第三篇：考研数学定理证明

考研数学定理证明

不一定会考，或者说是好像近几年也就是09年的考题出过一道证明题(拉格朗日中值定理的证明)。但准备时最好把课本上几个重要定理(比如中值定理)的证明看下，做到会自己证明。还有就是几个证明过程或方法比较奇特的定理，要看懂证明。一个可以应付直接考证明题，还可以借鉴证明思路帮助自己解其他题目，算是开扩思路吧，总之看下会有好处的，而且也不是很多，比照课本自己总结下吧，我去年就是这么整理的。数学140+

定理的证明属于比较难的，可以不看。很多人看都看不懂，或者看懂了也不会用。

但是定理的结论和应用一定要会。

考研里的证明题属于压轴的，大部分人都做不出来，所以不用担心。只要把基本盘拿下，你的分数就应该能过国家线。

祝你成功。

呵呵非常理解你的处境。我觉得这个问题不难解决，主要有两个办法。下面帮你具体分析一下，呵呵～

一。旁听师弟师妹的数学课～优点：不仅经济，便利，而且对老师的水平有保证～因为都是你们学校的嘛，你可以事先充分打听好哪个老师哪门课讲得好，然后还能比较容易获取课程进度，这样就可以专门去听自己不懂得那块，针对性强矮甚至你下课后还可以就不懂得习题跟老师请教一下～就本人这么多年的上学经验，老师对“问题学生”都是欢迎的，至少不排斥～缺点：由于不是专门针对考研复习的讲授，有些东西可能不是很适合～举个例子吧，比如将同样的知识，高一时候和高三第一轮复习时，讲的侧重点就不一样～(但是个人觉得这不算什么大缺点～嘿嘿～)

二。报名参加专门的考验辅导班。优点显而易见。老师肯定都是有多年考研辅导经验的，指导复习当然针对性强，有事半功倍的效果。缺点就是，嘿嘿，学费问题。你所在地的学费情况我就不清楚了，你可以自己去查一下～

还有一句话想说，其实这两个办法也不是对立的，你可以在学校里去旁听老师的课，把第一轮扎扎实实的复习完，放假回家去报名参加个辅导班，利用假期有针对性的做第二轮复习～相信两轮复习下来，你的长进一定不蝎呵呵～

我就说这么多，要是以后想起来了会再来补充的～最后祝你如愿考上理想院校哦～加油

也不知道一楼是哪个名校数学系的研究生，广州大学吗?这么有才华!听他的话等楼主没考到130哭的地方都找不到。

考研每一门学科都要复习好几轮，也不知道楼主考什么专业，数学几?

基础差的话第一轮复习要弄清楚定理及其证明过程。如果应届本科生又是学理科，平时成绩不错，高数，线性分都很高的话第一轮可以直接看教材做题。

第四篇：202_考研高数重要定理证明微积分基本定理

202_考研高数重要定理证明微积分基本定理

来源：智阅网

微积分基本定理是考研数学中的重要定理，考察的频率较高，难度也比较大，下面详细的讲解一下，希望大家有所收获。

微积分定理包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。

变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。注意该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。单侧导数类似考虑。

“牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。不过，提起该公式的证明，熟悉的考生并不多。

该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连续，该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数，结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。

注意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即f(x)对应的变上限积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。根据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以F(x)等于f(x)的变上限积分函数加某个常数C。万事俱备，只差写一下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形，不难得出结论。

上面讲述的微积分基本定理是考研数学的高频考点，考生们要认真学习其解题方法，并且学会运用。汤神《考研数学接力题典1800》可以检验大家的复习效果，总结做题经验，对我们现阶段的复习帮助很大。

第五篇：202_考研高等数学基本定理：函数与极限部分

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202_考研高等数学基本定理：函数与极

限部分

在暑期完成

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数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

单调有界数列必有极限。

6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。

不连续情形：

1、在点x=x0没有定义;

2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在;

3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。

如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的