关于人在雨中行走的数学模型

第一篇：关于人在雨中行走的数学模型

关于人在雨中行走的数学模型

摘要

本题在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。其中题中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收的雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。利用MATLAB软件对各个问题进行求解。

对于问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

对于问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。据此可列出总淋雨量w与行走速度v之间的函数关系。分析表明当行走速度为vm时，淋雨量最少。

对于问题三，雨从背面吹来，雨线与行走在同一平面内，人淋雨量于人和雨相对速度有关，列出函数关系式分析并求解。

关键词：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度，雨滴下落的速度，角度，降雨强度

问题重述

要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m.设跑步距离d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，记跑步速度为v.按以下步骤进行讨论：

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算0,30时的总淋雨量。

（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,之间的关系，问速度v多，大，总淋雨量最少。计算30时的总淋雨量。

（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对(3)作图（考虑的影响），并解释结果的实际意义。

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？

问题分析

1.若不考虑雨的方向，雨以降雨量w均匀地淋遍全身。将人体简化成长方体，求出人接收雨的总面积，人以最大速度跑步，并计算淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量，求出人跑完全程的总淋雨量W。

2.雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为如图1.所示。根据实际情况估计人体淋雨可分为头顶和前后左右几个方向。雨迎面吹来时，由于相对于人的速度有变化，因此人单位时间内接收雨量变化，且与相对速度成正比。据此，推算出前后侧上单位时间内接收雨量。同理，头顶部位接收雨量与雨速垂直于头顶平面的分速度成正比。分别计算出头顶侧与前后侧单位时间内接收的雨量，并分别乘以各自面积以及时间d/t，即得到头顶及两侧淋雨的总量。在人体总的淋雨量。据此可得W与v之间的关系，并能求出0和30时的总淋雨量。

3.雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为，如图2.所示。左右方向上淋雨量为0。头顶上单位时间内接收雨的量w1与雨速垂直方向上的分量成正比，W1为头顶面积bc与时间d/vm以及w1之积。当vmusin时，前方不受雨，前后方向上单位时间内淋雨量w2与人前进方向上人相对于雨的速度（usinvm）成正比，据此推算出W2；而当时，后vmusin方不受雨，由于人速已经高于雨速，这时前面会向前撞山雨滴，即w2与vmusin成正比。W2为人体前面ab和跑步时间d/vm头顶淋雨量以及w2之积。

WW1W

2据此可得W与vm之间的关系，并能求出30

模型假设

1.人在奔跑过程中，vm大小与方向恒定，即沿直线匀速前进。

2.对问题1人体各个方向均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒定。

3.对问题2、3雨线与跑步方向在同一平面内，并且雨线与人体夹角不变。在此过程中左右两次因与雨速平行而不沾雨。

4.假设雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，与苏均匀不变。5.假设单位时间内接收雨的量与雨速成正比。

6.人体行走过程中的震荡引起的误差可忽略不计。

符号说明

a 人体高度

b 人体宽度

c 人体厚度

d 跑步距离

u 雨速

w 降雨量

 雨迎面吹来时与人体的夹角

vm 跑步最大速度

W 总淋雨量

s1 头顶面积

s2 人前或后表面积

u1 雨点相对人头顶速度的垂直分量

u2 雨点相对人前后面速度的垂直分量

w1 头顶单位时间接收雨量

w2 前后面单位时间接收雨量

W1 头顶接收雨量

W2 人体前后面接收雨量

W3 人体左右面接收雨量

模型建立与求解

模型一：

不考虑雨的方向，因为降雨量w均匀地淋遍全身，所以在将人体简化成长方体的情况下，忽略次要因素，人以最大速度跑步，根据淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量等有关条件，列出总淋雨量W的求解公式如下： W(2ab2acbc)w经计算得W0.0024m3

d vm

模型二

根据题意，将降落在人体上的雨滴分成两部分，s1（顶部）s2（前面），人体接收的雨量和头顶面积、头顶部分与雨滴垂直下落方向分量u1、行走的时间有关。

求解如下：

头顶： u1ucoss1bc

假设降雨量w与雨点密度（均匀不计）淋雨量与人相对速度有关，所以：

w1u

1w1wcos W1w1s1twcosbc正面：

v2vsinu 而

w2v2 vmsinuuvsinuw2mw

w2wudbcdwcos vmvm 5

s2ab W2w2s2tvmsinudwab uvm求解得：

当v5m/s时，淋雨量W最小； 当0时，W0.0012m3 当30时，W0.0016m3

模型三

根据题意，将降落在人体上的雨滴分成两部分，s1（顶部）s2（前后两面）头顶：

w1v1 v1ucos

w1wcos

s1bc W1w1s1twcosbcd vm正面：

当usinv时，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的前面

w2v2

v2vmusin

w2vmusinw u s2ab W2vmusindwab uvm当usinv时，人速小于垂直于人前后面的雨速，雨沾到人的后面

w2v2

v2usinvm usinvm

w2wus2ab

W2usinvmd

wabuvm 又因为WW1W2

dbcwcosdusinvmwabvmuvm所以W

vusindbcwcosdmwabvmuvm

当vm2m/s时，总淋雨量最少；

E0.3m3 雨线方向与人体方向夹角为30时，淋雨量为0.2405556

模型评价

通过对本体的分析求解，可知道人在雨中奔跑的淋雨量不仅与跑步速度有关，还与雨线与人跑步方向的夹角，雨速以及人跑步速度等因素有关。同时也存在不足之处就是我们没有考虑降雨密度的不均匀、风向不稳定等次要因素，因此本题的求解结果存在一定的误差，有待改进和提高。

参考文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：2003年8月第三版； [2]姜启源.数学模型[M].北京：高等教育出版社.1987年4月第一版。

第二篇：在雨中行走

在雨中行走

雨小姐在开心的唱着歌，风先生在尽情地伴奏。

我不急不慢地起了床，迅速地刷了牙，洗了脸，等待着我的是一个忙碌的日子。

我走的时候，奶奶说，要我好点，走桥的时候，要小心点。因为风雨这一对恋人，今天很开心，他们的开心，造成了我的遭殃。

哎，今天是倒大霉了，风雨情侣在开心，这路先生，被风雨他们弄得全身腐烂，我的鞋子啊，由白的，变成黄的。快点走！快点走！哎，路先生病的很重啊，我踩在他的身上，滑滑的，还好，没摔倒。可是雨小姐是越来越高兴啊，还好我带了伞，可是，就算带了伞也没用，因为雨太大，风太大了，这下我终于体会到风雨交加了。

风雨越来越大，我根本不法行走。我在哪里，停住了，慢慢地往前走，但我根本走不了，我心里很明白，现在不走，一身将全部打湿。过了一会儿，我用尽全身力量，向前走

不知为什么，我今天没有埋怨，而是自已一个人慢慢地走，或许是我长大了。

我深深的知道：不吃苦中苦，那能方为人诗人。人生的道路就是这样，老天给你设置了一道道关卡，等着你一一个破解，勇敢地向前走。

不仅一番寒彻骨，那得梅花扑鼻香？我在追求我的理想的同时，理想上的道路，就如在风雨中行走，我之所以有勇气在风雨中行走，是因为，我相信，我的努力不会白费，每当我沮丧时，我总会想起我的理想。

我慢慢地走。走啊走，终于到达了终点。在风雨中行走

湘潭县九华中学初一：刘紫薇

第三篇：数学模型

数学建模的心得体会

学完数学建模，使我感触良多：它所教给我们的不单是一些数学方面的知识，更多的其实是综合能力的培养、锻炼与提高。它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力，使我们的逻辑推理能力和量化分析能力得以到很好的锻炼和提高。

首先我想简单介绍下数学模型： 一．数学模型的定义

现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义。“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。

二．建立数学模型的方法和步骤 第一、模型准备

首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。

第二、模型假设

根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。

第三、模型构成

根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。

第四、模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。

第五、模型分析

对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。

数学模型主要是将现实对象的信息加以翻译，归纳的产物。通过对数学模型的假设、求解、验证，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、决策的结果。其实，数学建模对我们来说并不陌生，在我们的日常生活和工作中，经常会用到有关建模的概念。例如，我们平时出远门，会考虑一下出行的路线，以达到既快速又经济的目的；一些厂长经理为了获得更大的利润，往往会策划出一个合理安排生产和销售的最优方案„„这些问题和建模都有着很大的联系。而在学习数学建模以前，我们面对这些问题时，解决它的方法往往是一种习惯性的思维方式，只知道该这样做，却不很清楚为什么会这样做，现在，我们这种陈旧的思考方式己经被数学建模中培养出的多角度、层次分明、从本质上区分问题的新颖多维的思考方式所替代。这种凝聚了许多优秀方法为一体的思考方式一旦被你把握，它就转化成了你自身的素质，不仅在你以后的学习工作中继续发挥作用，也为你的成长道路印下了闪亮的一页。

数学建模所要解决的问题决不是单一学科问题，它除了要求我们有扎实的数学知识外，还需要我们不停地去学习和查阅资料，除了我们要学习许多数学分支问题外，还要了解工厂生产、经济投资、保险事业等方面的知识，这些知识决不是任何专业中都能涉猎得到的。它能极大地拓宽和丰富我们的内涵，让我们感到了知识的重要性，也领悟到了“学习是不断发现真理的过程”这句话的真谛所在，这些知识必将为我们将来的学习工作打下坚实的基础。从现在我们的学习来看，我们都是直接受益者。毫不夸张的说，建模过程挖掘了我们的潜能，使我们对自己的能力有了新的认识，特别是自学能力得到了极大的提高，而且思想的交锋也迸发出了智慧的火花，从而增加了继续深入学习数学的主动性和积极性。再次，数学建模也培养了我们的概括力和想象力，也就是要一眼就能抓住问题的本质所在。我们只有先对实际问题进行概括归纳，同时在允许的情况下尽量忽略各种次要因素，紧紧抓住问题的本质方面，使问题尽可能简单化，这样才能解决问题。数学建模还能增强我们的抽象能力以及想象力。对实际问题再进行“翻译”，即进行抽象，要用我们熟悉的数学语言、数学符号和数学公式将它们准确的表达出来。

通过学习数学建模，对我的收益不逊于以前所学的文化知识，使我终生难忘。而且，我觉得数学建模活动本身就是教学方法改革的一种探索，它打破常规的那种老师台上讲，学生听，一味钻研课本的传统模式，而采取提出问题，课堂讨论，带着问题去学习、不固定于基本教材，不拘泥于某种方法，激发学生的多种思维，增强其学习主动性，培养学生独立思考，积极思维的特性，这样有利于学生根据自己的特点把握所学知识，形成自己的学习机制，逐步培养很强的自学能力和分析、解决新问题的能力。这对于我们以后所从事的教育工作也是一个很好的启发。

第四篇：数学建模 雨中行走问题

数 学 模 型 论 文

学校：班级：姓名：学号：

雨中行走问题

摘要

当我们在雨中冒雨行走时总会下意思的加快速度，似乎跑得越快淋雨量就会越小。但事实上会是这种情况吗？在这里，我们将给予综合性的考虑，来解释不同情况下的淋雨量。

在不考虑风向的情况下，若人的全身都受到雨淋，理所当然人跑的越快所淋的雨就会越少。那么模型也可算出淋雨量。

当雨线从正面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方向和竖直方向成角。因为迎着雨的方向跑，所以全身都会淋到雨，由于有夹角，可以将雨分成竖直方向和水平方向两部分。便可根据题的要求解出模型。

当雨线从后面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方向和竖直方向成角。因为背着雨的方向跑，所以全身不一定都会淋到雨。可分几种情况分别来说。

关键词

人速；雨速；风向；夹角

1.问题的重述

当人们在雨中行走时，是不是走的越快就会淋越少的雨呢？对于这个问题，建立合理的数学模型。讨论一下，在不考虑风向时，人的淋雨量为多少；进而进一步讨论一下，在考虑雨线方向与人的跑步方向在同一平面内成不同角度时的淋雨量。

2.问题的分析

当人在雨中行走时，是否跑的越快所淋的雨量就越少那，答案当然不是。人在雨中所淋到的雨量和风向有关，因为风向的不同会导致雨线和人成不同的角度。从而使人所淋到的雨量有所不同。

3.模型的假设与符号说明

3.1模型的假设

（1）把人体视为长方体，身高h米，身宽w米，身厚d米，淋雨总量C升。（2）把降雨强度视为常量，记为：I（cmh）。（3）风速保持不变。

（4）以定速度v(ms)跑完全程D。

3.2符号说明

h

人体的身高

（m）

w

人体的宽度

(m)d

人体的厚度

(m)D

人跑步的全程

(m)v

人跑步的速度

(m/s)i

降雨强度

(cm/h)c

人在跑步中的淋雨总量

(L)s

人在雨中会被雨淋的面积

(㎡)t

人在雨中跑步的时间

(s)v

雨滴下落速度

(m/s)

雨滴反方向与人速度方向的夹角



雨滴密度

4.模型的建立与求解

（1）不考虑雨的方向，此种情况，人的前后左右都会淋雨。淋雨面积：S2wh2dhwd（m）

行走世间：tDv(s)

I3.6*10(L)

5降雨强度：I(cmh)0.01I(mh)ISt3.6*10DIS360v(ms)

淋雨量：C()5m3结论：在此种情况下，跑步全程长度、降雨强度、淋雨面积都是定参数，只有跑步速度是变量。可知，淋雨量与速度成反比。验证了快跑能减少淋雨量。

但我们也可以发现，当我们取参数D1000m，I2cmh，w0.5m，h1.8m，d0.2m，v6ms时，可求得：S2.62m，C2.6L。也就是说

2在不到三分钟时间内淋雨量就很大了，不太符合实际情况。

结论：用这种模型来描述淋雨量问题不符合实际，原因是模型太简单，没有考虑降雨方向，使得模型太粗超。

（2）考虑降雨方向，可知，Ir

此种情况，淋雨的部位只有头顶和前面。

头顶的淋雨量：C1前面淋雨量：C2DwdrsinvDwh((rcosv)v

v6淋雨总量：CC1C2wD(drsinh(rcosv)

取参数r4ms,I3600*2cms,1.39*10

计算上式得：C6.95*10(0.8sin6cos1.5v)v4

可以看出：淋雨量与降雨的方向和跑步的速度有关。这样我们就可以把问 题转化成给定角度求淋雨量最小的问题。

2时

 C6.9510*433(1.5(v)结论：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量最小。若速度为6ms。则计算可得：

C1.13L

3时

4

C6.9510*433(1.5v)结论：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量最小。若速度为6ms。则计算可得：

C1.47L 2时

雨滴将从身后落下。

C6.95*10[(40.8sin6cosv)1.5]

令2，则02。计算得：

4

C6.95*10(0.8cos6sinv1.5)

此种情况中，淋雨量有可能为负值，这是不可能的，产生的原因是我们认为雨是从前面落到身上的。这种情况另行讨论。

当跑的速度小于雨滴的水平运动速度，即vrsin时，雨滴将会从后面淋在身上。可计算得：

CDw(drcosh(rsinv)vDwdrcosrsin4

当vsin时，C取最小值。

C

代入数据得

C6.95*10cos5sin

结论：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿。

若雨滴是以23的角度落下，即雨滴以

6的角从背后落下，应该以 4 v4sin62ms 的速度行走，此时，淋雨量为 ：

这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。

当行走速度快与雨滴的水平运动速度，即vrsin你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿 你的前胸。被淋得雨量是：

CDwr(dcosrsinvhr)C0.24L

当dcosrsin0,v尽可能大，C 才会最小。当dcosrsin0,v尽可能小，C才会最小。当vrsin,v接近rsin，C才可能最小。现取v6ms，

5.模型的评价

经过解题可知： 对于问题一的模型，由于不考虑风向所带来的影响，求得的结果是非常大的。不符合现实中的实际情况。

对于问题二的模型，在考虑风向所带来的影响时，求得的结果迅速减小。并且想淋到最少的雨，就应该尽量跑得快些，因为淋雨量和人跑的速度为减函数关系。

对于问题三的模型，当雨从后面下来时，人淋雨量的多少和雨的水平分量有关。随着人跑步速度的改变淋雨量将发生不同的变化。

模型的优点：（1）模型可以准确的根据已知数据求解出淋浴量的多少。

（2）模型简单明了，易于理解。模型的缺点：（1）由于假设雨速和人跑步的速度一直不变，可能造成一些误差。6时，C0.77L

参考文献

【1】 姜启源、谢金星、叶俊

数学模型（第三版）

高等教育出版社

【2】 姜启源、谢金星、叶俊

数学模型习题参考答案

高等教育出版社

第五篇：数学建模数学建模之雨中行走问题模型

数学建模

雨

中

行

走

模 型

系别：

班级：

姓名：

学号：

正文：

数学建模之雨中行走问题模型

摘要：

考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑；

若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。① 当vrsin时,淋在背上的雨量为

.pwDrhsinvhv,雨水总量CpwDdrcoshrsinvv② 当vrsin时,此时C20.雨水总量CpwDdrvcos,如300,C0.24升

这表明人体仅仅被头顶部位的雨水淋湿.实际上这意味着人体刚好跟着雨滴向前走,身体前后将不被淋雨.③ 当vrsin时,即人体行走的快于雨滴的水平运动速度rsin.此时将不断地赶上

pwDhvrsin雨滴.雨水将淋胸前（身后没有）,胸前淋雨量C2关键词：

v

淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度

1.问题的重述

人们外出行走,途中遇雨,未带雨伞势必淋雨,自然就会想到,走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处进行时,雨的速度（大小和方向）已知,问行人走的速度多大才能使淋雨量最少？

2.问题的分析.由于没带伞而淋雨的情况时时都有，这时候大多人都选择跑，一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。，一、我们先不考虑雨的方向，设定雨淋遍全身，以 最大速度跑的话，估计总的淋雨量；

二、再考虑雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1，建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算=0，=90时的总淋雨量；

0 2

三、再是雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图2.，建立总淋雨量与速度v及参数a , b , c, d , u , w ,  之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少；

四、以总淋雨量为纵轴，对

（三）作图，并解释结果的实际意义；

五、若雨线方向不在同一平面内，模型会有什么变化；按照这五个步骤，我们可以进行研究了。

3.模型的假设与符号说明

2.1模型的假设

1.设雨滴下落的速度为u（米/秒）,降水强度（单位时间平面上的降水厚度）为w（厘米/时）,且u,w为常量.2.设雨中行走的速度为v（米/秒）,（固定不变）.雨中行走的距离为d（米）.3.设降雨的角度（雨滴下落的反方向与人前进的方向之间的夹角）为 4.视人体为一个长方体,其身高为a（米）,身宽为b（米）,厚度为c（米）

3.2符号说明

a:代表人颈部以下的高度 b:人身体的宽度 c:人身体的厚度 d:起跑点到终点的距离 vm:跑步的最大速度

u:雨的速度

wv:降雨量 :跑步速度

:雨线方向与人体夹角 S:人的全身面积

t= d/vm:雨中行走的时间

4.模型的建立与求解

（1）不考虑雨的方向

首先讨论最简单的情形，即不考虑降雨角度的影响。雨将淋遍全身，淋雨的面积s=2ab+2ac+bc=2.2m，淋雨的时间t=d/vm=200s, 降雨量w=2cm/h=1042/18(m/s), 所以总的淋雨量Q=stw2.4L。

（2）雨从迎面吹来

雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的角度为。如图1。建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，w，之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算 =0， =30时的总降雨量。

雨滴落下的速度为u=4m/s，降雨量w=2cm/h。因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前部。分两部分计算淋雨量.顶部的淋雨量Q1= bcdw cos /v；雨速水平分量usin ，风向与v相反。合速度usin +v，迎面单位时间、单位面积的淋雨量w（usin +v）/u，迎面淋雨量Q2=abdw（usin +v）/uv，所以总淋雨量

bdwcucosa(usinv)QQ1Q2 uvv=vm时Q最小。0时，Q=1.2L；=30，Q1.6L。

0 4

(3)考虑降雨方向的模型（雨从背面吹来）

雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为a，如图2。建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，w，之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。

计算 =30的总淋雨量。

雨滴落下的速度为u=4m/s，降雨量w=2cm/h，因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和背部。分两部分计算淋雨量。

顶部的淋雨量Q1=bcdw cos /v；雨速水平分量usin ，风向与v相反。合速度usinav，迎面单位时间、单位面积的淋雨量w（usin -v）/u，迎面淋雨量Q2=abdw（usin -v）/uv，所以总淋雨量：

bdwcucosa(usinav)bdwu(cosaasina)av,vusinauvuvQbdwcucosa(vusina)bdwu(cosaasina)av,vusinavuvu若ccosa0m

asina即tana>c/a，则v=usina时Q最小，否则，v=v时Q最小，当a30，tana>0.2/1.5，v=2m/s，Q0.24L最小，可与v=vm，Q0.93L相比。

(4)以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对三作图（考虑 a的影响），并解释结果的实际意义

雨从背面吹来，只要 不太小，满足tana>c/a（a=1.5m、c=0.2m时，> 即可），v=usina，Q 最小，此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨。

(5)若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化

再用一个角度表示雨的方向，应计算侧面的淋雨量，问题本质上没有变化。

5.模型的评价

（1）在不考虑风向情况下：

此时，你的前后左右和上方都将淋雨。人在行走中的淋雨量最大的大约为2.44升。结论表明:淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小（2）在考虑风向及雨量的情况下: 当v=usinθ时，Q取到最小.表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。

当v﹥usinθ，你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的胸膛。

6.模型的结果分析

综合上面的分析，我们得到的结论是：

1．如果雨是迎着你前进的方向落下，这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑。

2．如果雨是从你的背后落下，这时你应该控制在雨中行的。走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量。

根据一般常识，我们所得到的结果是合理的且与我们的日常生活经验是一致的。运用简单的数学工具，我们对日常生活中司空见惯的问题给予了定量的分析。但同时必须指出的是，这里建立的简单数学模型与雨中行走的实际过程尚有距离，因为在建立数学模型的过程中我们忽略了一些相对次要的因素。关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重要性，模型的阶段适应性。

参考文献

[1] 姜启源 谢金星 叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2008.