判别式法证明不等式（5篇材料）

第一篇：判别式法证明不等式

判别式法证明不等式

x^2+y^2+z^2>=2xycosc+2zxcosb+2yzcosa

等价于(x-cosc*y-cosb*z)^2+(sinc*y-sinb*z)^2>=0

对于分式函数y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)：

由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)有实数解，因此“求f(x)的值域。”这一问题可转化为“已知关于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)有实数解，求y的取值范围。”

把x作为未知量，y看作常量，将原式化成关于x的一元二次方程形式(*)，令这个方程有实数解，然后对二次项系数是否为零加以讨论：

(1)当二次项系数为0时，将对应的y值代入方程(*)中进行检验以判断y的这个取值是否符合x有实数解的要求，……

(2)当二次项系数不为0时，∵x∈R，∴Δ≥0，……

此时直接用判别式法是否有可能产生增根，关键在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形。

原问题“求f(x)的值域。”进一步的等价转换是“已知关于x的方程y(dx^2+ex+f)=ax^2+bx+c至少有一个实数解使得dx^2+ex+f≠0，求y的取值范围。”

【举例说明】

1、当函数的定义域为实数集R时

例1求函数y=(x^2-2x+1)/(x^2+x+1)的值域.解：由于x^2+x+1=(x+12)^2+34>0，所以函数的定义域是R.去分母：y(x^2+x+1)=x^2-2x+1,移项整理得(y-1)x^2+(y+2)x+(y-1)=0.(*)

(1)当y≠1时，由△≥0得0≤y≤4;

(2)当y=1时，将其代入方程(*)中得x=0.综上所述知原函数的值域为〔0，4〕.2、当函数的定义域不是实数集R时

例2求函数y=(x^2-2x+1)/(x^2+x-2)的值域.解：由分母不为零知，函数的定义域A={x|x≠-2且x≠1}.去分母：y(x^2+x-2)=x^2-2x+1,移项整理得(y-1)x^2+(y+2)x-(2y+1)=0.(*)

(1)当y≠1时，由△≥0得y^2≥0�y∈R.检验：由△=0得y=0，将y=0代入原方程求得x=1，这与原函数定义域A相矛盾，所以y≠0.(2)当y=1时，将其代入方程(*)中得x=1，这与原函数定义域A相矛盾，�

所以y≠1.综上所述知原函数的值域为{y|y≠0且y≠1}

对于分式函数y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)：

由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解，把“求f(x)的值域”这问题可转化为“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解，求y的取值范围”把x当成未知量，y当成常量，化成一元二次方程，让这个方程有根.先看二次项系数是否为零，再看不为零时只需看判别式大于等于零了.此时直接用判别式法是否有可能出问题，关键在于对这个方程取分母这一步是不是同解变形。

这个问题进一步的等价转换是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一个实数解使x^2+mx+n≠0，求y的取值范围”

这种方法不好有很多局限情况，如：定义域是一个区间的.定义域是R的或定义域是R且不等于某个数的还可以用.过程用上面的就可以了.。

第二篇：判别式法

题型9 判别式法 a1x2b1xc1形如y(a1,a2不同时为0),把函数解析式转化为关于x的方程,通过方程有2a2xb2xc2

实根,判别式0,从而建立关于y的不等式,解不等式即得y的取值范围(函数的值域).注:⑴关于x的方程的二次项前的系数是参数时,要分二次项系数为0和不为0两种情况讨论,检验二次项系数为0时y的值是否符合题意.⑵若分子、分母有公因式,先约去公因式后,再用y

验舍去公因式对值域的影响.例10 求下列函数的值域.cxda0的形式的方法解决,再检axb

x2x3x2x2⑴y2⑵y2 xx1x4x3

第三篇：判别式法

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2er数学解题思想方法专题培训

（四）判别式法

【知识梳理】

定理：实系数一元二次方程ax2bxc0有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的充要条件是：b24ac>0、b24ac=0、b24ac<0.记b24ac，称其为方程是否有实根的判别式。同时也是与方程对应的函数、不等式的判别式。

上述定理利用配方法容易证明。既然实系数一元二次方程与其对应的函数、不等式有共同的判别

式，说明b24ac是联系三者的桥梁。它有极其丰富的内涵和外延，涉及内容广泛且重要；因此，要充分利用和开发它在解题中的价值，往往会为我们解题拓展思路，指明方向，铺平道路。

判别式的使用范围：定理中明确规定：“实系数”指a,b,cR；“二次”指a0；方程是在（－∞，－∞）

内求解。这三者缺一不可，否则上述定理不成立。

一般地，当题中含有或可构造二次型的多项式、方程、函数、不等式时均可考虑用判别式寻找思路，发现解题突破口；或围绕判别式展开一系列的联想、创新思维活动。在使用判别式时要充分挖掘隐含条件灵活变通，有时要变更主元，调整条件结构才能使用。一般有如下几种策略：

⑴ 讨论用法：对判别式的正负性分类讨论，由此可分类求出方程的解，不等式解集，参数取值范围等。

（2）构造用法：根据条件构造判别式或构造方程、函数，由此可求函数值域，证明等式，证明不等式，求恒成立问题等。

【经典例题】

一在代数恒等变形中的应用

例1下列二次三项是，在实数范围内不能因式分解的是

2A,6xx15B,3x10x7C,2x5x4Dy22y2 222

例2k为何值时，二次三项式4xkx3是一个完全平方式

天河数学牛老师： QQ234124222 2

例3已知a,b,c均为实数，且ab8，abc2160，求证abc0

例4m为何值时，6x2xy2y2my6能分解成两个一次式，并进行因式分解

二在方程（组）中的应用

例5已知a,b是关于x的方程x2pxp

xy2例6求方程组的实数解 2xyz1222p10的两个根，求abp的值

天河数学牛老师： QQ234124222

例7若一元二次方程2x(kx4)x260没有实数根，则k的最小值是

A2,B1,C-1,D不存在例8若关于x的一元二次方程x2mxn0有两个相等的实数根，则符合条件的一组m,n的实数值是：m=, n=,例9当b为何值时，关于x的方程x3(a1)x(2aab)0的根在a取任意有理数时均为有理数。

三在函数中的应用

例10对于任意实数x，二次三项式2kx4xk1的值皆为正，求实数k的取值范围。

天河数学牛老师： QQ234124222 222

例11已知二次函数yx22ax(bc)2，其中a,b,c是ABC的三边，求证这个函数的图像与x轴没有公共交点.例12已知二次函数的图像过A(1,0)和B(2,1),且与y轴交点的纵坐标为m,（1）若m为定值，求此二次函数的解析式。

（2）若二次函数的图像和x轴还有异于A点的另一个交点，求m的取值范围。

（3）若二次函数的图像截直线yx1所得的线段长为22，确定m的值。

例13已知x,y为实数，且(x3)(y3)6，求

四在几何，三角中的应用

例14设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，使关于x的方程2x22xm10有实数根，试确定点P的位置

天河数学牛老师： QQ234124222 222yx的最大值

例15

2已知a,b,c2是ABC的三边长，当m0时，关于x的一元二次方程c(xm)b(xm)2max0，有两个相等的实数根，求证ABC是直角三角形。

例16在ABC中，C90，A使关于x的方程x22sinAxcos2AsinA0有两个相等的实数根，斜边c使关于y的方程cy28yc60有两个相等的实数根，解这个直角三角形

例17如右图，ABC中，B60,且B所对的边b=1,求其余两边和的最大值。

天河数学牛老师： QQ234124222 ABDC

例18如右图，AB是⊙O的直径，P是BA延长线上的一点，pc切⊙O于C,ADPC于D, BEPC于E,ADBE30,DC,CE是关于x的方程(m7)x23mx18m0的两个根，求PA与PC的长。

天河数学牛老师： QQ234124222

第四篇：放缩法证明不等式

放缩法证明不等式

在学习不等式时，放缩法是证明不等式的重要方法之一，在证明的过程如何合理放缩，是证明的关键所在。现例析如下，供大家讨论。例1：设a、b、c是三角形的边长，求证

abc≥3 bcacababc证明：由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c，则bca≤cab≤abc

且2cab≤0，2abc≥0

∴

 ∴abcabc3111

bcacababcbcacababc2abc2bac2cab2abc2bca2cab≥0

bcacababccabcabcababc≥3 bcacababc2bac无法放缩。所以在运用放

cab[评析]：本题中为什么要将bca与abc都放缩为cab呢？这是因为2cab≤0，2abc≥0，而2bac无法判断符号，因此缩法时要注意放缩能否实现及放缩的跨度。

例2：设a、b、c是三角形的边长，求证

abc(bc)2(ca)2(ab)2≥ bccaab1 [(ab)2(bc)2(ca)2]

3证明：由不等式的对称性，不防设a≥b≥c，则3abc0,3bca≥bccca

bca0

左式－右式3abc3bca3cab(bc)2(ca)2(ab)2 bcacab3bca3cab(ca)2(ab)2 abab2(bca)3bca3cab(ab)2(ab)2(ab)2≥0 ababab ≥ ≥[评析]：本题中放缩法的第一步“缩”了两个式了，有了一定的难度。由例

1、例2也可知运用放缩法前先要观察目标式子的符号。

例3：设a、b、cR且abc1求证

111≤1 1ab1bc1ca证明：设ax3,by3,cz3.且 x、y、zR.由题意得：xyz1。

∴1abxyzx3y3

∴x3y3(x2yxy2)x2(xy)y2(yx)(xy)2(xy)≥0 ∴x3y3≥x2yxy2

∴1abxyzx3y3≥xyzxy(xy)xy(xyz)

∴

1z1≤

xy(xyz)xyz1abyx11≤，≤ ∴命题得证.xyzxyz1bc1ca同理：由对称性可得[评析]：本题运用了排序不等式进行放缩，后用对称性。

39例4：设a、b、c≥0，且abc3，求证a2b2c2abc≥

22证明：不妨设a≤b≤c，则a≤1又∵(44。∴a0。33ab23a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a)≥(3a)2(a)。2223833∴左边(abc)22(abbcca)abc

23434 92a(bc)bc(a)≥92a(3a)(3a)2(a)

2383

3416339(3a)[(3a)(a)a]9(3a)[a2a4]9(a32a2a12)8338899393a(a22a1)a(a1)2≥

2282893 ∴a2b2c2abc≥

22[评析]：本题运用对称性确定符号，在使用基本不等式可以避开讨论。

例5：设a、b、cR，pR，求证：

abc(apbpcp)≥ap2(abc)bp2(abc)cp2(abc)

证明：不妨设a≥b≥c＞0，于是

左边－右边ap1(bca2abca)bp1(cab2bcab)cp1(abc2cabc)

ap1(ab)[(ab)(bc)]bp1(ab)(bc)cp1[(ab)(bc)](bc)ap1(ab)2(ab)(bc)(ap1bp1cp1(bc)2

≥(ab)(bc)(ap1bp1cp1)如果p1≥0，那么ap1bp1≥0；如果p1＜0，那么cp1bp1≥0，故有(ab)(bc)(ap1bp1cp1)≥0，从而原不等式得证.例6：设0≤a≤b≤c≤1，求证：

abc(1a)(1b)(1c)≤1

bc1ca1ab1abcabc≤，再证明以 bc1ca1ab1ab1证明：设0≤a≤b≤c≤1，于是有下简单不等式

abcab1c1(1a)(1b)(1c)≤1，因为左边(1a)(1b)(1c)

ab1ab1ab1

11c[1(1ab)(1a)(1b)]，再注意(1ab)(1a)(1b)≤(1abab)

ab1(1a)(1b)(1a)(1b)(1a)(1b)(1a2)(1b2)≤1得证.在用放缩法证明不等式A≤B，我们找一个(或多个)中间量C作比较，即若能断定A ≤C与C≤B同时成立，那么A≤B显然正确。所谓的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所谓的“缩”即由B缩到C，再把C缩到A。同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及。

第五篇：放缩法证明不等式

放缩法证明不等式

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如

(2)利用基本不等式，如：

(3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地应对那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是“熟能生巧”，加快速度，节省时间，这一点在考试时间有限时显得很重要;二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。

解题需要丰富的知识，更需要自信心。没有自信就会畏难，就会放弃;有了自信，才能勇往直前，才不会轻言放弃，才会加倍努力地学习，才有希望攻克难关，迎来属于自己的春天。