面面垂直档

第一篇：面面垂直档

§2.3.2平面与平面垂直的判定

课型：新授课主 备：谷志涛 一年级数学组 第十二周 第二十六课时 编号026时间2011-10-26

※ 典型例题

例1 如图11-5，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O

所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小；

2.理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；

3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化.一、课前准备

（预习教材P67~ P69，找出疑惑之处）

复习1：⑴若直线垂直于平面，则这条直线________

平面内的任何直线；⑵直线与平面垂直的判定定理为_________________________________________ ___________________________________.复习

2：⑴什么是直线与平面所成的角?

⑵直线与平面所成的角的范围为_______________.二、新课导学

※

探索新知

探究1：二面角的有关概念

图11-

1问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么?

新知1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图11-2中的二面角可记作：二面角AB或l或PABQ.PAC平面PBC.图11-

2问题：二面角的大小怎么确定呢？

新知2：如图11-3，在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA,OB

则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.例2 如图11-6，在正方体中，求面ADCB与面 ABCD

图11-

3反思：⑴两个平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小 有什么关系？

⑵你觉的二面角的大小范围是多少？

⑶二面角平面角的大小和O点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？

探究2：平面与平面垂直的判定

问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两 个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？

新知3：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂小结：求二面角的关键是作出二面角的平面角.直.如图11-4，垂直，记作.※ 动手试试

练.如图11-7，在空间四边形SABC中，ASC=90°，ASBBSC60°，SASBSC，⑴求证：平面ASC平面ABC.⑵求二面角SABC的平面角的正弦值.图11-

4问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？

新知4：两个平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂

线，则这两个平面垂直.反思：定理的实质是什么?

图11-7

课后作业

1.如图11-8，AC面BCD，BDCD，设ABC= 1，CBD2，ABD3，求证：

三、总结提升

※ 学习小结

1.二面角的有关概念，二面角的求法； 2.两个平面垂直的判定定理及应用.※ 知识拓展

二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面内一点A，作AB于点B，再作BOl于O，连接OA，则AOB即为所求平面角.(为什么?)

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（）.A.很好

B.较好C.一般D.较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.以下四个命题，正确的是（）.A.两个平面所成的二面角只有一个B.两个相交平面组成的图形叫做二面角

C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关

2.对于直线m,n,平面,,能得出的一个条件是（）.A.mn,m//,n//B.mn,m,nC.m//n,n,mD.m//n,m,n 3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，过A,C,D的平面与过D,B1,B的平面的位置关系是（）.A.相交不垂直B.相交成60°角C.互相垂直D.互相平行

4.二面角的大小范围是________________.5.若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系为_______.cos 3cos1cos2

复备

图11-8

2.如图11-8，在正方体中，E,F是棱AB与DC的中点，求面 EFCB与面ABCD所成二面角的正切值.（取锐角）

图11-8

小结

第二篇：面面垂直

过点P引三条长度相等但不共面的线段PA,PB,PC，且APBAPC60，BPC90，求证：平面ABC平面BPC．

BD，求二面角BACD的正弦如图，AB平面BCD，BDCD，若ABBC2

值。

A

B

如图，已知AB是圆O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任一点，求证：平面PAC平面PBC．AO B

第三篇：怎么证明面面垂直

怎么证明面面垂直证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成

一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。这是解析几何的方法。

证:连接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD为正方形=>AC垂直BD.而BD是PB在面ABCD内的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC属于面ACE=>面PBD垂直面ACE 2 1利用直角三角形中两锐角互余证明

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。2勾股定理逆定理

3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

二、高中部分

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法 两条直线的方向向量数量积为0 2斜率 两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理 如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。

第四篇：面面垂直学案

§2.3.4平面与平面垂直的性质

一、学习目标：

1.掌握平面与平面垂直的性质定理的证明及应用；

2.掌握空间中的垂直关系相互转化的方法。

二、学习过程：

(一)复习引入

1.平面与平面垂直的定义：

2.面面垂直判定定理：

（二）探索研究

（1）观察黑板所在的平面和地面，它们是互相垂直的，那么黑板所在的平面里的任意一条直线是否就一定和地面垂直？

（2）观察长方体ABCD-A`B`C`D`中，平面AA`D`D与平面ABCD垂直，你能否在平面AA`D`D中找一条直线垂直于平面ABCD？

（三）严格证明

已知,CD,AB,ABCD于B.求证:AB.A

DB

（四）得出定理

面面垂直的性质定理：

两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言表述：

（五）知识应用举例

例

1、已知平面α与β互相垂直，判断下列命题是否正确：

（1）若b,则b。

（2）若=l,bl则b。

（3）若b,则b垂直于平面内的无数条直线。

(4)过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线

必垂直于另一个平面。

例

2、平面与平面互相垂直，m,P,Pm,判断：

（1）过点P且垂直于的直线a是否一定在内？

（2）过点P且垂直于的直线l与是什么位置关系？并证明

例

3、如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，(1)求证：BC⊥平面PAC。(2)判断平面PBC与平面PAC是否垂直，并证明。

A

O B

练习：如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC.C

解题反思：

（六）小结反思

1.面面垂直的性质定理

2..空间垂直关系有那些？如何实现空间垂直关系的相互转化？请指出下图中空间垂直关系转化的定理依据？

①

②

③

④

（七）家庭作业《同步导学》

第五篇：面面垂直习题（模版）

例1如图,在四面体P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-AP-C的正切值。

解：如图，过B作BE⊥AC于E，过E

作EF⊥PA于F，连接BF

∵PC⊥平面ABC，PC平面PAC

C ∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC

由三垂线定理，有BF⊥PA,∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角，设PC=1,由E是AC的中点，BE

32,EF

12sin450B

24tgBFE

BE

EF6

例2:如图, PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AF⊥PC于F.求证:

AF⊥平面PBC.证明:∵PA⊥平面ABCBC 平面ABC

∴ PA⊥BC

又AC⊥BC PA∩AC=A

∴ BC⊥平面PAC

平面PAC又BC P F A C B∴平面PBC⊥平面PAC

平面PAC,∵AF⊥PCAF

平面PBC∩平面PAC=PC

∴ AF⊥平面PBC

如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，求证：平面ADE⊥平面ACE.E

D

C

A

B

如图在空间四边形ABCS中，SA平面ABC，平面SAB 平面SBC

(1)求证：ABBC ；

(2)若设二面角SBCA为45，SA＝BC，求二面角ASCB的大小

S

E

a

A 2aC

已知线段AB的两端点在直二面角CD的两个面内,且与、分别成30和45角，求AB和CD所成的角

C

如图PA垂直于矩形ABCD所在平面，E是AB的中点，二面角PCDB 为45求证：平面PEC平面PCD

G C

E B