极限平均值的证明

第一篇：极限平均值的证明

1、设limanA，证明：limna1a2anA。nn

证明：因为limanA，所以对任意的0，存在N0，当nN时，有 n

|anA|，于是

|a1a2anaa2aNaN1anA||1A| nn

a1a2aNaN1annA| n

a1a2aNNAaan(nN)A||N1| nn

a1a2aNNA1|[|aN1A||anA|] nn|||

|a1a2aNNAnN| nn

因为lim|a1a2aNNA|0（注意分子为常数），所以存在N1N，当nn

aa2aNNAnN1时，有|1|，于是当nN1时，有 n

aa2aNNAnNa1a2anA||1|2，nnn|

有极限的定义有lima1a2anA。nn

n

2、设limanA且an0,A0，证明：lim12nA。n

证明：因为a1a2ana1a2an，n

a1a2ann111aa2an1111，a1a2anna1a2ana1a2an，n所以111a1a2an

111aa2an1111lim，又因为lim，利用第1题结论，有lim1

nnananAAnn

所以limn

111a1a2annA，同理lima1a2anlimanA，由夹逼定理nnn得

lima1a2anA。n

3、设an0，且liman1A，证明：limanA。nnan证明：limanlimnnaaa1a2nlimnA。1a1an1nan1

第二篇：平均值不等式归纳法证明

平均值不等式的证明

湖南省张家界市永定区永定小学覃文周整理

1、设ai(i=1,2,…,n)为正数，求证：（a1+a2+…+an）

等号当且仅当a1=a2=…=an时成立。证明：由1na1a2an…（1）a1a2210得：a1a2a1a2。即当n=2时（1）式成立。2

假设当n=k时（1）式成立,即（a1+a2+…+ak）

1令（a1+a2+…+ak+ak1）=a，于是有： k11ka1a2ak。则当n=k+1时 a=1111[a1+a2+…+ak+ak1+（k-1）a]=[a1+a2+…+ak）+ak1+(k-1）a)] 2k2kk

1(2

2ka1a2ak+12kk1ak1ak1k1)2k1a1a2akak1a aaaaaa

2即 ak1a1a2akak1 k1（a1+a+…+a1k+ak1）ka1a2akak1

即当n=k+1时（1）式成立。

对任意自然数n，（1）式成立。由证明过程不难得知等号成立的充分必要条件是a1=a2=…=an。

第三篇：极限证明

极限证明

1.设f(x)在(,)上无穷次可微，且f(x)(xn)(n)，求证当kn1时，x，limf(k)(x)0． x

2.设f(x)0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2为周期的周期函数；当n为

偶数时f(x)是一线性函数与一以2为周期的周期函数之和． x

f(n)(x)0．{xn}3.设f(x)在(,)上无穷次可微；f(0)f(0)0xlim求证：n1，

n，0xnxn1，使f(n)(xn)0．

sin(f(x))1．求证limf(x)存在． 4.设f(x)在(a,)上连续，且xlimx

5.设a0,x12a,xn12xn,n1,2,证明权限limnxn存在并求极限值。

6.设xn0,n1,2,.证明：若limxn1x,则limxnx.nxnn

7.用肯定语气叙述：limxfx.8.a11,an11,求证：ai有极限存在。an

1tx9.设函数f定义在a,b上，如果对每点xa,b,极限limft存在且有限（当xa或b时，为单侧极限）。证明：函数f在a,b上有界。

10.设limnana,证明：lima12a2nana.n2n

211.叙述数列an发散的定义，并证明数列cosn发散。

12.证明：若

afxdx收敛且limxfx，则0.11an收敛。,n1,2,.求证：22an1an13.a0,b0.a1a,a2b,an22

14.证明公式k11k2nCn，其中C是与n无关的常数，limnn0.15.设fx在[a,)上可微且有界。证明存在一个数列xn[a,),使得limnxn且limnf'xn0.16.设fu具有连续的导函数，且limuf'uA0,Dx,y|x2y2R2,x,y0



R0.I

1证明：limufu;2求IRf'x2y2dxdy;3求limR2

R

17.设fx于[a,)可导，且f'xc0c为常数,证明：

1limxfx;2fx于[a,)必有最小值。

18.设limnana,limnbnb,其中b0,用N语言证明lim

ana.nbbn

Snx19.设函数列Snx的每一项Snx都在x0连续，U是以x0为中心的某个开区间，在Ux0内闭一致收敛于Sx,又limnSnx0,证明：limSx.xx0

20.叙述并证明limxfx存在且有限的充分必要条件柯西收敛原理

a

23.设

f(x)= 0.证明xlimf(x)dx收敛,且f(x)在a,上一致连续，

24.设a1>0，an1＝an＋，证明＝1 nan25.设fx在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，Mh与mh分别表示fx在ah,ah上的上、下确界，又设hn是一趋于0的递减数列，证明：

1）limnMhn与limnmhn都存在；

2)limn0MhlimnMhn,limn0mhlimnmhn;

3)fx在xa处连续的充要条件是llimnMhnimnmhn26设xn满足：|xn1xn||qn||xnxn1|,|qn|r1|,证明xn收敛。

27.设ana,用定义证明:limnana

28.设x10，xn1

31xn,(n1,2,)，证明limxn存在并求出来。

n3xn



29.用“语言”证明lim30.设f(x)

(x2)(x1)

0

x1x3

x2，数列xn由如下递推公式定义：x01，xn1f(xn)，(n0，x1

n

1，2，)，求证：limxn2。

31.设fn(x)cosxcos2xcosnx，求证：

（A）对任意自然数n，方程fn(x)1在[0,/3)内有且仅有一个正根；

（B）设xn[0,1/3)是fn(x)1的根，则limxn/3。

n

32.设函数f(t)在(a,b)连续，若有数列xna,yna(xn,yn(a,b))使

Limf(xn)A(n)及Limf(yn)B(n)，则对A，B之间的任意数，可找到数列xna，使得Limf(zn)

33.设函数f在[a,b]上连续，且

f0,记fvnf(avn),n

exp{

ba，试证明：n

lnf(x)dx}(n)并利用上述等式证明下aba

式

2



2

ln(12rcosxr2)dx2lnr(r1)

f(b)f(a)

K

ba

34.设f‘(0)K,试证明lim

a0b0

35.设f(x)连续，(x)0f(xt)dt，且lim

x0

论'(x)在x0处的连续性。

f(x)，求'(x)，并讨A（常数）

36．给出Riemann积分af(x)dx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛

lim()s。nni0n

x322,xy02

37.定义函数fxxy2.证明fx在0,0处连续但不可微。

0,xy0

n1

38.设f是0,上有界连续函数，并设r1,r2,是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,,使得：limnfxnrnfxn0.39.设函数fx在x0连续，且limx0

f2xfxA,求证：f'0存在且等于A.x

40.无穷数列an,bn满足limnana,limnbnb,证明:limaibn1-iab.nni1

41.设f是0,上具有二阶连续导数的正函数，且f'x0,f''有界，则limtf't0

42.用分析定义证明limt1

x31

 x292

43.证明下列各题

1设an0,1，n1,2,,试证明级数2nann1ann收敛；

n1



2设an为单调递减的正项数列，级数n2000an收敛，试证明limn2001an0;

n

n1



3设fx在x0附近有定义，试证明权限limx0fx存在的充要条件是：对任何趋于0的数列xn,yn都有limnfxnfyn0.144.设an为单调递减数列的正项数列，级数anln1an0收敛，试证明limnnn1

a1。45.设an0，n=1,2，ana0,(n),证 limn

n



46.设f为上实值函数，且f（1）＝1，f（x）＝〔1，＋〕

limf（x）存在且小于1＋。

x＋4，证明x1）2

x2＋f（x）



47.已知数列{an}收敛于a，且

aaaSn，用定义证明{Sn}也收敛于a

48.若fx在0,上可微，lim

n

f(x)

0，求证0,内存在一个单

xx

调数列{n}，使得limn且limf(n)0

n

xesinxcosx,x0

49.设fx2,确定常数a,b,c,使得f''x在,处处存在。

axbxc,x0

第四篇：函数极限证明

函数极限证明

记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,当x>N1,有a/M<=f1(x)注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0<=f2(x)同理，存在Ni，当x>Ni时，0<=fi(x)取N=max{N1,N2...Nm};

那么当x>N,有

(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/M<=^(1/n)

第五篇：极限的证明

极限的证明

利用极限存在准则证明：

(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;

(2)证明数列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

1)用夹逼准则:

x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0

故(Inx/x^2)的极限为0

2)用单调有界数列收敛:

分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

x0>√a时,Xn-X(n-1)=/2<0,单调递减

且Xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=/2.解得A=√a

同理可求x0<√a时,极限亦为√a

综上,数列极限存在,且为√

(一)时函数的极限：

以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

Th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4

例5例6例7