命题与证明5[共5篇]

第一篇：命题与证明5

14.2 命题与证明

一、教学目标

(一)知识目标

1.了解证明以及证明的必要性.

2.能将一些文字命题转化为数学问题，并进行证明.

3.掌握证明的步骤，证明过程中使用规范性语言.

4.能用举反例的方法证明或判断简单的假命题.

(二)能力目标

1.培养学生规范的数学解题能力.

2.培养学生分析问题、解决问题的能力.

(三)情感目标

培养学生具有敢于质疑的意识，同时又有尊重客观事实的科学态度，培养学生勇于探索，创新，解疑的科学精神.

二、教学重点

将文字命题转化为数学问题，并进行证明；证明过程中规范性语言的使用.三、教学难点

将文字命题转化为数学问题，如何正确写出“已知”、“求证”.六、教学过程：

(一)引入

一个同学在画图时发现，三角形的三条边上的高的交点在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形的三条边上的高的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗?

我们曾经计算过三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和，得到这样一个结论：n边形的内角和等于(n-2)×180°.这个结论正确吗?是否有一个多边形的内角和不满足这个规律呢?

(二)新课

由上面的事例说明：通过特殊的事例或实践活动得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，这样的结论需要进一步的证实.那么，怎样来证实呢?那就是证明.

根据题设、定义、公理以及定理等、经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明.

下面，我们通过证明命题“两直线平行，同旁内角互补”来了解什么是证明.例1 证明：两直线平行，同旁内角互补.

分析：首先弄清命题的题设和结论，其次将命题的题设“两条平行直线被第三条直线所截”转化为数学的符号语言“已知：直线a∥b，直线c分别与直线a、b相交于点A、B”，再把结论“同旁内角互补”转化为数学的符号语言“求证：∠1+∠2=180°”，同时要画出图形.

图

1已知：如图1，直线a∥b，直线c分别与直线a、b相交于点A、B.求证：∠1+∠2=180°.

证明：略

由例1可知以下两点.

1.文字命题的证明要求：写出“已知”、“求证”、“证明”，并画出图形.

2.证明的一般过程：由题设(已知条件)出发，经过一步步的逻辑推理，最后推出结论(求证)的正确过程.

注意：证明过程的每一步推理都要有理有据，也就是根据定义、公理和定理.例2 求证：等腰三角形两腰上的中线相等.引导学生画出符合条件的图形，再试写出“已知”、“求证”，并进行证明.分析：首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分析证明

思路，最后写出证明的过程；由题意分析，可以先证明含中线的某两个三角形全等，再证得中线相等.已知：如图2，在△ABC中，AB=AC，点E、F分别是AC、AB的中点.求证：BE=CF.

证明：略

例3 求证：有一条直角边及斜边上的高分别对应相等的两个直角三

角形全等.

分析：首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分

析证明思路，最后写出证明的过程.

图 3

已知：如图3，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AC=

A′C′，CD⊥AB于D，C′D′⊥A′B′于D′，且CD=C′D′.

求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.

分析：(1)Rt△ABC与Rt△A′B′C′中已满足全等的什么条件?(AC=A′C′，∠ACB=∠A′C′B′=90°)

(2)还需补充什么条件两三角形全等?(BC=B′C′，或AB=A′B′，或∠B=∠B′，或∠A=∠A′)

(3)选择哪个条件?(∠A=∠A′)

(4)为什么?(已有条件AC=A′C′，CD=C′D′)

即先证明Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，再证明Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.请小组同学共同完成证明过程.(略)

文字命题证明的一般过程：

首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分析证明思路，最后由题设(已知条件)出发，经过一步步的逻辑推理，写出结论(求证)的正确证明过程.

练习教材第96页练习第1题.

例4 试说明“两个锐角的和等于直角”是假命题.

分析：对假命题的证明，用举反例的方法证明.

举反例：就是要证明或判断一个命题是假命题，只要举出一个符合命题题设而不符合结论的例子即可.

解 设两个锐角都为30°，则两个锐角的和为60°，不等于90°，所以这个命题是假命题.

练习教材第96页练习第2题.

(三)小结

1.证明的一般步骤；

2.用举反例的方法证明或判断简单的假命题.

(四)作业

第二篇：§24.3命题与证明

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§24.3 命题与证明

1.定义、命题与定理

试一试

观察图24.3.1中的图形，找出其中的平行四边形．

图

24.3.1要解决这个问题，首先要弄清楚怎样的图形才能称为平行四边形．你还记得 以前学过的知识吗？

“有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这句话说明了平行四边形 的含义以及区别于其他图形的特征．一般地，能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义（definition）.还可以举出如下的一些定义：

（1）有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形．

（2）有六条边的多边形，叫做六边形．

（3）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．

定义必须是严密的．一般避免使用含糊不清的术语，比如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现．正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的 事物或名词区别开来．

思 考

试判断下列句子是否正确．

（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；

（2）三角形的内角和是180°；

（3）同位角相等；

（4）平行四边形的对角线相等；

（5）菱形的对角线相互垂直．

根据已有的知识可以判断出句子（1）、（2）、（5）是正确的，句子（3）、（4）是错误的．像这样可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题（proposition）．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．

在数学中，许多命题是由题设（或条件）和结论两部分组成的．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．这种命题常可写成“如果„„那么„„”的形式．其中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．例-1-

如，在命题（1）中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论．例1 把命题“在一个三角形中，等角对等边”改写成“如果„„那么„„”的形式，并分别指出命题的题设与结论．

解这个命题可以写成：“如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.” 这里的题设是“在一个三角形中有两个角相等”，结论是“这两个角所对的边也相等”.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理（axiom）．例如，我们通过探索，已经知道下列命题是正确的：

（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线

平行；

（3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分

别对应相等，那么这两个三角形全等；

（4）全等三角形的对应边、对应角分别相等．

我们把这些作为不需要证明的基本事实，即作为公理．

此外，我们把等式、不等式的有关性质以及等量代换（即在等式或不等式中，一个量用它的等量替代）都作为逻辑推理的依据．

有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理（theorem）．

例如，运用公理“两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等”，可以得到定理：“两角及其一角的对边分别对应相等的两个三角形全等．”

定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的根据．

练习

1.找出右图中的锐角，并试着对“锐角”写出一个确切的定义

.2.把下列命题改写成“如果„„那么„„”的形式，并指出它的题设和结论.（1）全等三角形的对应边相等；

（2）平行四边形的地边相等.3.指出下列命题中的真命题和假命题.（1）同位角相等，两直线平行；

（2）多边形的内角和等于180°；

（3）如果两个三角形有三个角分别相等，那么这两个三角形全等.2.证明

思 考

一位同学在钻研数学题时发现：

2＋1＝3，2×3＋1＝7，2×3×5＋1＝31，2×3×5×7＋1＝211．

于是，他根据上面的结果并利用素数表得出结论： 从素数2开始，排在前 面的任意多个素数的乘积加1一定也是素数．他的结论正确吗？

如图24.3.2所示，一个同学在画图时发现： 三角形三条边的垂直平分线的 交点都在三角形的内部．于是他得出结论： 任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部．他的结论正确吗？

图

24.3.2我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形、八边形等的内角和，得到一个结论： n边形的内角和等于（n－2）×180°．这个结果可靠吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？

上面几个例子说明： 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确．因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实．

根据题设、定义以及公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明（proof）．

前面的学习已经告诉我们： 一条直线截两条平行线所得的内错角相等．下面我们运用前面所提到的基本事实，即公理来证明这个结论．

例1 证明： 一条直线截两条平行直线所得的内错角

相等．

已知： 如图24.3.3，直线l1∥l2，直线l3分别和l1、l

2相交于点A、B．

求证： ∠1＝∠3．

证明 因为l1∥l2（已知），所以∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）．

图

24.3.3 又∠2＝∠3（对顶角相等），所以∠1＝∠3（等量代换）．

如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合命题题设而不符合结论的例子就可以了，这称为“举反例”．例如，要证明“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只需举一个反例，例如锐角等于30°，钝角等于120°，但它们的和就不等于180°，从而说明这个命题是假命题．

练习

1.根据下列命题，画出图形并写出“已知”、“求证”（不必证明）；

（1）两条边及其中一边上的中线分别对应相等的两个三角形全等；

（2）在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角

形是直角三角形.2.判断“同位角相等”是真命题还是假命是，并说明理由.在以往的学习中，我们已经知道下面的例题所表述的结论

是正确的，现在通过推理的方式给予证明．

例2 内错角相等，两直线平行．

已知：如图24.3.4，直线l3分别交l1、l2于点A、点B，∠

1＝∠2．

求证： l1∥l2．

图

24.3.4证明 因为∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（对顶角相等），所以∠2＝∠3（等量代换），所以l1∥l2（同位角相等，两直线平行）．

例3 已知：如图24.3.5，AB和CD相交于点O，∠A＝

∠B．

求证： ∠C＝∠D．

证明 因为∠A＝∠B（已知），所以AC∥BD（内错角相等，两直线平行）． 图

24.3.5 所以∠C＝∠D（两直线平行，内错角相等）．

试一试请在下面题目证明中的括号内填入适当的理由．已知：如图24.3.6，AD＝BC，CE∥DF，CE＝DF．求证： ∠E＝∠F．证明： 因为CE∥DF（），所以∠1＝∠2（）.在△AFD和△BEC中，因为 图

24.3.6DF＝CE（），∠1＝∠2（），AD＝BC（），所以△AFD≌△BEC（），所以∠E＝∠F（）．

练习

1.已知：如图，直线AB、CD被EF、GH所截，∠1＝∠2，求证：∠3＝∠4.（第1题）

（第2题）

2.已知：如图，AB=AC, ∠BAO＝∠CAO.求证：OB＝OC.习题24.31.判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，则举一个反例加以说明.（1）两个锐角的和等于直角；

（2）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

（3）有两条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等.2.把下列命题改成“如果„„那么„„”的形式.（1）三角形全等，对应边相等；

（2）菱形的对角线相互垂直；

（3）三个内角都等于60°的三角形是等边三角形.3.证明：平等四边形的两组对边分别相等.（提示：连结AC）

(第3题)（第4题）

4.如图，OA＝OB，PA＝PB，试证明：OP平分∠AOB.5.证明：矩形的两条对角线长相等.(第5题)（第6题）

6.如图，已知：DC＝AB，AD＝BC，点E、F在AC上，AE＝CF.试找出图中所有的全等三角形，并用有关全等三角形的基本事实加以证明.

第三篇：初二数学教案：命题与证明

初二数学教案：命题与证明

第二十四章 证明与命题(一)复习

一、教学目标：

1、了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。

2、会在简单情况下判断一个命题的真假。理解反例的作用，知道利用反例可证明一个命题是错误的。、了解证明的 含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据。

4、会根据一些基本事实证明简单命题。

5、通过实例，体会反证法的含义。了解反证法的基本步骤。

6、初步会综合运用命题、证明以及相关知识解决简单的实际问题。

二、本章知识结构框架图：

三、教 学过程：

(一)知识回顾

1、一 般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

命题分为真命题与假命题。

2、说明一个命题是假命题,通常只用找出一个反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子。

(二)说一说

1.指出下列句子，哪些是命题，哪些不是命题?

(1)有两个角和夹边对应相等的三角形是全等的三角形;

(2)有两条边对应相等的两个三角形全等;

(3)作A的平分线;

(4)若a=b 则 a2= b2

(5)同位角相等 吗?

2.说出一个已学过 定理:

说出一个已学过公理:

3、下列把命题改写成如果，那么的形式。并判断下列命题的真假.(1)不相等的角不可能是对顶角.(2)垂直于同一条直线的两直线平行;

(3)两个无理数的乘积一定是无理数.(三)练一练 1.用反例证明下列命题是假命题：

(1)若x(5-x)=0，则x=0;

(2)等腰三角形一边上的中线就是这条边上的高;

(3)相等的角是内错角;

(4)若x2,则分式 有意义.(四)例题分析

例1求证:全等三角形对应角的平分线相等.证明命题的一般步骤:

(1)根据题意,画出图形;

(2)用符号语言写出已 知和求证

(3)分析证明思路;(4)写出证明过程;

例2已知：如图，△ABC中,C=2B，BAD=DAC.求 证：AB=AC+CD

还有其他方法吗? A A E

B D C B D C

(第三题)(第二题)

例3已知 ：如图D,E分别是BC,AB上的一点,BC、BD的长度之比为3:1, △ECD的面积是△ABC的面积的一半.求证： BE=3AE[来源:学|科|网]

例

4、已知：如图，直线AB，CD，EF在同一平面内，且AB ∥ EF，CD ∥ EF，[来源:学科网]

求证：AB ∥ CD。

证明：假设AB∥CD,那么AB与CD一定相交于一点P

∵AB ∥ EF，CD ∥ EF(已知)

过点P有两条直线AB，CD都与直线EF平行。

这与经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行矛盾。[来源:学科网]

AB ∥ CD不能成立。

AB ∥ CD

反证法的一般步骤：[来源:学科网]

1.反设(否定结论);

2.归谬(利用已知条件和反设，进行推理，得出与已学过的公理、定理、定义或与已知条件矛盾);

3.写出结论(肯定原命题成立)。

练习：

如图,已知:AB=AE，BC=DE，AFCD于F.求证:CF=DF.(五)小结：

(六)作业布置：练习一份

B= E,

第四篇：13.2 命题与证明2

13.2 命题与证明

小结：证明几何命题的表述格式

①按题意画出图形；

②分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； ③在“证明”中写出推理过程。（3）练习：P78课内练习1、2

三、例题教学

P78例题4

例、已知：如图，AC与BD相交于点O，AO=CO，BO=DO。求证： AB∥CD（证明略）

ODC

四、练习巩固

ABP80 练习1、2

五、小结

（1）证明的含义

（2）真命题证明的步骤和格式

（3）思考、探索：假命题的判断如何说理、证明？

第五篇：命题与证明导学案

命题与证明（2）

学习目标：

1、会区分定理，公理和命题。

2、了解证明的含义，体验证明的必要性。

重点：证明的含义和表述格式。

难点：按照规定格式表述证明的过程。

一、独学（课本77~78页）

1、所有推理的原始共同出发点是_________________________________。

2、几何推理中，把那些从长期实践中总结出来的，不需要再作证明的____________叫做公理。（举例证明）

3、有些命题。它们的正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判定其它命题真假的依据，这样的命题叫做_____________，推理的过程叫做_________________。

二、对学（要探究出因与果，会填写理由，会使用“∵”“∴”）

例1：已知直线c与直线a、b相交，且12，求证ab。

=180,OE平分AOB，OF平分BOC，求证例2：已知，如图AOBBOC

OEOF.注：

1、做题时要写“证明”二字，不能写“解”。

2、结对双方要共同探究各步的因果关系，一定要写出每一步的理由（即根据题目使用“∵”“∴”）。

3、对文字说明题，一定要根据题意写出“已知”、“求证”和“画出图形”最后给出证明。

三、群学（组内交流展示）

1、课本78页练习（1）（2）.2、第79~80页练习（1）（2）.四、拓展练习.证明：如图ABCD,DF平分CDB，BE平分ABD，求证：12。

五、小结收获.六、作业：第83页第5题（1）（2）。