第一篇：抽屉原理习题精选
抽屉原理习题精选（含答案）
1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？
2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有3张牌有相同的点数？
3．有11名学生到老师家借书，老师的书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同
4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜。试证明：一定有两个运动员积分相同。
5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？
6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人数为多少人？
7．有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手），至少要拿出多少只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
8．一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了多少堆？
9．从1，3，5，„„，99中，至少选出多少个数，其中必有两个数的和是100。
10．某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有多少人带苹果。
11．某个年级有202人参加考试，满分为100分，且得分都为整数，总得分为10101分，则至少有多少人得分相同？
12．2006名营员去游览长城，颐和园，天坛。规定每人最少去一处，最多去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同?
13．某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，则至少有多少人植树的株数相同？
答案：
1．将红、黄、蓝三种颜色看作三个抽屉，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出4个球。3×（2-1）+1=4
2．将14种点数看作是14个抽屉，最少要抽取29张牌，方能保证其中至少有3张牌有相同的点数。14×（3-1）+1=29（扑克牌中的点数说明：A--K分别为1—13点，大小王点数相同，共14种点数。）
3．证明：A、B、C、D四类书，根据题目条件，这些学生借书的组合可能有十种，分别是：A、B、C、D、AB、AC、AD、BC、BD、CD
因为有11名学生到老师家借书，而只有10种借书情况，将这十种借书情况看作是十个抽屉，因此必有两个学生所借的书的类型相同。11÷10=1......1 1+1=2
4．证明，所谓单循环赛即每个运动员都与其它运动员进行一场比赛。即每个人要参加49场比赛，这样如果假设没有运动员积分相同，因为没有全胜，则运动员的积分就有48胜、47胜„„2胜、1胜、0胜共49个积分情况，而50名运动员需要有50个不同的积分结果，这里“49个积分情况”与“需要50个积分结果”出现了矛盾，所以假设“没有运动员积分相同”是错误的，因此一定有两个运动员积分相同。
5．方法同第3题，拿球的种类组合可以有以下六种：足球、排球、篮球、足排、足篮、排篮，这六种组合看作六个抽屉，至少有9名同学所拿的球种类是一致的。50÷6=8.....2
8+1=9
6．则参赛男生46人。
7．至少要拿出10只才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
8．至少把这些水果分成了5堆。
分四种情况： 9．至少选出51个数，其中必有两个数的和是100。
10．46乘客带苹果。
11．提示：分值从0～100，共101种可能的分值，10101÷（0＋1＋2＋„„＋100）＝2„„1，则至少有3人得分相同。
12．至少有335个人游览的地方完全相同。
13．则至少有5人植树的株数相同。
第四讲：最不利原则
一、最不利原则
在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。
例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？
分析与解：如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同。回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出（）个红球、（）个黄球和（）个蓝球，此时三种颜色的球都是（）个，却无4个球同色。这样摸出的9个球是“最不利”的情形。这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。所以回答应是最少摸出（）个球。
通过上面分析，列式为：
例2一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？
分析与解：从最不利的情形考虑。用10把钥匙依次去试第一把锁，最不利的情况是试验了9次，前8次都没打开，第9次无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥匙（若没打开，则第10把钥匙与这把锁相匹配）。同理，第二把锁试验8次……第九把锁只需试验1次，第十把锁不用再试（为什么？）。通过上面分析，列式为：
例3在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？
分析与解：一副扑克牌有大、小王牌各1张，“红桃”、“黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色各13张，共计有54张牌。最不利的情形是：取出四种花色中的三种花色的牌各13张，再加上2张王牌。这41张牌中没有四种花色。剩下的正好是另一种花色的13张牌，再抽1张，四种花色都有了。因此最少要拿出42张牌，才能保证四种花色都有。
热身操
1.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个，才能保证至少有5个小球颜色相同？
2.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20个，其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。问：一次最少取出几个，才能保证至少有6个小球颜色相同？ 3.口袋里有三种颜色的筷子各10根。问：
（1）至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到？（2）至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子？（3）至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？ 4.一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20只。问：最少要拿多少只袜子才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子？ 第六讲：抽屉原理
抽屉原理
抽屉原理又叫狄里克雷原理，是指：把n+1个元素，任意放入n个抽屉，则其中必有一个抽屉里至少有2个元素.抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。
原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
原理2 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
例1：把4枝笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进2枝笔，这是为什么？ 我们从最不利的原则去考虑：
答：如果我们先让每个笔筒里放（）枝笔，最多放（）枝。剩下的（）枝还要放进其中的一个笔筒。所以不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进（）枝笔。
练习：7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？
答：如果一个鸽舍里飞进一只鸽子，5个鸽舍最多飞进（）只鸽子，还剩下（）只鸽子。所以，无论怎么飞，至少有（）只鸽子要飞进同一个笼子里。
例2：把5本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。这是为什么？ 例3：把7本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进多少本书？为什么？ 例4：把9本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进多少本书？为什么？ 做一做：8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有（）只鸽子要飞进同一个鸽舍。为什么？ 计算方法：至少数＝商数+1 练习：
1、某班32名小朋友是在5月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？
2、一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子，颜色有红、黄、黑、白四种。不允许用眼睛看，那么至少要取出多少只袜子，才能保证有5双同色的袜子
3、礼堂里有253人开会，这253人中至少有多少人的属相相同？
4、体育组有足球、篮球和排球，上体育课前，老师让一班的41名同学往操场拿球，每人最多拿两个。问：至少有几名同学拿球的情况完全一样？
5、口袋里放有足够多的红、白两种颜色的球，有若干人轮流从袋中取球，每人取三个球。要保证有4人取出的球的颜色完全相同，至少应有多少人取球？
6、幼儿园小朋友分200块饼干，无论怎样分都有人至少分到8块饼干，这群小朋友至多有多少名？
7、图书馆有甲、乙、丙、丁四类图书，规定每个同学最多可以借两本不同类的图书，至少有多少个同学借书，才能保证有两个人所借的图书类别相同？
8、要把85个球放入若干个盒子中，每个盒子中最多放7个。问：至少有几个盒子中放球的数目相同？
9、把125本书分给五（2）班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？
10、某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有一个图形能借到两本或两本以上的书？
HER新思路教育11111111、有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂放在一起，黑暗中想从这些筷子之中取出颜色不同的两双筷子，至少要取出多少根才能保证达到要求？
12、一副扑克牌（大王、小王除外）有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽几张，才能保证有四张牌是同一张花色的？
13、在从1开始的10个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20。
14、在任意的10人中，至少有两个人，他们在这10个人中认识的人数相等？
15、一副扑克牌有54张，至少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数?
16、某班有49个学生，最大的12岁，最小的9岁，是否一定有两个学生，他们是同年同月出生的？
17、某校五年级学生共有380人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，我们不用去查看学生的出生日期，就可断定在这380个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗？
18、有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起，让你闭上眼睛去摸，（1）你至少要摸出几根才敢保证有两根筷子是同色的？（2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子？为什么？
19、任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数，这是为什么？
20、从任意3个整数中，一定可以找到两个。使得它们的和是一个偶数，这是为什么？
21、从任意的5个整数中，一定可以找到3个数，使这3个数的和是3的倍数，这是为什么？ HER新思路教育
22、从1到50的自然数中，任取27个数，其中必有两个数的和等于52，这是为什么？
23、在100米的路段上栽树，至少要栽多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米？（两端各栽一棵）
24、从1~10这10个数中，任取多少个数，才能保证这些数中一定能找到两个数，使其中的一个数是另一个数的倍数？
25、任意取多少自然数，才能保证至少有两个自然数的差是7的倍数？
26、有尺寸、规格相同的6种颜色的袜子各20只，混装在箱内，从箱内至少取出多少只袜子才能保证有3双袜子？ HER新思路教育
27、把135块饼干分给16个小朋友，若每个小朋有至少分得一块饼干，那么不管怎么分，一定会有两个小朋友分得的饼干数目相同，这是为什么？
28、学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个同学从中任意借两本，那么至少要多少名学生一起来借书，其中才一定有两人所借的图书种类相同？
29、（1）从1到100的自然数中，任取52个数，其中必有两个数的和为102.HER新思路教育（2）从1到100的所有奇数中，任取27个不同的数，其中必有两个数的和等于102，请说明理由。
抽屉原理练习题
1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？
解：把３种颜色看作３个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于３，故至少取出４个小球才能符合要求。
2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？
解：点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。3．11名学生到老师家借书，老师是书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。
证明：若学生只借一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种，若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”。如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。
4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：一定有两个运动员积分相同。| 证明：设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。
5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？ |解题关键：利用抽屉原理２。| 解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下９种：﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。以这９种配组方式制造９个抽屉，将这50个同学看作苹果50÷9 ＝5……5 由抽屉原理２k＝［m/n ］＋１可得，至少有６人，他们所拿的球类是完全一致的。
6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为__________人。| 解：因为任意分成四组，必有一组的女生多于2人，所以女生至少有4×2＋1＝9（人）；因为任意10人中必有男生，所以女生人数至多有9人。所以女生有9人，男生有55－9＝46（人）
7、证明：从1，3，5，……，99中任选26个数，其中必有两个数的和是100。
解析：将这50个奇数按照和为100，放进25个抽屉：（1，99），（3，97），（5，95），……，（49，51）。根据抽屉原理，从中选出26个数，则必定有两个数来自同一个抽屉，那么这两个数的和即为100。
8.某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有______人带苹果
解析：由题意，不带苹果的乘客不多于一名，但又确实有不带苹果的乘客，所以不带苹果的乘客恰有一名，所以带苹果的就有46人。
9.一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了_______堆。
解析：要求把其中两堆合并在一起后，苹果和梨的个数一定是偶数，那么这两堆水果中，苹果和梨的奇偶性必须相同。对于每一堆苹果和梨，奇偶可能性有4种：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），所以根据抽屉原理可知最少分了4+1=5筐。
10.有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手），至少要拿出_____只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
解析：考虑最坏情况，假设拿了3只黑色、1只白色和1只蓝色，则只有一双同颜色的，是再多拿一只，不论什么颜色，则一定会有两双同颜色的，所以至少要那6只。
11.从前25个自然数中任意取出7个数,证明:取出的数中一定有两个数,这两个数中大数不超过小数的1.5倍.证明:把前25个自然数分成下面6组: 1;① 2,3;② 4,5,6;③ 7,8,9,10;④ 11,12,13,14,15,16;⑤ 17,18,19,20,21,22,23, ⑥
因为从前25个自然数中任意取出7个数,所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组,这两个数中大数就不超过小数的1.5倍.12．一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？
解析：根据抽屉原理，当每次取出4张牌时，则至少可以保障每种花色一样一张，按此类推，当取出12张牌时，则至少可以保障每种花色一样三张，所以当抽取第13张牌时，无论是什么花色，都可以至少保障有4张牌是同一种花色，选B。
13．从1、2、3、4……、12这12个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是7？ 【解析】在这12个自然数中，差是7的自然树有以下5对：｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝。另外，还有2个不能配对的数是｛6｝｛7｝。可构造抽屉原理，共构造了7个抽屉。只要有两个数是取自同一个抽屉，那么它们的差就等于7。这7个抽屉可以表示为｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝｛6｝｛7｝，显然从7个抽屉中取8个数，则一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉，也即作差为7，所以选择D。
15．某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？
分析与解：将40名小朋友看成40个抽屉。今有玩具122件，122=3×40＋2。应用抽屉原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。
16．一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？
分析与解：将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。
17．六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？
分析与解：首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3种情况；订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况；订三种杂志有：订甲乙丙1种情况。总共有3＋3＋1=7（种）订阅方法。我们将这7种订法看成是7个“抽屉”，把100名学生看作100件物品。因为100＝14×7＋2。根据抽屉原理2，至少有14＋1＝15（人）所订阅的报刊种类是相同的。
18．篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？
分析与解：首先应弄清不同的水果搭配有多少种。两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（种）。将这10种搭配作为10个“抽屉”。
81÷10=8……1（个）。
根据抽屉原理2，至少有8＋1＝9（个）小朋友拿的水果相同。
19．学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同？
分析与解：首先要弄清参加学习班有多少种不同情况。不参加学习班有1种情况，只参加一个学习班有3种情况，参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、数学和美术3种情况。共有1＋3＋3＝7（种）情况。将这7种情况作为7个“抽屉”，根据抽屉原理2，要保证不少于5名同学参加学习班的情况相同，要有学生 7×（5-1）＋1＝29（名）。
20.在1，4，7，10，…，100中任选20个数，其中至少有不同的两对数，其和等于104。析：解这道题，可以考虑先将4与100，7与97，49与55……，这些和等于104的两个数组成一组，构成16个抽屉，剩下1和52再构成2个抽屉，这样，即使20个数中取到了1和52，剩下的18个数还必须至少有两个数取自前面16个抽屉中的两个抽屉，从而有不同的两组数，其和等于104；如果取不到1和52，或1和52不全取到，那么和等于104的数组将多于两组。
解：1，4，7，10，……，100中共有34个数，将其分成{4，100}，{7，97}，……，{49，55}，{1}，{52}共18个抽屉，从这18个抽屉中任取20个数，若取到1和52，则剩下的18个数取自前16个抽屉，至少有4个数取自某两个抽屉中，结论成立；若不全取1和52，则有多于18个数取自前16个抽屉，结论亦成立。
21.任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和能被3整除。
分析：解这个问题，注意到一个数被3除的余数只有0，1，2三个，可以用余数来构造抽屉。
解：以一个数被3除的余数0、1、2构造抽屉，共有3个抽屉。任意五个数放入这三个抽屉中，若每个抽屉内均有数，则各抽屉取一个数，这三个数的和是3的倍数，结论成立；若至少有一个抽屉内没有数，那么5个数中必有三个数在同一抽屉内，这三个数的和是3的倍数，结论亦成立。
22.在边长为1的正方形内，任意放入9个点，证明在以这些点为顶点的三角形中，必有一个三角形的面积不超过1/8.解：分别连结正方形两组对边的中点，将正方形分为四个全等的小正方形，则各个小正方形的面积均为1/4。把这四个小正方形看作4个抽屉，将9个点随意放入4个抽屉中，据抽屉原理，至少有一个小正方形中有3个点。显然，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过1/8。
反思：将边长为1的正方形分成4个面积均为1/4 的小正方形，从而构造出4个抽屉，是解决本题的关键。我们知道。将正方形分成面积均为1/4 的图形的方法不只一种，如可连结两条对角线将正方形分成4个全等的直角三角形，这4个图形的面积也都是1/4，但这样构造抽屉不能证到结论。可见，如何构造抽屉是利用抽屉原理解决问题的关键。
23． 班上有50名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。
解：把50名学生看作50个抽屉，把书看成苹果 ,根据原理1，书的数目要比学生的人数多,即书至少需要50+1=51本.24． 在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米。解：把这条小路分成每段1米长，共100段,每段看作是一个抽屉，共100个抽屉，把101棵树看作是101个苹果 ,于是101个苹果放入100个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个苹果 ,即至少有一段有两棵或两棵以上的树.25． 有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜.试证明：一定有两个运动员积分相同
证明：设每胜一局得一分,由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能 ,以这49种可能得分的情况为49个抽屉 ,现有50名运动员得分则一定有两名运动员得分相同.26.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？
解题关键：利用抽屉原理2。
解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下9种：
第二篇：抽屉原理
数学广角——《抽屉原理》练习
1、你所在的班中，至少多少人中，一定有2个人的生日在同一个月？
2、你所在的班中，至少有多少人的生日在同一个月？
3、32只鸽子飞回7个鸽舍，至少有几只鸽子要飞进同一个鸽舍？
4、在街上任意找来50个人，可以确定，这50人中至少有多少个人的属相相同？
5、飞英学校五、六年级共有学生370人，在这些学生中，至少两个人在同一天过生日，为什么？
6、张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是42环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？
7、幼儿园买来不少猴、狗、马塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么至少几个小朋友中才能保证有两人选的玩具相同。
8、有一个布袋里有红色、黄色、蓝色袜子各10只，问最少要拿多少只才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子。
9、有红、黄、蓝三种颜色的球各6个，混合后放在一个布袋里，一次至少摸出几只，才能保证有两只是同色的？
10、抽屉理有4支红铅笔和3支蓝铅笔，如果闭着眼睛摸，一次必须拿几支，才能保证至少有1支蓝铅笔？
加分题：每题20分
1、要拿出25个苹果，最多从几个抽屉中拿，才能保证从其中一个抽屉里至少拿了7个苹果
2、有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
3、五年级有49名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间，问至少有名学生的成绩相同。
4、一些孩子在沙滩上玩耍，他们把石子堆成许多堆，其中有一个孩子发现，从石子堆中任意选出五堆，其中至少有两堆石子数之差是4的倍数，你说他的结论对吗？为什么？
5、从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34.
第三篇：抽屉原理
《抽屉原理》教学设计 芙蓉中心小学 简淑梅 【教学内容】：
人教版《义务教育课程标准实验教科书●数学》六年级（下册）第四单元数学广角“抽屉原理”第70、71页的内容。【教材分析】：
这是一类与“存在性”有关的问题，教材通过几个直观例子，放手让学生自主思考，先采用自己的方法进行“证明”，然后再进行交流，在交流中引导学生对“枚举法”、“反证法”、“假设法”等方法进行比较，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，从而抽象出“抽屉原理”的一般规律。并利用这一规律对一些简单的实际问题加以“模型化”。即：只需要确定实际生活中某个物体（或某个人、或种现象）的存在就可以了。【学情分析】：
抽屉原理是学生从未接触过的新知识，很难理解抽屉原理的真正含义，尤其是对平均分就能保证“至少”的情况难以理解。
年龄特点：六年级学生既好动又内敛，教师一方面要适当引导，引发学生的学习兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主体性。
思维特点：知识掌握上，六年级的学生对于总结规律的方法接触比较少，尤其对于“数学证明”。因此，教师要耐心细致的引导，重在让学生经历知识的发生、发展和过程，而不是生搬硬套，只求结论，要让学生不知其然，更要知其所以然。【教学目标】：
1．知识与能力目标：
经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律。渗透“建模”思想。
2．过程与方法目标：
经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
3．情感、态度与价值观目标：
通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。【教学重点】：
经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。【教学难点】：
理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。【教学准备】：
多媒体课件、扑克牌、盒子、铅笔、书、练习纸。【教学过程】：
一、课前游戏，激趣引新。
上课伊始，老师高举3张卡片。（高兴状）
（1）老师这有3张漂亮的卡片，我想把它们送给在坐的三位同学，想要吗？
（2）在送之前，我想请同学们猜一猜，这三张卡片会到男生手上还是会到女生手上？（学生思考后回答：可能送给了3名女生、可能送给了3名男生、也有可能送给了2名男生和1名女生、还有可能送给了2名女生和1名男生。）
（3）同学们列出的这四种情况是这个活动中可能存在的现象，你能从这四种可能存在的现象中找到一种确定现象吗？（学生思考后回答：得到卡片的三个同学当中，至少会有两个同学的性别相同。）
（4）老师背对着学生把卡片抛出验证学生的说法。
（5）如果老师再抛几次还会有这种现象出现吗？其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理，也就是我们今天这节课要研究的学习内容，想不想研究啊？
〖设计意图〗：在知识探究之前通过送卡片的游戏，从之前学过的“可能性”导入到今天的学习内容。一方面是使教师和学生进行自然的沟通交流；二是要激发学生的兴趣，引起探究的愿望；三是要让学生明白这种“确定现象”与“可能性”之间的联系，为接下来的探究埋下伏笔。
二、操作探究，发现规律。
1．动手摆摆，感性认识。
把4枝铅笔放进3个文具盒中。
（1）小组合作摆一摆、记一记、说一说，把可能出现的情况都列举出来。
（2）提问：不管怎么放，一定会出现哪种情况？讨论后引导学生得出：不管怎样放，总有一个文具盒里至少放了2只铅笔。
〖设计意图〗：抽屉原理对于学生来说，比较抽象，特别是“总有一个杯子中
至少放进2根小棒”这句话的理解。所以通过具体的操作，列举所有的情况后，引导学生直接关注到每种分法中数量最多的杯子，理解“总有一个杯子”以及“至少2根”。
2．提出问题，优化摆法。
（1）如果把 5支铅笔放进4个文具盒里呢？结果是否一样？怎样解释这一现象？（学生自由摆放，并解释些种现象存在的确定性。）
（2）老师指着一名摆得非常快的同学问：怎么你比别人摆得更快呢？你是否有最简洁、最快速的方法，快快说出来和同学一起分享好吗？
（3）学生汇报了自己的方法后，教师围绕假设法（平均分的方法），组织学生展开讨论：为什么每个杯子里都要放1根小棒呢？
（4）在讨论的基础上，师生小结：假如每个杯子放入一根小棒，剩下的一根还要放进一个杯子里，无论放在哪个杯子里，一定能找到一个杯子里至少有2根小棒。只有平均分才能将小棒尽可能地分散，保证“至少”的情况。
〖设计意图〗：鼓励学生积极的自主探索，寻找不同的证明方法，在枚举法的基础上，学生意识到了要考虑最少的情况，从而引出假设法渗透平均分的思想。
3．步步逼近，理性认识。
（1）师：把6枝铅笔放在5个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔吗？为什么？
把7支铅笔放进6个文具盒里呢？
把8枝笔放进7个盒子里呢？
把20枝笔放进19个盒子里呢？
……
（2）符合这种结果的情况你能一一说完吗？你会用一句归纳这些情况吗？
（笔的枝数比盒子数多1，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。）
〖设计意图〗：通过这个连续的过程发展了学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维，从而达到理性认识“抽屉原理”。
4．数量积累，发现方法。
7只鸽子要飞进5个鸽舍里，无论怎么飞，至少会有两子鸽子飞进同一个鸽舍。为什么？
（1）如果要用一个算式表示，你会吗？
（2）算式中告诉我们经过第一次平均分配后，还余下了2只鸽子，这两只鸽子会怎么飞呢？（有可能两只飞进了同一个鸽舍里，也有可能飞进了不同的鸽舍里。）
（3）不管怎么飞，一定会出现哪种情况？
（4）讨论：刚才是铅笔数比文具盒数多1枝的情况，现在鸽子数比鸽舍要多2只，为什么还是“至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里”？
（4）如果是“8只鸽子要飞进取5个鸽舍里呢？”（余下3只鸽子。）
（5）“9只鸽子要飞进取5个鸽舍里呢？”（余下4只鸽子。）
根据学生的回答，用算式表示以上各题，并板书。
〖设计意图〗：从余数1到余数2、3、4……，让学生再次体会要保证“至少”必须尽量平均分，余下的数也要进行二次平均分。并发现余下的鸽子数只要小于鸽舍数，就一定有“至少有两子鸽子飞进同一个鸽舍”的现象发生。
5．构建模型，解释原理。
（1）观察黑板上的算式，你有了什么新的发现？（只要鸽子数比盒鸽舍数多，且小于鸽舍数的两倍，至少有2只鸽子飞进了同一个鸽舍里。）
（2）刚才我们研究的这些现象就是著名的“抽屉原理”，（教师板书课题：抽屉原理）我们将小棒、鸽子看做物体，杯子、鸽舍看做抽屉。
（3）课件出示：“抽屉原理”又称“鸽巢原理”，最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄里克雷原理”，这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。
（4）请你用“抽屉原理”解释我们的课前游戏，为什么不管老师怎么送，得到卡片的同学一定有两个同学的性别是一样的？其中什么相当于“物体”？什么相当于“抽屉”？
〖设计意图〗：通过对不同具体情况的判断，初步建立“物体”、“抽屉”的模型，发现简单的抽屉原理。研究的问题来源于生活，还要还原到生活中去，所以请学生对课前的游戏的解释，也是一个建模的过程，让学生体会“抽屉”不一定是看得见，摸得着，并让学生体会平常事中也有数学原理，有探究的成就感，激发对数学的热情。
三、循序渐进，总结规律。
（1）出示71页的例2：把5本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。为什么？
A、该如何解决这个问题呢？
B、如何用一个式子表示呢？
C、你又发现了什么？
教师根据学生的回答，继续板书算式。
（2）如果一共有7本书呢？9本书呢？
（3）思考、讨论：总有一个抽屉至少放进的本数是“商＋1”还是“商＋余数”呢？为什么？
教师师让学生充分讨论后得出正确的结论：总有一个抽屉至少放进的本数是“商＋1”（教师板书。）
〖设计意图〗：对规律的认识是循序渐进的。在初次发现规律的基础上，引导学生抓住假设法最核心的思路---“有余数除法”，学生借助直观，很好的理解了如果把书尽量多地“平均分”给各个抽屉里，看每个抽屉里能分到多少本书，余下的书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里比平均分得的书的本数多1本。从而得出“某个抽屉书的至少数”是除法算式中的商加“1”，而不是商加“余数”，从而使学生从本质上理解了“抽屉原理”。四．运用原理，解决问题。
1、基本类型，说说做做。
（1）8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。为什么？
（2）张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？
2、深化练习，拓展提升。
（1）有一副扑克牌，去掉了两张王牌，还剩52张，如果请五位同学每人任意抽1张，同种花色的至少有几张？为什么？
如果9个人每一个人抽一张呢？
（2）某街道办事处统计人口显示，本街道辖区内当年共有 370名婴儿出生。统计员断定：“至少有2名婴儿是在同一天出生的。”这是为什么？ 至少有多少名婴儿是在同一个月出生的？为什么？
〖设计意图〗：让学生运用所学知识去分析、解决生活实际问题，不仅是学生掌握知识的继续拓展与延伸，还是他们成功解决问题后获取愉悦心情的重要途经；不同题型、不同难度的练习不仅能进一步调动学生学习的积极性，还能满足不同的孩子学到不同的数学，并体会抽屉原理的形式是多种多样的。
五、全课小结，课外延伸。
（1）说一说：今天这节课，我们又学习了什么新知识？你还有什么困惑？
（2）用今天学到的知识向你的家长解释下列现象：
从1、2、3……100，这100个连续自然数中，任意取出51个不相同的数，其中必有两个数互质，这是为什么呢？
〖设计意图〗：既让学生说数学知识的收获，也引导学生谈情感上的感受，同时培养他们的质疑能力，使三维目标落到实处；把课堂知识延伸到课外，与家长一起分析思考，主要是想拓展学生思维，达到“家校牵手，共话数学”的教学目的。
板书设计。
抽屉原理
物体数 抽屉数 至少数 =商＋1
（铅笔数）（盒子数）
2
3
÷ 4 =1……1 2 =1＋1 ÷ 5 =1……2 2 =1＋1 ÷ 2 =2……1 3 =2＋1 ÷ 2 =3……1 4 =3＋1
〖设计意图〗：这样的板书设计是在教学过程中动态生成的，按讲思路来安排的，力求简洁精练。这样设计便于学生对本课知识的理解与记忆，突出了的教学重点，使板书真正起到画龙点睛的作用。
第四篇：抽屉原理
抽屉原理
把5个苹果放到4个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果，这是抽屉原理的通俗解释。一般地，我们将它表述为：
第一抽屉原理：把（mn＋1）个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有（m＋1）个物体。
使用抽屉原理解题，关键是构造抽屉。一般说来，数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等，都可作为构造抽屉的依据。
例1 从1，2，3，…，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定：
（1）有2个数互质；
（2）有2个数的差为50；
（3）有8个数，它们的最大公约数大于1。
证明：（1）将100个数分成50组：
{1，2}，{3，4}，…，{99，100}。
在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组中的2个数是两个相邻的整数，它们一定是互质的。
（2）将100个数分成50组：
{1，51}，{2，52}，…，{50，100}。
在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组的2个数的差为50。
（3）将100个数分成5组（一个数可以在不同的组内）：
第一组：2的倍数，即{2，4，…，100}；
第二组：3的倍数，即{3，6，…，99}；
第三组：5的倍数，即{5，10，…，100}；
第四组：7的倍数，即{7，14，…，98}；
第五组：1和大于7的质数即{1，11，13，…，97}。
第五组中有22个数，故选出的51个数至少有29个数在第一组到第四组中，根据抽屉原理，总有8个数在第一组到第四组的某一组中，这8个数的最大公约数大于1。
例2 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。
证明：因1996÷4＝499，故只需证明可以找到一个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数就可以了。
得到500个余数r1，r2，…，r500。由于余数只能取0，1，2，…，499这499个值，所以根据抽屉原理，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，这个差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0，又499和10是互质的，故它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。
例3 在一个礼堂中有99名学生，如果他们中的每个人都与其中的66人相识，那么可能出现这种情况：他们中的任何4人中都一定有2人不相识（假定相识是互相的）。
分析：注意到题中的说法“可能出现……”，说明题的结论并非是条件的必然结果，而仅仅是一种可能性，因此只需要设法构造出一种情况使之出现题目中所说的结论即可。
解：将礼堂中的99人记为a1，a2，…，a99，将99人分为3组：
（a1，a2，…，a33），（a34，a35，…，a66），（a67，a68，…，a99），将3组学生作为3个抽屉，分别记为A，B，C，并约定A中的学生所认识的66人只在B，C中，同时，B，C中的学生所认识的66人也只在A，C和A，B中。如果出现这种局面，那么题目中所说情况
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就可能出现。
因为礼堂中任意4人可看做4个苹果，放入A，B，C三个抽屉中，必有2人在同一抽屉，即必有2人来自同一组，那么他们认识的人只在另2组中，因此他们两人不相识。
例4 如右图，分别标有数字1，2，…，8的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标数字都不相同。当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。
分析：此题中没有直接提供我们用以构造抽屉和苹果的数量关系，需要转换一下看问题的角度。
解：内外两环对转可看成一环静止，只有一个环转动。一个环转动一周后，每个滚珠都会有一次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现，那么这种局面共要出现8次。将这8次局面看做苹果，再需构造出少于8个抽屉。
注意到一环每转动45°角就有一次滚珠相对的局面出现，转动一周共有8次滚珠相对的局面，而最初的8对滚珠所标数字都不相同，所以数字相同的滚珠相对的情况只出现在以后的7次转动中，将7次转动看做7个抽屉，8次相同数字滚珠相对的局面看做8个苹果，则至少有2次数字相对的局面出现在同一次转动中，即必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。
例5 有一个生产天平上用的铁盘的车间，由于工艺上的原因，只能控制盘的重量在指定的20克到20.1克之间。现在需要重量相差不超过0.005克的两只铁盘来装配一架天平，问：最少要生产多少个盘子，才能保证一定能从中挑出符合要求的两只盘子？
解：把20～20.1克之间的盘子依重量分成20组：
第1组：从20.000克到20.005克；
第2组：从20.005克到20.010克；
……
第20组：从20.095克到20.100克。
这样，只要有21个盘子，就一定可以从中找到两个盘子属于同一组，这2个盘子就符合要求。
例6 在圆周上放着100个筹码，其中有41个红的和59个蓝的。那么总可以找到两个红筹码，在它们之间刚好放有19个筹码，为什么？
分析：此题需要研究“红筹码”的放置情况，因而涉及到“苹果”的具体放置方法，由此我们可以在构造抽屉时，使每个抽屉中的相邻“苹果”之间有19个筹码。
解：依顺时针方向将筹码依次编上号码：1，2，…，100。然后依照以下规律将100个筹码分为20组：
（1，21，41，61，81）；
（2，22，42，62，82）；
……
（20，40，60，80，100）。
将41个红筹码看做苹果，放入以上20个抽屉中，因为41=2×20＋1，所以至少有一个抽屉中有2+1=3（个）苹果，也就是说必有一组5个筹码中有3个红色筹码，而每组的5个筹码在圆周上可看做两两等距，且每2个相邻筹码之间都有19个筹码，那么3个红色筹码中必有2个相邻（这将在下一个内容——第二抽屉原理中说明），即有2个红色筹码之间有19个筹码。
下面我们来考虑另外一种情况：若把5个苹果放到6个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。这种情况一般可以表述为：
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第二抽屉原理：把（mn-1）个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有（m-1）个物体。
例7 在例6中留有一个疑问，现改述如下：在圆周上放有5个筹码，其中有3个是同色的，那么这3个同色的筹码必有2个相邻。
分析：将这个问题加以转化：
如右图，将同色的3个筹码A，B，C置于圆周上，看是否能用另外2个筹码将其隔开。
解：如图，将同色的3个筹码放置在圆周上，将每2个筹码之间的间隔看做抽屉，将其余2个筹码看做苹果，将2个苹果放入3个抽屉中，则必有1个抽屉中没有苹果，即有2个同色筹码之间没有其它筹码，那么这2个筹码必相邻。
例8 甲、乙二人为一个正方形的12条棱涂红和绿2种颜色。首先，甲任选3条棱并把它们涂上红色；然后，乙任选另外3条棱并涂上绿色；接着甲将剩下的6条棱都涂上红色。问：甲是否一定能将某一面的4条棱全部涂上红色？
解：不能。
如右图将12条棱分成四组：
第一组：{A1B1，B2B3，A3A4}，第二组：{A2B2，B3B4，A4A1}，第三组：{A3B3，B4B1，A1A2}，第四组：{A4B4，B1B2，A2A3}。
无论甲第一次将哪3条棱涂红，由抽屉原理知四组中必有一组的3条棱全未涂红，而乙只要将这组中的3条棱涂绿，甲就无法将某一面的4条棱全部涂红了。
下面我们讨论抽屉原理的一个变形——平均值原理。
我们知道n个数a1，a2，…，an的和与n的商是a1，a2，…，an这n个数的平均值。平均值原理：如果n个数的平均值为a，那么其中至少有一个数不大于a，也至少有一个不小于a。
例9 圆周上有2000个点，在其上任意地标上0，1，2，…，1999（每一点只标一个数，不同的点标上不同的数）。求证：必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999。
解：设圆周上各点的值依次是a1，a2，…，a2000，则其和
a1＋a2+…＋a2000=0+1+2+…+1999=1999000。
下面考虑一切相邻三数组之和：
（a1＋a2＋a3）+（a2＋a3＋a4）＋…＋（a1998+a1999＋a2000）＋（a1999＋a2000＋a1）＋（a2000＋a1＋a2）
=3（a1＋a2＋…＋a2000）
＝3×1999000。
这2000组和中必至少有一组和大于或等于
但因每一个和都是整数，故有一组相邻三数之和不小于2999，亦即存在一个点，与它紧相邻的两点和这点上所标的三数之和不小于2999。
例10 一家旅馆有90个房间，住有100名旅客，如果每次都恰有90名旅客同时回来，那么至少要准备多少把钥匙分给这100名旅客，才能使得每次客人回来时，每个客人都能用自己分到的钥匙打开一个房门住进去，并且避免发生两人同时住进一个房间？
解：如果钥匙数小于990，那么90个房间中至少有一个房间的钥匙数少房间就打不开，因此90个人就无法按题述的条件住下来。
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另一方面，990把钥匙已经足够了，这只要将90把不同的钥匙分给90个人，而其余的10名旅客，每人各90把钥匙（每个房间一把），那么任何90名旅客返回时，都能按要求住进房间。
最后，我们要指出，解决某些较复杂的问题时，往往要多次反复地运用抽屉原理，请看下面两道例题。
例11 设有4×28的方格棋盘，将每一格涂上红、蓝、黄三种颜色中的任意一种。试证明：无论怎样涂法，至少存在一个四角同色的长方形。
证明：我们先考察第一行中28个小方格涂色情况，用三种颜色涂28个小方格，由抽屉原理知，至少有10个小方格是同色的，不妨设其为红色，还可设这10个小方格就在第一行的前10列。
下面考察第二、三、四行中前面10个小方格可能出现的涂色情况。这有两种可能：
（1）这三行中，至少有一行，其前面10个小方格中，至少有2个小方格是涂有红色的，那么这2个小方格和第一行中与其对应的2个小方格，便是一个长方形的四个角，这个长方形就是一个四角同是红色的长方形。
（2）这三行中每一行前面的10格中，都至多有一个红色的小方格，不妨设它们分别出现在前三列中，那么其余的3×7个小方格便只能涂上黄、蓝两种颜色了。
我们先考虑这个3×7的长方形的第一行。根据抽屉原理，至少有4个小方格是涂上同一颜色的，不妨设其为蓝色，且在第1至4列。
再考虑第二行的前四列，这时也有两种可能：
（1）这4格中，至少有2格被涂上蓝色，那么这2个涂上蓝色的小方格和第一行中与其对应的2个小方格便是一个长方形的四个角，这个长方形四角同是蓝色。
（2）这4格中，至多有1格被涂上蓝色，那么，至少有3格被涂上黄色。不妨设这3个小方格就在第二行的前面3格。
下面继续考虑第三行前面3格的情况。用蓝、黄两色涂3个小方格，由抽屉原理知，至少有2个方格是同色的，无论是同为蓝色或是同为黄色，都可以得到一个四角同色的长方形。
总之，对于各种可能的情况，都能找到一个四角同色的长方形。
例12 试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案。一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一道题目的答案互不相同。问：参加考试的学生最多有多少人？
解：设每题的三个选择分别为a，b，c。
（1）若参加考试的学生有10人，则由第二抽屉原理知，第一题答案分别为a，b，c的三组学生中，必有一组不超过3人。去掉这组学生，在余下的学生中，定有7人对第一题的答案只有两种。对于这7人关于第二题应用第二抽屉原理知，其中必可选出5人，他们关于第二题的答案只有两种可能。对于这5人关于第三题应用第二抽屉原理知，可以选出4人，他们关于第三题的答案只有两种可能。最后，对于这4人关于第四题应用第二抽屉原理知，必可选出3人，他们关于第四题的答案也只有两种。于是，对于这3人来说，没有一道题目的答案是互不相同的，这不符合题目的要求。可见，所求的最多人数不超过9人。
另一方面，若9个人的答案如下表所示，则每3人都至少有一个问题的答案互不相同。
所以，所求的最多人数为9人。练习13
1.六（1）班有49名学生。数学王老师了解到在期中考试中该班英文成绩除3人外均在86分以上后就说：“我可以断定，本班同学至少有4人成绩相同。”请问王老师说得对吗？为什么？
2.现有64只乒乓球，18个乒乓球盒，每个盒子里最多可以放6只乒乓球，至少有几个
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乒乓球盒子里的乒乓球数目相同？
3.某校初二年级学生身高的厘米数都为整数，且都不大于160厘米，不小于150厘米。问：在至少多少个初二学生中一定能有4个人身高相同？
4.从1，2，…，100这100个数中任意选出51个数，证明在这51个数中，一定：
（1）有两个数的和为101；
（2）有一个数是另一个数的倍数；
（3）有一个数或若干个数的和是51的倍数。
5.在3×7的方格表中，有11个白格，证明
（1）若仅含一个白格的列只有3列，则在其余的4列中每列都恰有两个白格；
（2）只有一个白格的列只有3列。
6.某个委员会开了40次会议，每次会议有10人出席。已知任何两个委员不会同时开两次或更多的会议。问：这个委员会的人数能够多于60人吗？为什么？
7.一个车间有一条生产流水线，由5台机器组成，只有每台机器都开动时，这条流水线才能工作。总共有8个工人在这条流水线上工作。在每一个工作日内，这些工人中只有5名到场。为了保证生产，要对这8名工人进行培训，每人学一种机器的操作方法称为一轮。问：最少要进行多少轮培训，才能使任意5个工人上班而流水线总能工作？
8.有9名数学家，每人至多能讲3种语言，每3人中至少有2人能通话。求证：在这9名中至少有3名用同一种语言通话。
练习13
1.对。解：因为49-3=3×（100-86+1）+1，即46=3×15+1，也就是说，把从100分至86分的15个分数当做抽屉，49-3=46（人）的成绩当做物体，根据第二抽屉原理，至少有4人的分数在同一抽屉中，即成绩相同。
2.4个。解：18个乒乓球盒，每个盒子里至多可以放6只乒乓球。为使相同乒乓球个数的盒子尽可能少，可以这样放：先把盒子分成6份，每份有18÷6=3（只），分别在每一份的3个盒子中放入1只、2只、3只、4只、5只、6只乒乓球，即3个盒子中放了1只乒乓球，3个盒中放了2只乒乓球……3个盒子中放了6只乒乓球。这样，18个盒子中共放了乒乓球
（1+2+3+4+5+6）×3=63（只）。
把以上6种不同的放法当做抽屉，这样剩下64-63=1（只）乒乓球不管放入哪一个抽屉里的任何一个盒子里（除已放满6只乒乓球的抽屉外），都将使该盒子中的乒乓球数增加1只，这时与比该抽屉每盒乒乓数多1的抽屉中的3个盒子里的乒乓球数相等。例如剩下的1只乒乓球放进原来有2只乒乓球的一个盒子里，该盒乒乓球就成了3只，再加上原来装有3只乒乓球的3个盒子，这样就有4个盒子里装有3个乒乓球。所以至少有4个乒乓球盒里的乒乓球数目相同。
3.34个。
解：把初二学生的身高厘米数作为抽屉，共有抽屉
160-150+1=11（个）。
根据抽屉原理，要保证有4个人身高相同，至少要有初二学生
3×11+1=34（个）。
4.证：（1）将100个数分成50组：
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｛1，100｝，｛2，99｝，…，｛50，51｝。
在选出的51个数中，必有两数属于同一组，这一组的两数之和为101。
（2）将100个数分成10组：
｛1,2,4,8,16,32,64｝, ｛3,6,12,24,48,96｝，｛5,10,20,40,80｝, ｛7,14,28,56｝，｛9,18,36,72｝, ｛11,22,44,88｝，｛13,26,52｝, ｛15,30,60｝,…, ｛49,98｝, ｛其余数｝。
其中第10组中有41个数。在选出的51个数中，第10组的41个数全部选中，还有10个数从前9组中选，必有两数属于同一组，这一组中的任意两个数，一个是另一个的倍数。
（3）将选出的51个数排成一列：
a1，a2，a3，…，a51。
考虑下面的51个和：
a1，a1+a2，a1+a2+a3，…，a1+a2+a3+…+a51。
若这51个和中有一个是51的倍数，则结论显然成立；若这51个和中没有一个是51的倍数，则将它们除以51，余数只能是1，2，…，50中的一个，故必然有两个的余数是相同的，这两个和的差是51的倍数，而这个差显然是这51个数（a1，a2，a3，…，a51）中的一个数或若干个数的和。
5.证：（1）在其余4列中如有一列含有3个白格，则剩下的5个白格要放入3列中，将3列表格看做3个抽屉，5个白格看做5个苹果，根据第二抽屉原理，5（=2×3-1）个苹果放入3个抽屉，则必有1个抽屉至多只有（2-1）个苹果，即必有1列只含1个白格，也就是说除了原来3列只含一个白格外还有1列含1个白格，这与题设只有1个白格的列只有3列矛盾。所以不会有1列有3个白格，当然也不能再有1列只有1个白格。推知其余4列每列恰好有2个白格。
（2）假设只含1个白格的列有2列，那么剩下的9个白格要放入5列中，而9=2×5-1，由第二抽屉原理知，必有1列至多只有2-1=1（个）白格，与假设只有2列每列只1个白格矛盾。所以只有1个白格的列至少有3列。
6.能。
解：开会的“人次”有 40×10=400（人次）。设委员人数为N，将“人次”看做苹果，以委员人数作为抽屉。
若N≤60，则由抽屉原理知至少有一个委员开了7次（或更多次）会。但由已知条件知没有一个人与这位委员同开过两次（或更多次）的会，故他所参加的每一次会的另外9个人是不相同的，从而至少有7×9=63（个）委员，这与N≤60的假定矛盾。所以，N应大于60。
7.20轮。
解：如果培训的总轮数少于20，那么在每一台机器上可进行工作的工人果这3个工人某一天都没有到车间来，那么这台机器就不能开动，整个流水线就不能工作。故培训的总轮数不能少于20。
另一方面，只要进行20轮培训就够了。对3名工人进行全能性培训，训练他们会开每一台机器；而对其余5名工人，每人只培训一轮，让他们每人能开动一台机器。这个方案实施后，不论哪5名工人上班，流水线总能工作。
8.证：以平面上9个点A1，A2，…，A9表示9个数学家，如果两人能通话，就把表示他们的两点联线，并涂上一种颜色（不同的语言涂上不同颜色）。此时有两种情况：
（1）9点中有任意2点都有联线，并涂了相应的颜色。于是从某一点A1出发，分别与
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A2，A3，…，A9联线，又据题意，每人至多能讲3种语言，因此A1A2，A1A3，…，A1A9中至多只能涂3种不同的颜色，由抽屉原理知，这8条线段中至少有2条同色的线段。不妨设A1A2与A1A3是同色线段，因此A1，A2，A3这3点表示的3名数学家可用同一种语言通话。
（2）9点中至少有2点不联线，不妨设是A1与A2不联线。由于每3人中至少有两人能通话，因此从A1与A2出发至少有7条联线。再由抽屉原理知，其中必有4条联线从A1或A2 出发。不妨设从A1出发，又因A1至多能讲3种语言，所以这4条联线中，至少有2条联线是同色的。若A1A3与A1A4同色，则A1，A3，A4这3点表示的3名数学家可用同一种语言通话。
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第五篇：抽屉原理
《抽屉原理》教学设计
教材分析：现行小学教材人教版在十一册编入这一原理，旨在于让学生初步了解“抽屉原理”（也就是初步接触第一原理），会用“抽屉原理”解决实际有关“存在”问题；通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，让孩子建立数学模型，发现规律；使孩子经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力；通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。
学情分析：使孩子经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力；通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。教学目标：
1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
2、通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
3、通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。
教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。
教学难点：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
教学过程
一、游戏引入
3个人坐两个座位，3人都要坐下，一定有一个座位上至少坐了2个人。
这其中蕴含了有趣的数学原理，这节课我们一起学习研究。
二、新知探究
1、把4枝铅笔放进3个文具盒里，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进（）枝铅笔先猜一猜，再动手放一放，看看有哪些不同方法。用自己的方法记录（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）你有什么发现？
不管怎么放总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。总有是什么意思？至少是什么意思
2、思考
有没有一种方法不用摆放就可以知道至少数是多少呢？
1、3人坐2个位子，总有一个座位上至少坐了2个人2、4枝铅笔放进3个文具盒中，总有一个文具盒中至少放了2枝铅笔5枝铅笔放进4个文具盒中，6枝铅笔放进5个文具盒中。99支铅笔放进98个文具盒中。是否都有一个文具盒中
至少放进2枝铅笔呢？ 这是为什么？可以用算式表达吗？
4、如果是5枝铅笔放到3个文具盒里，总有一个文具盒至少放进几枝铅笔？把7枝笔放进2个文具盒里呢? 8枝笔放进2个文具盒呢? 9枝笔放进3个文具盒呢？至少数=上+余数吗？
三、小试牛刀 1、7只鸽子飞回5个鸽舍,至少有几只鸽子要飞进同一个鸽舍里?
2、从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，至少有几张是同花色的？
四、数学小知识
数学小知识：抽屉原理的由来最先发现这些规律的人是谁呢？最先是由19世纪的德国数学家狄里克雷运用于解决数学问题的，后人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鸽巢原理”，还把它叫做
“抽屉原理”。
五、智慧城堡
1、把13只小兔子关在5个笼子里，至少有多少只兔子要关在同一个笼子里?
2、咱们班共59人，至少有几人是同一属相？
3、张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，镖镖都中，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？
4、六年级四个班的学生去春游，自由活时有6个同学在一起，可以肯定。为什么？
六、小结
这节课你有什么收获？
七、作业：课后练习
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