关于假设检验的详细总结与典型例题

第一篇：关于假设检验的详细总结与典型例题

关于假设检验的详细总结与典型例题

假设检验是数一考生普遍反映非常头疼的一块内容，因为它入门较难，其思想在初次复习时理解起来较难。虽然这一部分在历年真题中考查次数很少，但为了做到万无一失，我们也应该准备充分，何况相对来说这一部分内容的难度和变化并不大。为了让各位考生对假设检验有一个全面深入的理解和掌握，我们给出如下总结与例题。

对于假设检验，首先要理解其基本原理，即小概率原理，假设检验的方法即是从此原理衍生而来；其次，要掌握其步骤，会根据显著性水平，即第一类心理学考研错误，来求拒绝域与接收域，其求法要根据不同的条件来套用公式，能根据理解推导公式是上策，如果时间不够，可以选择记忆各种不同条件下的求拒绝域的公式。最后，相比之下两个正态总体参数的假设检验的考查可能性要低于一个正态总体参数的假设检验。

假设检验的基本概念

数理统计的基本任务是根据样本推断总体，对总体的分布律或者分布参数作某种假设，然后根据抽得的样本，运用统计分析的方法来检验这一假设是否正确，从而作出接受假设或者拒绝假设的决定，这就是假设检验.根据实际问题提出的假设H0称为原假设，其对立假设H1称为备择假设.假设检验中推理的依据是小概率原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生.假设检验中的小概率称为显著性水平，通常取0.05或者0.01.假设检验中使用的推理方法是：为了检验原假设H0是否成立，我医学考研论坛们先假定原假设H0成立.如果抽样的结果导致小概率事件在一次试验中发生了，根据小概率原理，有理由怀疑H0的正确性，从而拒绝H0，否则接受H0.假设检验的步骤

⑴根据实际问题提出原假设H0和备择假设H1； ⑵确定检验统计量T；

⑶根据给定的显著水平，查概率分布表，确定拒绝域W；

⑷利用样本值计算统计量T的值t，若tW，则拒绝H0，否则接受H0.假设检验中可能犯的两类错误

由于小概率事件还是可能发生的，根据小概率作出的判断可能是错误的.事件H0真而拒绝H0，称为第一类（弃真）错误，犯第一类错误的概率为PtWH0，因此显著性水平是用来控制犯第一类错误的概率的.H0假而接受H0，称为第二类（纳伪）错误，犯第二类错误的概率为PtWH1，记作. 典型例题

1.X1,,X36是取自正态总体N(,0.04)的简单随机样本，检验假设H0:0.5，备择假设

05.检验的显著水平0.05，取否医学考研论坛定域为Xc，则c

，若16H1:10.5，则犯第二类错误的概率

.，0.04)，36c0.5c0.50.05PXcH01()，()0.95(1.645)，0.1/30.1/3c0.51.645，得c0.5548.0.1/30.04⑵H1成立时，X~N(0.65,)

360.55480.65PXcH1()(2.856).0.1/3解

⑴H0成立时，X~N(0.5,1(2.856)10.99790.0021

0已知，2.设总体X~N(,0)，检验假设H0:0，备择假设H1:0，取否定域为Xc，则对固定的样本容量n，犯第一类错误的概率随c的增大而

.（减小）

解

H0成立时，X~N(0,2202n)，犯第一类（弃真）错误的概率PXcH01(故犯第一类错误的概率随c的增大而减小.一个正态总体N(,)参数的假设检验 ⑴ 已知，关于的检海文考研验（u检验）检验假设H0:0

统计量U22c00/n)，X0/n

拒绝域Uu 检验假设H0:0

统计量UX0/nX0

拒绝域Uu

检验假设H0:0

统计量U2/n

拒绝域Uu

⑵未知，关于的检验（t检验）检验假设H0:0

统计量tX0S/nX0S/nX0S/n

拒绝域tt(n1)

2检验假设H0:0

统计量t

拒绝域tt(n1)

检验假设H0:0

统计量t2

2拒绝域tt(n1)

⑶未知，关于的检验（检验）检验假设H0:220 统计量2(n1)S202(n1)S2202

拒绝域2(n1)或者22(n1)

212检验假设H0:220 统计量2

拒绝域1(n1)

22检验假设H0:

统计量▲拒绝域均采用上侧分位数.2202(n1)S202

拒绝域(n1)

22两个正态总体N(1,)、N(2,)参数的假设检验.⑴两个正态总体N(1,)、N(2,)均值的假设检验（t检验）检验假设H0:1

2统计量t2222XY

拒绝域tt(n1n22)

112Swn1n2XY

拒绝域tt(n1n22)

11Swn1n23 检验假设H0:12

统计量t 检验假设H0:12

统计量tXY

拒绝域tt(n1n22)

11Swn1n22⑵两个正态总体N(1,1)、N(2,2)方差的假设检验（F检验）检验假设H0:2122 2S12 统计量F2

拒绝域FF(n11,n21)或者FF(n11,n21)

1S222S12 统计量F2

拒绝域FF1(n11,n21)

S2检验假设H0:2122

S12检验假设H0:

统计量F2

拒绝域FF(n11,n21)

S22122▲拒绝域均采用上侧分位数.典型例题

1.设X1,X2,,Xn是来自正态总海文考研体N(,)的简单随机样本,其中参数,未知，记n1n2XXi,Q(XiX)2,则假设H0:0的t检验使用统计量t

.ni1i122解

统计量tXnX2S/nQ/(n1)n(n1)X.Q

2.某酒厂用自动装瓶机装酒，每瓶规定重500克，标准差不超过10克，每天定时检查，某天抽取9瓶，测得平均重X＝499克，标准差S＝16.03克.假设瓶装酒的重量X服从正态分布.问这台机器是否工作正常?(0.05).解

先检验H0：500，统计量tX500，拒绝域tt0.025(8)2.3060，S/ntX5004995000.187，接受H0； 16.03/3S/n4(n1)S222：10，统计量再检验H0，拒绝域0.05(8)15.507，210222(n1)S2816.03222H:10，拒绝，20.55702210102故该机器工作无系统误差，但不稳定

3.设X1,X2,,X7是来自正态总体N(1,1)的简单随机样本，设Y1,Y2,,Y8是来自正态总体2N(2,2)的简单随机样本，且两个样本相互独立，它们的样本均值分别为X13.8,Y17.8，样本标

2准差S13.9,S24.7，问在显著性水平0.05下，是否可以认为12？

S12解

先检验H0：，检验统计量F2，拒绝域FF0.025(6,7)5.12或者

S22122S123.92110.6885，接受H0； FF0.975(6,7)，F22S24.7F0.025(7,6)5.70：12，统计量t再检验H0XY，拒绝域tt0.05(13)1.7709，11Swn1n2tXY，即可以认为12.1.7773，接受H011Swn1n2▲检验两个正态总体均值相等时，应先检验它们的方差相等.

第二篇：典型例题

典型例题

一、填空题

1.教育是社会主义现代化建设的基础，国家保障教育事业优先发展。全社会应当关心和支持教育事业的发展。全社会应当尊重教师。

2.新课程的三维目标是 知识与技能目标、过程与方法目标和情感态度与价值观目标。

二、单项选择题（下列所给的选项中，只有一个最符合题目要求）

1.《基础教育课程改革纲要（试行）》中指出，国家课程标准（A）

A.是教学和命题的依据B.包括教学重点和难点

C.是大多数学生都能达到的最高要求D.是根据专家的意见编制的2.人们常说：“教学有法，而无定法”。这反映了教师劳动具有（B）

A.示范性B.创造性C.间接性D.主体性

三、判断题（请判断下列各题的观点是否正确，正确的打“√”，错误的打“”。

1.学生评教是促进教师发展过程中惟一客观的评价方式。（×）

2.新课程目标取向及精神内核就是以学生的发展为本。（√）

四、简单题

1.中小学教师的职业道德规范主要涉及哪些方面？

答：爱国守法、爱岗敬业、关爱学生、教书育人、为人师表、终身学习。

2.《中华人民共和国未成年人保护法》规定学校应尊重未成年学生的哪些权利？

答：学校应当尊重未成年学生受教育的权利，关心、爱护学生，对品行有缺点、学习有困难的学生，应当耐心教育、帮助，不得歧视，不得违反法律和国家规定开除未成年学生。

五、案例分析题

学校规定初三学生必须在6点钟到校参加早自修，作为任课教师第二天与学生一起参与早自修的我在班级中也强调了一下，可是第二天仍有许多学生迟到，我看到这一情况，下令让迟到的学生在走廊罚站。到了第三天，再也没有一个学生迟到。还有一次，初三（2）班的一位男同学老是不肯做一周一次的时政作业，每次问他为什么，总都有原因，上次他说忘了，这次又说要点评的报纸没买，下次他会说作业本没带。这样几个星期下来，我光火了，不仅让他在办公室反思了一刻钟，写下保证书，还对他说，“下次再不交作业，甭来上课”，他这才有所收敛。

请从有关师德要求分析“我”的做法，并提出合理解决此类问题的建议。

答：本案主要反映了案例中的“我”以罚代教的教育方法，这明显违反了新时期我国教师职业道德内容中关于“对待学生”的相应规定，违反了不准以任何借口体罚或变相体罚学生，不准因学生违反纪律而加罚与违反纪律无关的任务等。

这位教师的做法在我们的身边也有可能出现。面对那些顽皮学生，有的教师可能无计可施。只得用“罚站”、“威胁”来对付他们，取得的效果看似有效，其实学生并非真正地接受，这不是真正的教育。虽然教师的出发点是好的，但这位教师的处理方法与《中小学教师职业道德规范》背道而驰。

教师对学生严格要求，要耐心教导，不讽刺、挖苦、歧视学生，不体罚或变相体罚学生，保护学生的合法权益。教师应该采用“说理”教育来对待那些顽皮学生，教师以朋友的身份心平气和地找那些学生谈心，尊重学生的人格，平等、公正地对待学生，多付出一点爱，多花时间在他们身上，当他们感受到老师在关心他们时，相信他们会改正缺点，努力做的更好。

第三篇：典型例题

【典型例题】She had a great ___ for the town where she grew up.A.affection

B.affectation

C.infection

D.affectionate 【试题详解】答案 A 她热爱她长大的那座小镇 have an affection for 对„„有感情

affectation n.矫揉造作 infection n.传染，感染 affectionate adj.深情的

【常用短语】have an affection for sbsth 【词汇补充】affect v.喜爱 affectionate adj.深爱的

【典型例题】How to talk to Martin is rather an____ question.A.advanced

B.absolute

C.accurate

D.academic 【试题详解】答案 D 如何让与火星人交谈是一个学术性很强的问题。academic question 学术问题;advanced 高级的accurate 准确的 absolute 绝对的

【词汇补充】academicals 博士服，硕士服 academic year 学年 academician 院士 academy 私立中学 academicism 墨守成规

【典型例题】When you __ big , believe big , and pray big , big things happen!A.affirm

B.know C.agree

D.ensure 【试题详解】答案是A。句意：当你确认伟大，相信你伟大，起到伟大，伟大的事情就会发生！

affirm肯定，断言；know知道；agree同意；ensure保证，确保。

【典型考题】

The _____ of the past week had left her exhausted.A anxieties

B concerns

C expectations

D anticipation 解析：由同意词辨析可知此题答案选 A 意为过去一个星期的担忧使她筋疲力尽。

【典型考题】: Now,let us come to item No.5 on the __.A.plan

B.program

C.agenda

D.project 解析：答案是C。句意：现在让我们讨论议事日程上的第五项。

agenda待议诸事一览表；program（行动）计划；project工程，项目；plan计划。

【典型考题】

Age affects the range of a person’s ______ A capacities B capabilities

C capacious D capable 解析：答案选B 此题考查易错词辨析。句意为年龄影响一个人能力的大小。Capacity 表示

容量容积明显不符合题意。后两个答案分别为他们的形容词形式。【典型考题】

He’s had no end of bad luck but he just seems to ______ every time.A.bounce back

B.recover

C.reverse

D.come to 解析：答案选A 句意：他总是遇到不如意的事，但是好像每次都能恢复过来。bounce back 指失意后恢复过来。【典型考题】

Everyone is encouraged to ____ food and clothing for the refugees.A attribute

B contribute

C stimulate

D distribute 解析：答案为B ,此题考查对形近词的区分。句意：鼓励每个人为难民捐助食品和衣物。contribute 表示“捐赠，出钱（力）”，因为本题是鼓励每个人，所以不可能是“分发”食品和衣物，只会是“捐赠”

【Derivative】

contributor n.捐助者，投稿者 ； contribution n.贡献，捐献物

contributive adj.有助的，促成的 ；contributory adj.促成的，捐助性的。【典型考题】

Everyone is encouraged to ____ food and clothing for the refugees.A attribute

B contribute

C stimulate

D distribute 解析：答案为B ,此题考查对形近词的区分。句意：鼓励每个人为难民捐助食品和衣物。contribute 表示“捐赠，出钱（力）”，因为本题是鼓励每个人，所以不可能是“分发”食品和衣物，只会是“捐赠”

Counsel// noun, verb  Noun 1.(formal)advice, especially given by older people or experts;a peiece of advice(尤指老年人或专家的)劝告，忠告，建议：Listen to the counsel of your elders.2 a lawyer or group of lawyers representing sb in a court of law 律师：the counsel for the defence/prosecution. Verb 1 to listen to and give support or professional advice to sb who needs help.为某人提供帮助：Therapists were brought in to counsel the bereaved.2 to advise sb to do sth 建议，劝告（做某事）Most experts counsel caution in such cases.【Common phrases】

a counsel of despair 知难而退的建议

； a counsel of perfection 听上去完美却难以实行的建议

； keep your own counsel 保留自己的意见。【Derivative】

counseling noun 咨询，辅导

； counselor noun 顾问，辅导顾问 【易错词】

Council;noun a group of people who are elected to govern an area such as a city or county.【典型考题】

The court then heard_____ for the dead woman’s father.A council

B councilor

C counsel

D counselor 解析：答案选C，句意为：法庭接着听取了已死女人的父亲所请律师的陈述。A项意为委员会 此题考查形近词。[典型考题]

That is Taoist pragmatistic ___and positivist___.a.crisp b.crisis c.crises d.criminate [试题分析] 答案为b.[详细解答] 这主要表现为道教的“实用主义危机”和“实证主义危机.a.crisp是钞票；c.crises是危险;d.criminate是指控，谴责的意思，均与原文不符。[典型考题]

I want an appointment for a___time and place.a.definitive b.definitely c.definite d.distinct [试题分析] 答案为c [详细解答] 句意：我要有确切的时间和地点的约会。表示“明确的，不可能引起误解的”；显然约会的时间和地点是不能含糊的，应该明确无误的。[典型考题] Believe in each child is own----potentiality.a.developmental b.experimental c.formative d.development [试题分析] 答案为a.[详细解答] 句意为 相信每一个儿童都有发展的潜能。b.experimental多用于表达实验(性)的, 试验(性)的；而c.formative是(影响)形成〔构成, 发展〕的，但developmental更贴近句意；d.development为名词，词性不符。

[典型考题]。

He could not give a ____explanation of his intention.A.distinct B.Obvious C.clear D.plain [试题分析] 答案为 A.[试题分析] 本题考查近义词的辨析问题。他不能清楚明白地解释他的意图。Distinct指人表达思想，概念清楚明白；指容易感受到或看到。本题的宾语是“解释他的意图”。Obvious指事物一目了然，含无可置疑之意。Clear范围较广，指事物清楚明白；plain注重作品等显而易见的，浅显易懂的。

[典型考题]：

I was most ____to hear the sad news for your father death.a.distressed b.distressing c.distressful d.distress [试题分析] 分析：答案为a.[试题详解] distressed我听到你父亲去世的消息，十分难过。Distressed使某人感动痛苦，难过。多用于修饰人。而b.distressing以形容事情令人痛苦为主；c.distressful与b.distressing 的用法相

同，多用于修饰事件；d.distress是动词，此处应为形容词，词性不符。

[典型考题] In most universities, males and females live in the same____.a.room b.flat c.chamber d.dorm [试题分析]

分析：答案为d.[试题详解] 在大部分高校，男生和女生住在相同的宿舍里。room指房间，显然与原句不合逻辑；flat强调一套房间，公寓套房；c.chamber是指会议厅，会所。所以只有d.dorm最符合原文。而且学生公寓一般均用dorm表示。典型考题That old professor is a walking____.A.book

B.encyclopedia C.novel

D.fiction 试题分析本题为词义辨析题。考查名词的辨义。

详细解答典型考题答案B。句意：那位老教授是一个活百科。book n.书本，书籍；encyclopedia n.百科全书；novel n.长篇故事，小说；fiction n.虚构的文学作品，小说。典型考题 His____ are limited, and scarcely fit him for his post.A.endorsement

B.engagement C.endowment

D.enlargement 试题分析本题是形近词辨析题。详细解答典型考题答案C。句意：他的天资很有限，不太适合担任这项职务。endorsement n.1.(公开的)赞同，支持，认可,2.(通常为名人在广告中为某一产品的)宣传，吹嘘；engagement n.预约，约会，订婚：enlargement n.扩大物（尤指照片），扩大，增大;endowment n.天资，天赋。典型考题 Is it____ to promote cigarettes through advertising? A.ethereal

B.ethnic C.ether

D.ethical 试题分析本题是形近词辨析题。

详细解答典型考题答案D。句意：通过广告推销香烟合乎道德吗？ethereal adj.轻飘的，灵气的；ethnic adj.种族的，民族的；ether n.乙醚，太空；ethical adj.合乎道德的典型考题Students of social problems investigate the home, social and moral_____(s)of different classes of people.A.surroundings

B.conditions C.environment

C.situation 试题分析本题为词义辨析题。考查名词的辨义。详细解答典型考题答案C。句意：研究社会问题的学者调查各阶层人民的家庭，社会和精神方面的生活环境。surrounding 多指 地理环境；condition 意为“情况，条件”；situation 指“情况，状况”；environment指“环境”。

典型考题The teacher____ the performance of each student.A.evacuated

B.evaluated

C.equated

D.evoked 试题分析本题是词义辨析题。详细解答典型考题答案B。句意：老师对每个学生的成绩进行评估。evacuate vt.撤退，疏散；equate vt.同等看待，使相等,与equal是同根；evoke vt.唤起，激起；evaluate vt.对某物进行评价，评估。

[典型考题]They complained about the ＿＿noise coming from the upstairs flat.A、overladen B、immoderate C、inordinate D、excessive ［试题分析］近义词辨析 答案为D ［详细解答］句意为他们抱怨楼上发出的噪音太大。A意为装货过多的;(房间)装饰[摆设]过多的;(工作)负担过多的。B意为无节制的,极端的C意为紊乱的;放肆的，无限制的, 无节制的D excessive noise 表示噪音的音量很大

［词形变换］exceed v.超过 excess n.超过，超越，过量，过度 excessively adv.极端地，过分地

［典型考题］America has suffered the ＿＿crisis.A、economic

B、economical C、financial

D、monetary ［试题分析］近义词辨析 答案为C ［详细解答］固定搭配 financial crisis 金融危机。A意为经济的, 经济学的

合算的, 有经济效益的B意为节约的, 节俭的, 经济的 D意为货币的;通货的;钱的;金融的;财政的

［词形变换］finances n、财力、财源、基金；finance n、财政、金融；financer n、财政家、金融家；financially adv、在财政上、在经济上

【典型例题】It's the music to ____ the dramatic effect.A.enhance

B.heighten

C.intensify

D.aggravate 【试题详解】答案 B

那是用于提高戏剧效果的配乐。

区别 enhanceheightenintensifyaggravate 这些动词均有“加强，增强”之意： enhance：侧重指增加价值，魅力或声望等使人或物具有超科寻常的吸引力。

heighten：通常指使某物的某种性质变得不同一般的显著或突出。intensify：指深化或强化某事或某物，尤指其特别之处。aggravate：指加剧令人不快或困难的形势。

【典型例题】She had no ___ about making her opinions known.A.fear

B.afraid

C.interest

D.inhibition 【试题详解】答案 D 她敢于公开地谈论自己的想法。

fear “害怕” 常用搭配“fear of for sth”

afraid “恐惧的” 常用搭配 “be afraid of sth” interest “兴趣”

常用搭配 “interest inon sth”

【词形变换】inhibit v.阻止；使拘束

inhibited adj.拘谨的 【典型考题】 He has ___his mother’s patience.A.inhabited

B.inhibited

C.inhered

D.inherited 【试题详解】答案 D 这种耐心是母亲遗传给他的。

inhabit v.居住

inhibit v.阻止；抑制

inhere v.存在于„„中；归属于 inherit v.继承

【常用短语】 inherit(sth)from sb 【典型例题】Perfume____ with the skin’s natural chemicals.A.communicate

B.influence

C.affect

D.interact 【试题详解】答案 D 香水和皮肤的天然化学物质相互作用。communicate with sb “与某人沟通”

influence 仅指单方面的影响，对„„起作用 affect 同上“influence”

【典型例题】There was a serious incident ___ a group of youths.A.including

B.revolving

C.involving

D.evolving 【试题详解】答案C 有一起严重的事件涉及一群年轻人。include v.包含，包括 revolve v.旋转，转动

evolve v.发展，演变

【常用短语】involve(sb)in sthdoing sth

beget involed in sth beget involed with sb 【词形变换】involved adj.有关联的；复杂的；关系密切的1)【典型考题】

The cherk of the House prepares the ___ of the House.A

journal B diary C

record 答案：A 解析：下议院的书记整理了下议院的议事录。Journal 在这里的是议事程的意思，diary 是指日记，不仅记录所发生之事，还强调包括个人情感与想法。

【典型考题】

As he reached ___ Bandit became more difficult to live with.A mature B ripe

C maturity

D matured 答案：D

解析：然而到了成年之后，邦就变得特别难相处。Reach

maturity 表示长大成熟，为固定搭配，ripe通常表示作物和时机成熟。

【典型考题】He likes to show off his ___ physique.A.male

B.masculine

C.manly

D.man 答案：B

解析：句意：他喜欢显示他强健的男子本色。Masculine指在心理上或身体上具有男子特征，本句中形容词所修饰的名词是physique(体魄)，所以，masculine 符合题意。

【典型考题】She has a deep ____of strangers, so she never lkes to talk to them.A.mistrust

B.distrust

C.trust

D.untrustworth 答案：A

解析:她对陌生人猜忌及深，她也从不喜欢跟陌生人搭讪。根据句意。C选项不符合题意，D为形容词，所填选项必须为名词，予以排除。distrust 和 mistrust 都有猜忌的意思，但差别很小。distrust 更为通用，语气稍强，确信某人不诚实或不可信常用distrust.表示并不信任则大概用mistrust.这里只是表示她对陌生人不信任所以选A.【典型考题】Have you listened to ___ this morning ? A newsagent B newspaper C newsdom D newscast 答案：D 解析：newsagent 意为报刊经销人，newspaper 不符合题意，newsdom 代表报界，固选D 代表新闻。

[典型考题] He ____ through themist，trying to find the right path.A.pecked B.peered C.peeped D.peeled [试题分析] 本题考查形近词的辨析。pecked 啄；peered 仔细看；peeped 偷窥；peeled 削皮；可知正确答案为B

[典型考题] I ___his commment as a challenge.A． feeled B.observed C.perceived D.comprehend [试题分析] 本题考查近义词辨析。perceive 的意思是interpret sth in a certain way，与as 搭配。选C 【典型考题】He was born in a ___ family.A single parent B single-parent C single-parents D single-parental 答案：B 解析：single-parent 为固定搭配意为“单亲家庭的”。他出身在一个单亲家庭。所填词应属形容词性质，B符合题意。

parental 本身就是形容词，所以D选项不符合题意，予以排除。

[典型考题] Mr.Smith had an unusual ___, he was first an office clerk, then a sailor, and ended up as a school teacher.A.profession B.occupation C.position D.carrer

[试题分析] 本题考查近义词辨析。A,B指所从事的职业，C 是指所在职位，D指职业生涯。正确答案为D。

[典型试题]

The next edition of the book is ___ for publication in March.A.projected B.propelled C.professed D.protected [试题分析] 本题考查形近词辨析。project是计划、规划的意思。propel是推动、迫使的意思。C 项 公开表明的。protect 保护。

[典型考题]

Few people will admit being racially ___.A.pride B.proud C.prejudiced D.pessimistic [试题分析] 本题考查形近词辨析。A、B项的意思是骄傲的，自豪的；C项是有偏见的、有歧视的；D项的意思是悲观的。根据句意，很少有人愿意承认他们有种族歧视，正确答案为C。

第四篇：三角函数典型例题剖析与规律总结

三角函数典型例题剖析与规律总结

一：函数的定义域问题 1.求函数y分析：要求ysinx122sinx1的定义域。

2sin1的定义域，只需求满足2sinx10的x集合，即只需求出满足的x值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上2kkZ即可。

12解：由题意知需2sinx10，也即需sinx①在一周期32,2上符合①的角为

77,由此可得到函数的定义域为kZ ,2k,2k6666小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如ylogafxa0,a1的函数，则其定义域由fx确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。二．函数值域及最大值，最小值（1）求函数的值域 例。求下列函数的值域

（1）y32sin2x

（2）ycosx22sinx2

分析：利用cosx1与sinx1进行求解。解：（1）1sin2x11y5y1,5（2）

ycos2x2sinx2sin2x2sinx1sinx11sinx1,y4,0.2评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。（2）函数的最大值与最小值。例。求下列函数的最大值与最小值（1）y11sinx

（2）y2sin2xx 26662（3）y2cosx5sinx4（4）y3cos2x4cosx12 x,33分析：（1）（2）可利用sinx,cosx的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数f(x)ax2bxc在闭区间m,n上求最值得方法。解(1)1621sinx0 1sinx1当sinx1时，ymax;当sinx1时ymin2221sinx1：(2)1cos(2x)1,当cos2x1时，ymax5；当cos(2x)1时，ymin1.333(3)

59y2cosx5sinx42sinx5sinx22sinx,sinx1,1，48222当sinx1，即x22k(kZ）时，y有最小值9；

当sinx1，即x(4)y3cosx23222k(kZ），y有最大值1。

x4cosx13(cosx154当cosx2312)212,x，cosx333111，从而cosx,即222时，、ymax,即x3时，ymin14小结：求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx的有界性；（2）tanx的值可取一切实数；（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。根据上面的原则，常常把给出的函数变成以下几种形式；

（1）sinx一次形式（2）sinxf(y)或cosxf(y)的形式，通过f(y)1来确定或其他变形来确定。三：函数的周期性

例

求下列函数的周期1f(x)cos2x2f(x)2sin(x26)

分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。

（1）把2x看成是一个新的变量u，那么cosu的最小正周期是2，就是说，当u增加到u2且必须增加到u2时，函数cosu的值重复出现，而u22x22(x),所以当自变量x增加到x且必须增加到x时，函数值重复出现，因此，ysin2x的周期是。（2）2sin(x2x2)2sin即662xx12sinx42sin()f(x)2sin()的周期是4。

626262小结：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x的系数有关。一般地，函数yAsin(x)或yAcos(x)（其中A,,为常数，A0,0,xR)的周期T2。

四．函数的奇偶性 例 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)xsin(x)(2)f(x)1sinxcos1sinx2x

分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。

解：（1）函数的定义域R关于原点对称。f(x)xsin(x)xsinx,f(x)(x)sin(x)xsinxf(x)f(x)是偶函数。

3,kZ.函数的定义xxR，且x2k2（2函数应满足1sinx0函数的定义于为域不关于原点对称。 函数既不是奇函数又不是偶函数。

评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证f(x)是否等于f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。五：函数的单调性 例：下列函数，在A.,上是增函数的是（）2ycosx

Cysin2x

Dycos2x ysinx

B分析：2x,2x2.可根据sinx与cosx在各象限的单调性作出判断。

x，解：ysinx与ycosx在，上都是减函数，排除，A,B2x2,22知ysin2x在2x,2内不具有单调性，又可排除C，应选D。

小结：求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中A0,0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：(1)把“x(0)"视为一个整体；（2）A0(A0)时，所列不等式的方向式的方向相同（反）。与ysinx(xR),ycosx(xR)的单调区间对应的不等

练习：1.函数yA.RB.1sinx的定义域为（）

C.xRxk,kZ6)，1,00,1D.xx0

2.函数ycos(xx0,的值域是()

23,1223A.31,22B13,22CD1 2,13.函数ysin(x4)(0)的周期为，则=------------.4.下列函数中是偶函数的是（）

A.ysin2xBysinxCysinxDysinx1

5.下列函数中，奇函数的个数为（）

（1）yx2sinx（2）ysinx,x0,2（3）ysinx,x,（4）yxcosx

A.1.B2C3D4

6.在区间0,1sinx上，下列函数为增函数的是（）

2By1cosxCysinxDycosx A.y7.函数ysin2x的单调减区间是（）

AC32k,2k223Bk,k44Dk4,k422k,32k

kZ8.如果x4，则函数4ycos34xsin的最小值是——————

9.函数ytanx(x且x2)的值域为（）

A1,1B,11,C,1D1, 答案：B B 3 C C D B 122 B

例1 已知，且，则可以表示（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

分析 由题意求，不仅要看选择支给出的四个角中哪一个角在区间内，还要看哪一个角的正弦值为

依据诱导公式，有，由此排除了B和D．

又因此本题应选C．，故，点评 反三角函数的记号既然表示一个特定区间上的角，就可以此为基础表示其他指定范围内的角．

例2

（1）若，则等于（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

（2）已知，那么的值是（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

分析（1）方法1

因为

（注意）.（注意由有）.于是原式，故选.方法 2 利用，，又，，故选（A）.（2）本题是的条件下，求两角和的值，只要求出这两个角和的正切值，并确定其取值范围即可．

设，由，有，，故，并且，.由此可知，故选.点评 本题是利用反三角函数的概念，通过设辅助角，把反三角函数的运算转化为三角函数的问题来解决，这是常用的处理方法，同时，揭示了反三角函数和三角函数的内在联系．

例3 的值=

．

分析 本题实质上是求角的大小，可以先求它的某种三角函数值，再估计其取值范围而确定．

设，则，且

又设，则，且，故．

∴

又由，可得

∴，即．

例4 函数的定义域为

，值域为

．

分析 所求函数定义域应该由下列条件确定：

解得为，故所求定义域为

．

又由，则，∴，即所求值域为

点评 求值域时既要认识给定函数是复合函数，又要注意定义域的制约作用．

例5 函数的单调递增区间是

．

分析 由

由于函数，得函数的定义域为

由函数

和

复合而成，而函数在其定义域内是减函数，故只要求出函数的单调递减区间，为

因此，已知函数的递增敬意是

点评 这里不仅要正确运用复合函数单调性的规律，而且要注意函数的单调区间定是其定义域的子区间．

例6 满足的的取值范围是

；

满足的的取值范围是

．

分析 此类题既要用到函数的单调性，还要注意相应式有意义对的限制条件．

例7

若是（）．

（A），则在上满足的的取值范围

（B）

（C）

（D）

分析 这是一道既要运用三角函数的性质，又要运用以反三角函数表示一定范围内的角的题目．如下图，满足已知条件的的取值范围是，其中

同样 满足：，因此本题应选B．，故，

第五篇：高等数学经典方法与典型例题归纳

2014年山东省普通高等教育专升本考试

2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义

高职高专类

高等数学

经典方法及典型例题归纳

—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程

2013年5月17日星期五

曲天尧

编写

一、求极限的各种方法

1．约去零因子求极限

x41例1：求极限lim

x1x1【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。

(x1)(x1)(x21)lim(x1)(x21)6=4 【解】limx1x1x12．分子分母同除求极限

x3x2例2：求极限lim

x3x31【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。11x3x21x【解】lim limx3x31x313x3【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；

0nn1axan1xa0

(2)limnmm1xbxbb0amm1xnbnmnmn mn3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限lim(x3x2x21)

【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】lim(x3x2x1)lim2(x23x21)(x23x21)x3x122x

lim2x3x122x0

例4：求极限limx01tanx1sinx 3x2 【解】limx01tanx1sinxtanxsinx limx03x3x1tanx1sinx1limlimx0tanxsinx1tanxsinx1lim 33x0x024xx1tanx1sinx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键 ．．．．．．．．．．．4．应用两个重要极限求极限

sinx111和lim(1)xlim(1)nlim(1x)xe，两个重要极限是lim第一个x0xnx0xxn重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

x1x1例5：求极限lim

xx1【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑1，最后凑指数部分。X2x11xx22122x12lim1lim11e【解】lim x1xx1xxx1x121x2a例6：(1)lim12；(2)已知lim8，求a。

xxxxaxx5．用等价无穷小量代换求极限

【说明】

(1)常见等价无穷小有：

1x)~e1, 当x0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1cosx~12bx,1ax1~abx； 2x(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。．．．．．xln(1x)

x01cosxxln(1x)xx【解】 limlim2.x01cosxx012x2sinxx例8：求极限lim

x0tan3x例7：求极限lim

21sinxxsinxxcosx112x【解】lim limlimlim322x0tan3xx0x0x06x3x3x6．用洛必达法则求极限

lncos2xln(1sin2x)例9：求极限lim 2x0x0或型的极限,可通过罗必塔法则来求。02sin2xsin2x2lncos2xln(1sin2x)cos2x1sinx 【解】limlim2x0x0x2x【说明】limsin2x213 2x02xcos2x1sinx【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用洛必达法则求解

例10：设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限limx0x0(xt)f(t)dtx0xf(xt)dt.【解】 由于x0f(xt)dtxtu0xf(u)(du)f(u)du,于是

0xx00xlimx0x0(xt)f(t)dtx0xf(xt)dtxlimx0xf(t)dttf(t)dtxf(u)du0x

=limx00f(t)dtxf(x)xf(x)x=limx0x0x0f(t)dt

0f(u)duxf(x)xf(u)duxf(x)=limx00f(t)dtxxf(x)=x0f(u)duf(0)1.f(0)f(0)27．用对数恒等式求limf(x)g(x)极限

例11：极限lim[1ln(1x)]

x02x2ln[1ln(1x)]x2x【解】 lim[1ln(1x)]=limex0x0=e4

2ln[1ln(1x)]x0xlime2ln(1x)x0xlime2.【注】对于1型未定式limf(x)g(x)的极限，也可用公式

limf(x)g(x)(1)=elim(f(x)1)g(x)

因为

limf(x)g(x)elimg(x)ln(f(x))elimg(x)ln(1f(x)1)elim(f(x)1)g(x)

1例12：求极限lim3x0x2cosxx1.32cosxxln3【解1】 原式limx0ex32cosxln13 limx0x21（sinx）l（n2cox）sln32coxs

lim lim2x0x0x2x11sixn1

lim2x02coxsx6e2cosxxln3【解2】 原式limx0x32cosxln13 lim2x0xln（1

limx0cosx1）cosx113lim x03x26x28．利用Taylor公式求极限

axax2,(a0).例13 求极限 lim2x0xx221xlnalna(x2)，2【解】 aexxlna

axx221xlnalna(x2);

2x

aax2x2ln2a(x2).5 axax2x2ln2a(x2)2limlna.

lim22x0x0xx例14 求极限limx0【解】 limx011(cotx).xx111sinxxcosx(cotx)lim x0xxxxsinxx3x23x(x)x[1(x2)]3!2!lim 3x0x113)x(x3)1lim2!3!3x0x3.(9．数列极限转化成函数极限求解

例15：极限limnsinn1 nn2【说明】这是1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用洛必达法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。

1【解】考虑辅助极限limxsinxxx2limex1x2xsin1xlimey011siny12yye

161所以，limnsinnnn2e

1610．n项和数列极限问题

n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.111例16：极限lim22nn222n2n2n1 【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把f(x)看成［0,1］定积分。6 11limfnnn2fn1nff(x)dx 0n1111【解】原式＝lim222nn12n111nnn 10121 dxln22211x 1111例17：极限lim2nn22n2nn1【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成lim因而用两边夹法则求解；

11fnnn2fnn的形式，fn

(2)两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】lim1112nn22n2nn1 因为 nnn2n1n121n2nn1221nn2nn12

又

limnnn2limn1

＝１ 111所以 lim2nn22n2nn111．单调有界数列的极限问题

例18：设数列xn满足0x1,xn1sinxn(n1,2,)（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；

n1xn1xn2（Ⅱ）计算lim.nxn

【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.7 【详解】

（Ⅰ）因为0x1，则0x2sinx11.可推得 0xn1sinxn1,n1,2,，则数列xn有界.于是 xn1sinxnsinxx）（因当x0时，则有xn1xn，可见数列xn单1，xnxnn调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limxn存在.设limxnl，在xn1sinxn两边令n，得 lsinl，解得l0，即limxn0.nn11x（Ⅱ）因 limn1nxn122xnsinxnxn2，由（Ⅰ）知该极限为1型，limnxn11sinx12xxsinxx21xlimsinxelimx0xx01limex0x3e

(使用了洛必达法则)

16x故 limn1nxn2xn1sinxnxn2lime6.nxn1

二、常见不定积分的求解方法的讨论

0.引言

不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如

1sinx2xdxdxedx221ksinx（其中0k1）x；；；lnx等。dx这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展。同时，同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以，掌握不定积分的解法比较困难，下面将不定积分的各种求解方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。

1.不定积分的概念

定义：在某区间I上的函数的全体原函数记为

称它是函数

f(x)，若存在原函数，则称f(x)为可积函数，并将f(x)f(x)dx，为积分符号，ff(x)在区间I内的不定积分，其中(x)称为被积函数，x称为积分变量。

若F(x)为f(x)的原函数，则：

f(x)dx=F(x)+C(C为积分常数)。

在这里要特别注意，不定积分是某一函数的全体原函数，而不是一个单一的函数，它的几何意义是一簇平行曲线，也就是说：

d(f(x)dx)和 dxf(x)dx

是不相等的，前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。性质：

1.微分运算与积分运算时互逆的。

注：积分和微分连在一起运算时：

d——————>完全抵消。

d ——————>抵消后差一常数。

[f(x)g(x)]dx=f(x)dx±g(x)dx。2.两函数代数和的不定积分，等于它们各自积分的代数和，即：3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即：

kf(x)dx=kf(x)dx(k≠0)。

在这里，给出两个重要定理：

(1)导数为0的函数是常函数。

(2)若两函数的导数处处相等，则两函数相差一个常数。以便于更好的解决一些简单的不定积分问题。

上面将不定积分的概念以及性质做了简单的介绍，下面，我们开始讨论不定积分的各种求解方法。

2.直接积分法(公式法)从解题方面来看，利用不定积分的定义来计算不定积分是非常不方便的，利用不定积分的运算性质和基本积分公式从而直接求出不定积分，这种方法就是直接积分法(另称公式法)。

下面先给出基本求导公式：

1()'x(1)(kx)'k

(2)x(3)(5)

11(lnx)'

(4)(arctanx)'1x2 x11(arcsinx)'(x)'(6)logaxlna1x

(7)(9)(11)(ex)'ex

(8)(sinx)'cosx

(cosx)'sinx

(10)(tanx)'sec2x

(cotx)'csc2x。

根据以上基本求导公式，我们不难导出以下基本积分表：

10(1)xdxkdxkxC(k是常数)

(2)x11C(1)

(3)

1dxxlnxC

(4)1x2dxarctanxC

1(5)1x2xdxarcsinxC

(6)

axadxlnaC

x(7)xdxeC

(8)cosxdxsinxC

e2sinxdxcosxC

(10)secxdxtanxC

2cscxdxcotxC。(9)

(11)下面举例子加以说明：

2(3x4x1)dx 例2.1：

求解

原式=

=

23xdx4xdxdx

3x2dx4xdxdx

32xx3()4(C2)(xC3)C

1=

=32x2xxC

注意：这里三个积分常数都是任意的，故可写成一个积分常数。所以对一个不定积分，只要在最后所得的式子中写上一个积分常数即可，以后遇到这种情况不再说明。

例2.2：

求xdx 2x12dx(x21)1dx=dx2解

原式= 2x1x1

=xarctanxC

注：此处有一个技巧的方法，这里先称作“加1减1”法，相当于是将多项式拆分成多个单项式，然后利用基本积分公式计算，下面的例题中还会遇到类似的题型，遇到时具体 11 讲解。

直接积分法只能计算较简单的不定积分，或是稍做变形就可用基本积分表解决的不定积分，对于稍微复杂一点的不定积分便无从下手，所以，下面我们将一一讨论其他方法。

3.第一类换元法(凑微法)利用基本积分公式和积分性质可求得一些函数的原函数，但只是这样远不能解决问题，如

sinxcosxdx

2就无法求出，必须将它进行变形，然后就可以利用基本积分公式求出其积分。

如果不定积分

作变量代换uf(x)dx用直接积分法不易求得，但被积函数可分解为

f(x)g[(x)](x)，(x)，并注意到(x)dxd(x)，则可将关于变量x的积分转化为关于u的积分，于是有

f(x)dxg[(x)](x)dxg(u)du.如果g(u)du可以求出，不定积分f(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类

(x)u，最后一个等号表示回代换元法(凑微分法)。

注：上述公式中，第一个等号表示换元u(x).下面具体举例题加以讨论

10dx.(2x1)例3.1：求110(2x1)dx(2x1)解

原式=2110d(2x1)(2x1)

=2

1101u111duC(2x1)C 2x1u u u2x1

22221111对变量代换比较熟练后，可省去书写中间变量的换元和回代过程。

1d(x).例3.2：求2x8x25解

原式111d(x)d(x)222x43(x4)9()1131x4d()23x4()13

1x4arctanC 33 dx例3.3：求1x211111()解

 21x(1x)(1x)21x1x11d(1x)d(1x)[]

21x21x1x

1[ln1xln1x]C 2

11xlnC 21x3

dx在这里做一个小结，当遇到形如：ax2bxc的不定积分，可分为以下中情况：

ax2bxc的：

①大于0时。可将原式化为(xx1)(xx2)，2a其中，x、x为xbxc0的两个解，则原不定积分为： 113 dx1d(xx1)d(xx2)(xx1)(xx2)(x2x1)[(xx1)(xx2)]

1xx1lnC

(x2x1)xx2

②等于0时。可利用完全平方公式，然后可化成(xk)2d(xk)。然后根据小于0时。形如例4，可先给分母进行配方。然后可根据基本积分公式(4)便可求基本微分公式(2)便可求解。

③解。例3.4： 求secxdx

dxcosxdxdsinx1sin2x 2cosxcosx解

原式

dsinx(1sinx)(1sinx)

1dsinxdsinx[]

2(1sinx)(1sinx)

11sinxlnC 21sinx2

该题也可利用三角函数之间的关系求解：

xsecxtanxsecdx

原式secxtanx

1d(secxtanx)secxtanx

lnsecxtanxC.虽然两种解法的结果不同，但经验证均为secx的原函数，这也就体现了不定积分的2xdx.cos例3.5：求解法以及结果的不唯一性。

解

1cos2x1cosxdx2dx2(dxcos2xdx)2

11dxcos2xd(2x)24xsin2xC 24例3.6：求6secxdx.6解

22xdxsecsec(secx)xdx(1tan2x)d(tanx)

24(12tanxtanx)d(tanx)

2315tanxtanxtanxC

35注：当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。当被积函数为三角函数的偶数次幂时，常用半角公式通过降低幂次的方法来计算；若为奇次，则拆一项去凑微，剩余的偶次用半角公式降幂后再计算。

xdx.100例3.7：求(x1)x11dx解

原式(x1)100 22x11[]dx

99100

(x1)(x1)x121[]dx

99100

(x1)(x1)121[]d(x1)9898100(x1)(x1)(x1)15 1119798(x1)(x1)(x1)99C 974999注：这里也就是类似例2所说的方法，此处是“减1加1”法。

4.第二类换元法

如果不定积分替换f(x)dx用直接积分法或第一类换元法不易求得，但作适当的变量x(t)后，所得到的关于新积分变量t的不定积分

f[(t)](t)dt

可以求得，则可解决设函数f(x)dx的计算问题，这就是所谓的第二类换元(积分)法。

x(t)是单调、可导函数，且(t)0，又设f[(t)](t)具有原F(t)，则

f(x)dxf[(t)](t)dtF(t)CF[(x)]C，其中(x)是x(t)的反函数。

注：由此可见，第二类换元积分法的换元与回代过程与第一类换元积分法的正好相反。例4.1：求不定积分

22axdx(a0).解

令2xasint，则dxacostdt，t(2,2)，所以

22a(1cos2t)dt 2221aa(tsin2t)C(tsintcots)C

222为将变量t还原回原来的积分变量x，由xasint作直角三角形，可知axdxacostacostdtcost22ax，代入上式，得 a

xxa22arcsinC axdxax2a22216

2a t 22ax x 注：对本题，若令xacost，同样可计算。

例4.2：求不定积分

1xa22dx(a0).2xatantdxatt(2,2)，所以 解

令，则sectd，12dxatdtsectdt sec22asectxa lnsecttantC1

22lnxxaC

例4.3：求不定积分

122xadx(a0).解

令xasect，则dxasecttantdt，t(0,2)，所以

1asecttantdxdtsectdt 22atantxa

lnsecttantC1

22lnxC xa

注：以上几例所使用的均为三角代换，三角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下：若果被积函数中含有函数中含有

22ax时，可令xasint，t(2,2)；如果被积22xa，可令xatant，t(2,2)；如果被积函数中含有22xa；可令xasect，t(0,2).dx例4.4：求不定积分xxeex

dtdx解

令te(t0)，则xlnt，所以，t。

dxexex

11tdtdt

211tttarctatnC

xarctaC.en

例4.5：求不定积分

xdx23x2.解

1dx22223x23x2xdx(变形).222t222tdt 令t23x(t0)， x.dx3311112223dt(tdt)xC 原式32t33关于第二类换元法，就举些例子说明，具体要多做大量的习题，这样才能找到该怎么样换元的感觉，才能更好的掌握这种方法。

5.分部积分法

前面所介绍的换元积分法虽然可以解决许多积分的计算问题，但有些积分，如xxedx、xcosxdx等，利用换元法就无法求解.接下来要介绍另一种基本积分法——分部积分法.设函数uu(x)和vv(x)具有连续导数，则d(uv)vduudv移项得到udvd(uv)vdu，所以有

udvuvvdu，或

uvdxuvuvd.上面两个式子称为分部积分公式.利用分部积分公式求不定积分的关键在于如何将所给积分

f(x)dx化成udv的形式，使它更容易计算.所采用的主要方法就是凑微分法，例如，xxxxxxexdxxxdxdxxC(x1)Ceeeeee

利用分部积分法计算不定积分，选择好u,v非常关键，选择不当将会使积分的计算变得更加复杂。下面将通过例题介绍分部积分法的应用。

例5.1：求不定积分解

令

xcosxdx.ux，cosxdxdsinxdv，则

xcosxdxxdsinxxsinxsinxdxxsinxcosxC

有些函数的积分需要连续多次应用分部积分法。

例5.2：求不定积分

x2edx.xx2dvu解

令edx，则 x和

xxxd2xdxeedx.xe2x对后面的不定积分再用分部积分法，xxxxxdxC xdxeeee(运算熟练后，式子中不再指出u和v了)，代入前式即得

2xdx(2x2)C.xexe2x注：若被积函数是幂函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积，可设幂函数为u，而将其余部分凑微分进入微分符号，使得应用分部积分公式后，幂函数的幂次降低一次(幂指相碰幂为u)。

例5.3：求不定积分

xarctan2xdx2.xxdxdn，解

令uarctax2,则

2xarctanxdx

xarctanxxd(arctanx)22211xarctanx(1)dx

2221x21xarctaxn(xarctax)nC

2注：若被积函数是幂指函数与对数函数或反三角函数的乘积,可设对数函数或反三角函数为u，而将幂函数凑微分进入微分号，使得应用分部积分公式后，对数函数或反三角函数消失(幂对角(反三角函数)，对角u).xsinxdx.e例5.4：求不定积分xsinxdxsinxde(取三角函数为u)ex解

exsinxexd(sinx)exsinxexcosxdx

exsinxcosxdex(再取三角函数为u)exsinx(excosxexdcosx)ex(sinxcosx)exsinxdx

x

解得

exesinxdx2(sinxcosx)C

注：若被积函数是指数函数与正(余)弦函数的乘积时，u,dv可随意选取，但在两次分部积分中，必须选用同类型的u，以便经过两次分部积分后产生循环式，从而解出所求积分 20(指正余，随意选).下面将分部积分法关于u,dv的选择总结成一个表，以便于更好学习，如下：

分类 I

II

III 不定积分类型 u和的选择

p(x)sinxdx

nupn(x),sinx

upn(x),cosx p(x)cosxdx

n

xp(x)edx n

upn(x),ex

p(x)lnxdx

nulnx,pn(x)uarcsinx,pn(x)p(x)arcsinxdx

np(x)arccosxdx

nuarccosx,pn(x)

uarctanx,pn(x)p(x)arctannxdx

xesinxdx xecosxdx

usinx,ex或uex,sinx ucosx,ex或uex,cosx

6.结论

上面所介绍的都是常见不定积分的求解方法，根据不同的题的特点采取上述不同的方法，好多题要经过适当变形后才能应用上述方法，有的题经过不同的变形，应用不同的方法，计算结果就会不同。因此，不定积分的计算灵活性很强，必须熟练掌握上述方法，而这就与做大量的练习是密不可分了，题做得多了，自己也就会积累更多的经验，这样解起题来才能得心应手，才能熟练自如的应用，而且，定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的各种问题也能迎刃而解。

曲天尧

2013年5月17日于济南

山东财经大学（燕山校区）