第一篇：平方差公式教案
学习周报
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9.11平方差公式
教学目标：1.几何图形探索平方差公式的过程，从几何引导到代数的证明。
2.熟悉掌握平方差公式及其应用。3.培养学生数学语言的表达能力。
4.从两种不同角度的探索中，让学生感悟数学探索的方法和几何与代数的内在联系。
教学重点：公式的探索和应用。
教学难点：1.在题目中找出公式中的a,b。
2.公式的灵活运用。
教学过程： 1．公式引入
a)几何证明（图形变化前后的面积问题）
播放世界杯决赛短片。画面停格在球场远景。引入问题：
例：德国世界杯的主球场建造时，需要一大片草皮建造足球场。所以柏林市政府购买了一块边长为92米的正方形草皮。但是在运输过程中，草皮一角遭到损坏，使得正方形一角有边长为20米的一个小正方形草地无法使用。为此设计师决定将草皮的Ⅱ部分切割并移动位置。从而正好够建造一个标准足球场。请列两个不同的式子分别表示切割后标准球场的面积以及切割前的草皮面积。
92切割后：S后(9220)(9220)切割前：S前922202
92因为S后＝S前2020Ⅱ20所以(9220)(9220)9220
若大正方形边长变为a，小正方形边长变为
b，切割前后的绿地面积如何表示？
(ab)(ab)ab22
(ab)(ab)a2通过几何图形推得这样一个式子：
b2
b)代数证明：（上一课刚刚学了多项式×多项式）
我们刚刚是从几何角度推导出了这个式子，那我们考虑一下，对于代数计算，这个式子是不是成立？ 探究：是否只要(a+b)(a-b)就一定等于a2b2？用多项式×多项式来验证。
(ab)(ab)a2ababb2a2b2
结果中有两项互为相反数，可以相互抵消。
结论：通过图形和数字，我们都证明了这个式子的成立。推得公式：
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平方差公式：(ab)(ab)a2b2
文字叙述：两个数的和与这两个数差的乘积，等于这两个数的平方差。(观察公式中等号左边以及等号右边的特点)课本P33页。朗读并且记忆。同桌相互背诵。请学生复述。
2．公式的应用
找出下列各题中的a,b项。（学生寻找，归纳寻找a,b的方法。然后计算。强调给a,b所对应的项定位。）
1.(3m－1)(3m＋1)
2.(－1+3n)(－1－3n)
3.(－2b－5)(2b－5)
关键：两个二项式中，a前面的符号相同，而b前面的符号相反。所以，找a,b关键是找出符号相同的项和符号相反的项。结果中，符号相同的项放在减号前面，符号相反的项放在减号后面。
判断下列式子是否正确，并说明理由。
1.(x1)(x1)x12.(2ab)(2ab)2ab222222 3.(3xy)(3xy)9xy24.(2xy)(2xy)4xy5.(a3)(a4)a126.(x3)(y3)xy92
判断依据：左边必须是有前面符号相同的项a和前面符号相反的项b。右边必须是左边符号相同的项的平方减去符号相反的项的平方。
例.1.(2x3)(3x3)x3x92.(x3y)(x3y)(x)(3y)x9y3.(2ab)(2ab)(4ab)[(2a)(b)](4ab)***222x看作一个整体为a
-x看作一个整体为a 利用公式，合理简便解题
(4ab)(4ab)
2222 (4a)(b)4416ab
利用平方差公式计算多项式乘以多项式，关键是抓住找相同项和相反项。其计算结果就是相同项的平方减去相反项的平方。（2，3这样的题目，学生相对比较困难，但是只要牢牢抓住找相同项和相反项，仍然能够迎刃而解。）
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练习：1.(1a)(1a)2.(2x5y)(2x5y)3.(19xy)(22
xy)13xy)(13利用投影批改。注意分析学生解题中的错误。再计算一次，观察学生是否良好的掌握。
1.(12x213)(12x2213)2
2.(2a3b)(9b4a)(2a3b)
学生活动：
请3位学生，每位学生写出一个自己最喜欢的个位数。其他同学计算100与这个数的和以及100与这个数的差的乘积。比一比哪个同学算的最快。并且告诉我们计算方法。
3．小结
这节课你有什么收获？
a．平方差公式：(ab)(ab)a2b2
b．文字表述：两数和与两数差的乘积，等于这两个数的平方差。4．作业
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第二篇：平方差公式教案
《平方差公式》教学设计
牟平实验中学 隋玲
一、教材分析
《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个乘法公式.本节课的教学重点是：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算.二、教学目标 知识与技能目标：
掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算； 过程与方法目标：
经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力； 情感态度与价值观：
会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.三、教学重点、难点：
本节课的重点：平方差公式的特点以及会运用公式进行简单计算。
本节课的教学难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算．
四、教学过程设计
（一）创设情境，引出课题
小明的妈妈领着小明到新房子去，进了客厅，妈妈说：“客厅长6.1米，宽5.9米，能帮我算一下客厅的面积吗？”小明没有带笔和计算器，你能快速帮助小明算出客厅的面积吗？
设计意图：通过出示与实际生活相联系的问题，说明数学来源与生活并服务与生活，同时引出本节课的问题，当然这一问题的解决需要本节课的知识来解决。
问题１：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）（x+1）（x-1）= ；（2）（m+2）（m-2）= ；（3）（2x+1）（2x-1）= ．
设计意图：通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习习近平方差公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----平方差公式．
（二）探索新知，尝试发现
问题２：依照以上三道题的计算回答下列问题：
①式子的左边具有什么共同特征？
②它们的结果有什么特征？
③能不能用字母表示你的发现？
师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：
．
设计意图：在学生已掌握的多项乘法法则的基础上,探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式，这样更加自然、合理．
（三）数形结合，几何说理
问题3：活动探究：将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系
．
设计意图：通过学生小组合作，完成剪拼游戏活动,利用这些图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性,渗透了数形结合的思想，让学生体会到代数与几何的内在联系．引导学生学会从多角度、多方面来思考问题．对于任意的a、b，由学生运用多项式乘法计算：
（四）总结归纳，发现新知，验证了其公式的正确性． 问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
设计意图：鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织与表达能力．
（五）剖析公式，发现本质 在平方差公式
中，其结构特征为：
①左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即
；
②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式．
设计意图：通过观察平方差公式，体验公式的简洁性并通过分析公式的本质特征掌握公式．在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果．
（六）巩固运用，内化新知
问题5：判断下列算式能否运用平方差公式计算：（1）（2x+3a）（2x–3b）；（2）（3）（－m+n）（m－n）；（4）（5）
．
；
；
设计意图：学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件．巩固平方差公式，进一步体会字母a、b可以是数，也可以是式，加深对字母含义广泛性的理解．
问题6：判断下列计算是否正确：
（1）（2a–3b）（2a–3b）=4a2－9b2（）
（2）（x+2）（x – 2）=x2－2（）
（3）（－3a－2）（3a－2）=9a2－4（）（4）
（）设计意图：对学生常出现的错误，作具体的分析，以加深学生对公式的理解，进一步掌握平方差公式的本质特征和运用平方差公式必须具备的条件．
问题7：计算：
（1）（2x +3）（2x－3）；（2）（b+2a）（2a－b）． 解：（1）（2x + 3）（2x –3）=（2x）－3 = 4x －9
2（2）（b+2a）（2a－b）=（2a）－b =4a－b
设计意图：解决操作层面问题．可提议用不同方法计算，以体现学生的创造性．
（七）拓展引申，发展思维 问题8：计算：
（1）首先看本节课的开始题目，你能帮助小明吗？（2）98×（－102）；（3）
．
设计意图：首位呼应，运用本节课的内容解决开始的问题；把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，此题体现了转化的思想和数式通性；另一题是平方差公式与一般多项式乘法的综合，注意不能用公式的仍按多项式乘法法则进行．
（八）小试牛刀，挑战自我
1．在下列括号中填上合适的多项式：
2．看谁算得快：
设计意图：设计此组题旨在从正反两方面灵活运用平方差公式，由结果追溯算式中的相同项和相反项，关键在于理解公式结构特征，同时锻炼了学生逆向思维能力，也为后续的学习做了铺垫．第2个填空题有两种填法，属开放设计．目的是加强学生对公式结构特征的理解，同时也锻炼学生的发散思维．
（九）总结概括，自我评价
问题10：这节课你有哪些收获？还有什么困惑？ 设计意图：从知识和情感态度两个方面加以小结，使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识．
（十）课后作业 必做题：习题1.选做题：1．2．计算：（1）（2）（3）
；
；
．，则A的末位数是_______．
设计意图：作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展．
第三篇：平方差公式教案
公开课教案
课题：平方差公式 授课：张福仁 教学目标：
1、知识与技能目标：会用平方差公式进行多项式乘法运算
2、过程与方法目标：通过问题情境，引导学生自行得出平方差公式，再通过练习巩固。
3、情感态度与价值观目标：通过问题探究，培养学生独立思考、解决问题能力。教学重点：平方差公式理解、运用 教学难点：平方差公式理解、运用 教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
[师]你能用简便方法计算下列各题吗?(1)2001×1999(2)998×1002 [生甲]直接乘比较复杂,我考虑把它化成整百,整千的运算,从而使运算简单,2001可以写成2000+1,1999可以写成2000-1,那么2001×1999可以看成是多项式的积,根据多项式乘法法则可以很快算出.[生乙]那么998×1002=(1000-2)(1000+2)了.[师]很好,请同学们自己动手运算一下.[生](1)2001×1999=(2000+1)(2000-1)=20002-1×2000+1×2000+1×(-1)=20002-1 =4000000-1 =3999999.(2)998×1002=(1000-2)(1000+2)=10002+1000×2+(-2)×1000+(-2)×2
=10002-22 =1000000-4 =1999996.[师]2001×1999=20002-12 998×1002=10002-22 它们积的结果都是两个数的平方差,那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢?我们继续进行探索.Ⅱ.导入新课
计算下列多项式的积.(1)(x+1)(x-1)(2)(m+2)(m-2)(3)(2x+1)(2x-1)(4)(x+5y)(x-5y)观察上述算式,你发现什么规律?运算出结果后,你又发现什么规律?再举两例验证你的发现.(学生讨论,教师引导)[生甲]上面四个算式中每个因式都是两项.[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积.例如算式(1)是x与1这两个数的和与差的积;算式(2)是m与2这两个数的和与差的积;算式(3)是2x与1•这两个数的和与差的积;算式(4)是x与5y这两个数的和与差的积.[师]这个发现很重要,请同学们动笔算一下,相信你还会有更大的发现.[生]解:(1)(x+1)(x-1)
=x2+x-x-1=x2-12(2)(m+2)(m-2)=m2+2m-2m-2×2=m2-22(3)(2x+1)(2x-1)=(2x)2+2x-2x-1=(2x)2-12(4)(x+5y)(x-5y)=x2+5y·x-x·5y-(5y)2 =x2-(5y)2 [生]从刚才的运算我发现: 也就是说,两个数的和与差的积等于这两个数的平方差,这和我们前面的简便运算得出的是同一结果.[师]能不能再举例验证你的发现? [生]能.例如: 51×49=(50+1)(50-1)=502+50-50-1=502-12.即(50+1)(50-1)=502-12.(-a+b)(-a-b)=(-a)·(-a)+(-a)·(-b)+b·(-a)+b·(-b)=(-a)2-b2=a2-b2 这同样可以验证:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.[师]为什么会是这样的呢? [生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后,中间两项是同类项,且系数互为相反数,所以和为零,只剩下这两个数的平方差了.[师]很好.请用一般形式表示上述规律,并对此规律进行证明.[生]这个规律用符号表示为:(a+b)(a-b)=a2-b2.其中a、b表示任意数,也可以表示任意的单项式、多项式.利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.[师]同学们真不简单.老师为你们感到骄傲.能不能给我们发现的规律(a+b)(a-b)=a2-b2起一个名字呢? [生]最终结果是两个数的平方差,叫它“平方差公式”怎样样? [师]有道理.这就是我们探究得到的“平方差公式”,•请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式.(出示投影)两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即:(a+b)(a-b)=a2-b2 平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式,用它直接运算会很简便,但必须注意符合公式的结构特征才能应用.在应用中体会公式特征,感受平方差公式给运算带来的方便,从而灵活运用平方差公式进行计算
(出示投影片)例1:运用平方差公式计算:(1)(3x+2)(3x-2)(2)(b+2a)(2a-b)(3)(-x+2y)(-x-2y)例2:计算:
(1)102×98(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征,学会对号入座.在例1的(1)中可以把3x看作a,2看作b.即:(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22(a+b)(a-b)=a2-b2 同样的方法可以完成(2)、(3).如果形式上不符合公式特征,可以做一些简单的转化工作,使它符合平方差公式的特征.比如(2)应先作如下转化:(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b).如果转化后还不能符合公式特征,则应考虑多项式的乘法法则.(作如上分析后,学生可以自己完成两个例题.•也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的)[例1]解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.(2)(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.[例2]解:(1)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996.(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+5y-y-5)=y2-4-y2-4y+5 =-4y+1.[师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么?
[生]我觉得应注意以下几点:(1)公式中的字母a、b可以表示数,也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式,•但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.[生]运算的最后结果应该是最简才行.[师]同学们总结得很好.下面请同学们完成一组闯关练习.优胜组选派一名代表做总结发言
第四篇：平方差公式教案
灰太狼开了租地公司,一天他把一边长为a米的正方形土地租给懒羊羊种植.有一年,他对懒羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,继续租给你, 你也没吃亏,你看如何?”懒羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了.同学们,你们觉得懒羊羊有没有吃亏?
一、知识回顾:
多项式与多项式怎样相乘的? 和学生拉近距离,引起学生的兴趣。
二、自主探究:
1、计算下列多项式的积:
1、(x+1)(x-1)
2、(m+2)(m-2)=
= =
=
3、(2x+1)(2x-1)
4、(x+5y)(x-5y)=
= =
=
2、归纳: 观察算式结构,你发现了什么规律? ①算式中每个因式都有 项。
②算式都是两个数的 与 的 _____ 的积。即两个因式中,有一项 ,另一项。计算结果后,你又发现了什么规律? 计算结果都是前项的 减去后项的。
三、合作交流:
1、猜想:
2、验证:
3、得出:
(a+b)(a-b)= 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
四、例题精析
1、判断下列式子是否可用平方差公式 :(1)(-a+b)(a+b)(2)(-2a+b)(-2a-b)(3)(-a+b)(a-b)(4)(a+b)(a-c)
2、参照(a+b)(a-b)= a2-b2填空
3、运用平方差公式计算:(1)(2)
4、计算:(1)
(2)
巩固提升(根据时间的变化而定)
1、下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是()A.(x+1)(1+x);B.(2x-5)(2x+5)C.(-a+b)(a-b);D.(x2-y)(x+y2)
2、运用平方差公式进行计算:(1)(3x+4)(3x-4)(2)(3a+2b)(2b-3a)(3)(-4x-3y)(-4x+3y)
3、你能用简便方法计算下列各题吗?(1)51×49(2)998×1002 4.判断对错,如果有错,如何改正? ⑴;⑵;⑶;
五、小结:平方差公式的特征:(1)左边是两个二项式相乘,这两项中有一项
相同,另一项互为相反数;(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方;(3)先平方,后相减。
公式中的可以表示单项式(数字,字母), 也可以表示多项式(如x+y)。
六、作业
教科书156页-----1 小组交流、讨论
让学生通过计算,观察每个算式的特点和结果的特点,挖掘题目之间的共性,发现规律,猜想公式,从而经历从-般到特殊、从具体到抽象的过程,体会归纳这-数学思想方法准确地运用数学语言表述公式以剖析a、b为目的,对于帮助学生认清公式的结构特征起到事半功倍的作用,在接下来的公式运用中,相信学生会更加得心应手.尝试、交流、教师点拨进一步强化学生的知识对学生经常出现的错误进行预设,防微杜渐.
第五篇：平方差公式
平方差公式
《平方差公式》这一节重点和难点就在于结构的不变性和字母的可变性。因此在教学设计思想是从让每一位学生理解和掌握公式结构的不变性和字母的可变性从而达到熟练运用的目的。只是在具体的教学手段和措施及侧重点上有所区别。虽然如此，本目标已经达到，也取得了初步成效，尤其是对易错点的侧重让学生记忆深刻效果更明显。
具体来说，成功之处我们都基本实现了教学目标，突出了教学重难点，教学过程环环相扣，题目设计逐层深入，及时反馈学习效果，精讲多练。基本实现了预想的效果。我认为该课成功之处主要体现在：
1、导入新颖，从小故事出发，激发学生兴趣，给学生留下悬念，同时对平方差公式有了初步的感性认识，从而揭示课题。然后再通过一系列的探索和练习以及公式的几何解释，使学生对新知识的理解由感性认识到理性认识的过渡。
2、选题合理、有针对性和层次性。在巩固练习中通过像（x+y）(x-y)这种简单的套公式题型逐渐转换到涉及带负号的变式像（-a–b）(-a+b),(-a-b)(b-a)，（a+b）(b-a)这样的题型，通过各类变式和判断及找错的题型问题的暴露，及时处理。使得学生逐步加深对公式结构的理解和记忆。然后转回到课前给学生留下的疑问，最后实现创新，用简便方法计算像2002×1998.使得整个课堂容量大，充实。
3、注重学生的训练和问题的暴露。要达到学生掌握知识，最终发展能力的目的，学生的思维就必须经过反复多次，循序渐进的实际应用，通过几组层层递进的例题练习让学生逐步理解公式中字母的可变性。最后达到对公式的全面和深刻的理解和掌握，使公式的运用得到升华。
4、本节课的重点和难点就是在于结构的不变性和字母的可变性。我就侧重运用公式时的易错点。不仅在训练期间多次强调的方式提醒学生易错点，相同项在前，相反项在后，结果才能用相同相的平方减去相反项的平方，平方时底是单项式但系数不是1或底数是多项式时不要忘记打上括号，而且在最后的小结中给学生总结更是让学生影响深刻。
5、对于整个教学环节，主张由学生通过讨论总结和发现问题、找出规律，一节数学课核心内容只有一点点，老师怎样总结出核心，抽象出本节课的内容特点，并用简捷、清晰的语言，将核心内容通过通俗，易懂，易记的方式交给我们的学生，使他们形成一种解决问题的能力.总之这是一节很成功的课。
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