高中立体几何证明方法

第一篇：高中立体几何证明方法

高中立体几何

一、平行与垂直关系的论证

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。1.线线、线面、面面平行关系的转化：

面面平行性质

//

a,

ab

//b)

线面平行性质

////



a

b

a//a//b

//

a



//

a//

2.线线、线面、面面垂直关系的转化：

在内射影a

则aOAaPOaPOaAO

l

线面垂直定义





a



la



ba a,ab







a a

面面垂直定义

l，且二面角l

成直二面角





3.平行与垂直关系的转化：

a//ba

a

b

a



//

面面平行判定2 面面平行性质

3ab

a//b

//a

a

4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”5.唯一性结论：

二、三类角

1.三类角的定义：

（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°（0时，b∥或b

）

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°

2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。

（三）空间距离：求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关三角形中求解。求点到面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为点到面的距离。

第二篇：立体几何证明方法

立体几何证明方法

一、线线平行的证明方法：

1、利用平行四边形。

2、利用三角形或梯形的中位线

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（线面平行的性质定理）

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行的性质定理）

5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（线面垂直的性质定理）

6、平行于同一条直线的两条直线平行。

二、线面平行的证明方法：

1、定义法：直线与平面没有公共点。

2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（线面平行的判定定理）

3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。

三、面面平行的证明方法：

1、定义法：两平面没有公共点。

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（面面平行的判定定理）

3、平行于同一平面的两个平面平行

4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形对角线。

4、圆所对的圆周角是直角。

5、点在线上的射影。6利用向量来证明。

7、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。

8、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直的证明方法：

1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。

2、点在面内的射影。

3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（线面垂直的判定定理）

4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直的性质定理）

5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面

6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。

7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。

8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。

9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。

六、面面垂直的证明方法：

1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。

2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）

3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。

4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。

第三篇：立体几何常见证明方法

立体几何方法归纳小结

一、线线平行的证明方法

1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。

2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A，过a的平面B与平面A相交于b，则 a//b。

3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a//b。

4、根据面面平行的性质定理，若平面A//平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线 a与直线 b，则a//b。



5、由向量共线定理，若ABxCD，且AB、CD不共线，则向量AB所在的直线a与向量cd所在的直线b平行，即a//b。

二、线面平行的证明方法

1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。

2、根据线面平行的判定定理，若平面 A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a//A。(用相似三角形或平行四边形)

3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。

4、向量法，向量c与平面A法向量垂直，且向量c所在直线c不在平面内，则c//A。

三、面面平行的证明方法

1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。

2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。

或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。

3、垂直同一直线的两平面平行。

4、平行同一平面的两平面平行。

5、向量法，证明两平面的法向量共线。

四、两直线垂直的证明方法

1、根据定义,证明两直线所成的角为90°

2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).5、向量法.五、线面垂直的证明方法

1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面.2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.6、向量法,证明平面的法向量与表示该直线的向量共线.六、面面垂直的证明方法

1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。

2、根据面面垂直的判定定理，一平面经过另一平面的一条垂线，则两平面垂直。

3、一平面垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个。

4、向量法，证明两平面的法向量垂直（即法向量的数量积为零）。

七、两异面直线所成角的求法

1、根据定义，平移其中一条和另一条相交，然后在三角形中求角。

2、利用中位线，将两异面直线平移至一特殊点（中位线的交点）然后在三角形中求角。

3、cos=cos1cos2

4、向量法.八、直线与平面所成角的求法

1、根据定义，作出直线与平面所成角，然后在直角三角形中求角。

2、转化为距离(sin=h/l)

3、向量法，求出平面的法向量，然后求平面的斜线与法向量的夹角。（注意为正弦）注：对两异面直线所成角和直线与平面所成角一定要注意角的范围。九、二面角的求法

1、定义法，从二面角的棱上的某一点分别在两个半平面内作棱的垂线，求两条垂线所形成的角。

2、根据三垂线定理，先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求角。

3、射影面积法，先作出一个半平面内的某个多边形，在另一个半平面内的射影多边形，然后由公式 cosθ=s'/s（其中θ为二面角的平面角，s'为射影多边形的面积，s为多边形的面积）求出二面角的平面角。

4、向量法，求出两个半平面的法向量，然后求两法向量的夹角。（一般要先根据已知判断二面角是锐角还是钝角,否则要判断指向，同内同外为补角）

5.公式法(异面直线上点距离公式和三类角公式)

十、点到平面的距离的求法

1、根据定义，直接求垂线段的长度。

2、向量法，利用公式

|PAn|d=|n|（其中PA为平面的一条斜线，向量n 为平面的一个法向量。

3、等体积法，主要用在四面体（三棱锥）中，根据四面体的体积等于1/3底面积×高，选取不同的底面积，求出其中一条高长。

十一、平面图形翻折问题的处理方法

1、先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化，然后将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论都已知的立体几何问题。

2、有关翻折问题的计算，必须抓住在翻折过程中点、线、面之间的位置关系、数量关系中，哪些是变的，哪些没变，尤其要抓住不变量。对计算几何体上两点之间的最短距离问题，要注意转变为平面图形求两点间的距离来计算。

十二、要注意的问题

1、对推理论证与计算相结合的题目的解题原则是一作、二证、三计算。(向量法可省略证角，但必须交代如何建系，右手系)。

2、正方体中，两个平行的正三角形截面把一条与它们垂直的体对角线三等分。

3、已知三条射线两两夹角，会求线面角和二面角(课堂笔记，只需会推导方法，不需强记公式)

4、适当时候，坐标法不方便时可以考虑基向量法，求向量模易出错：rar2a。

5、求异面直线间的距离，若公垂线找不到，除向量法外，可以考虑构造平行平面或平行线面，转化为点面距离求。

第四篇：立体几何的证明方法

立体几何的证明方法

1．线面平行的证明方法

2．两线平行的证明方法

5.面面垂直的证明方法

6.线线垂直的证明方法

7、空间平行、垂直之间的转化与联系：

应用判定定理时，注意由“低维”到“高维”： “线线平行”⇒“线面平行”⇒“面面平行”；应用性质定理时，注意由“高维”到“低维”： “面面平行”⇒“线面平行”⇒“线线平行”．

(1)利用判定定理时，由“低维”到“高维”；利用性质定理或定义时，由“高维”到“低维”；(2)线面垂直是核心，联系线线垂直，面面垂直，线线垂直是基础．

例1．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F，求证：EF∥平面ABCD.D为C1C 例2．如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，且A1A底面ABC，的中点，AB1与A1B相交于点O，连结OD，（1）求证：OD//平面ABC；（2）求证：AB1平面A1BD。

例3．如图，已知棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且AA1面ABCD，DAB60，ADAA11，F为棱AA1的中点，M为线段BD1的中点，（1）求证：MF//面ABCD；（2）判断直线MF与平面BDD1B1的位置关系，并证明你的结论；（3）求三棱锥D1BDF的体积.A

第五篇：立体几何常见证明方法