202_江苏高一数学增效减负学案：2：正弦定理(必修1)

第一篇：202_江苏高一数学增效减负学案：2：正弦定理(必修1)

正弦定理

一、设计思想：

定理教学中有一种简陋的处理方式：简单直接的定理呈现、照本宣科的定理证明，然后是大剂量的“复制例题”式的应用练习。本课采用实验探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本应用上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值。从实际问题出发，引入数学课题，最后把所学知识应用于实际问题。

二、教学目标：

让学生从已有的知识经验出发,通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，猜想，比较，推导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识，同时通过三角函数、向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。

三、教学重点与难点：

本节课的重点是正弦定理的探索、证明及其基本应用；难点是正弦定理应用中“已知两边和其中一边的对角解三角形，判断解的个数”，以及逻辑思维能力的培养。

四、教学过程设计：

（一）创设情境:

如图，现在河岸两侧A，B两点间建一座

桥，需要知道A，B间的距离．由于环境因素不能

直接测量A，B间的距离．你有办法间接测量A，B

两点间的距离吗？

引出：解三角形——已知三角形的某些边和

角，求其他的边和角的过程。C A [设计意图：从实际问题出发，引入数学课题。]

师：解三角形，需要用到许多三角形的知识，你对三角形中的边角知识知多少？

生：······，“大角对大边，大边对大角”

师：“a＞b＞c←→ A＞B＞C”，这是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系？

引出课题：“正弦定理

[设计意图：从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。]

（二）猜想、实验：

1、发散思维，提出猜想：从定量的角度考察三角形中的边角关系，猜想可能存在哪些关系？

[学情预设：此处，学生根据已有知识“a＞b＞c←→ A＞B＞C”，可能出现以

下答案情形。如

a/A=b/B=c/C,a/sinA=b/sinB=c/sinC,a/cosA=b/cosB=c/cosC,a/tanA=b/tanB=c/tanC，〃〃〃〃〃〃等等。]

[设计意图：培养学生的发散思维，猜想也是一种数学能力]

2、研究特例，提炼猜想：考察等边三角形、特殊直角三角形的边角关系，提炼出asinA=bsinB=csinC。

3、实验验证，完善猜想：这一关系式在任一三角形中是否成立呢？

请学生以量角器、刻度尺、计算器为工具，对一般三角形的上述关系式进行验证，教师用几何画板演示。在此基础上，师生一起得出猜想，即在任意三角形中，有asinA=bsinB=csinC。

[设计意图：着重培养学生对问题的探究意识和动手实践能力]

（三）证明探究：

对此猜想，据以上直观考察，我们感情上是完全可以接受的，但数学需要理性思维。如何通过严格的数学推理，证明正弦定理呢？

1、特殊入手，探究证明 ：在初中，我们已学过如何解直角三角形，角与边的等式关系。在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,C900，根据锐角

abcsinAsinBsiCnc,则的正弦函数的定义，有c，c，又

a

sinA



b

sinB



c

sinC

c

a，从而在直角三角形ABC中，sinA



b

sinB



c

sinC。

2、推广拓展，探究证明 ：

问题2：在锐角三角形ABC中，如何构造、表示 “a与sinA、b与sinB”的关系呢？

探究1：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？

[学情预设：此处，学生可能出现以下答案情形。学生对直角三角形中证明定理的方法记忆犹新，可能通过以下三种方法构造直角三角形。

生1：如图1，过 C作BC边上的线CD，交BA的延长线于D，得到直角三角形DBC。

生2：如图2，过A作BC边上的高线AD，化归为两个直角三角形问题。生3：如图3，分别过B、C作AB、AC边上的垂线，交于D，连接AD，也得到两个直角三角形〃〃〃〃〃〃] 经过师生讨论指出：方法2，简单明了，容易得到“c与sinC、b与sinB”的关系式。

[知识链接：根据化归——这一解决数学问题的重要思想方法，把锐角三角形中正弦定理的证明归结为直角三角形问题是自然不过的。而方法3将把问题

a

延伸到四点共圆，深究下去，可得sinA思考解决

]



b

sinB



c

sinC=2R，对此，可留做课后

图

1图

图3图

4探究2：能否引入向量，归结为向量运算？（1）图2中蕴涵哪些向量关系式？

学生探究，师生、生生之间交流讨论，得



ABBCAC,ABBCCA0,ABCBCA,（这三个式子本质上是相同的）, 0等,（2）如何将向量关系转化为数量关系？(施以什么运算?)生：施以数量积运算

（3）可取与哪些向量的数量积运算？

[学情预设：此处，学生可能会做如下种种尝试，如两边自乘平方、两边）同时点乘向量（或、，均无法如愿。此时引导学生两边同时点乘向量,并说出理由：数量积运算产生余弦，垂直则实现了余弦与正弦的转换。]



[知识链接：过渡教材中，证明方法所引用的单位向量j就是与向量AD 共

线的单位向量。过去，学生常对此感到费解，经如此铺垫方显自然]

探究3：能否引入向量的坐标形式，把向量关系转化为代数运算？

（1）如图4，建立直角坐标系，可得：A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),（2）向量BC的坐标=？（bcosA-c，bsinA）

（3）哪一点的坐标与向量的坐标相同？由三角函数的定义，该点的坐标又为多少？

根据平行四边形法则，D（acos(1800B),asin(1800B)），从而建立等量关系：bcosA－c=acos(bcosA+ 1800B), bsinA= asin(1800B), 整理，得c= acosB（这其实是射影定理），a/sinA=b/sinB，同理可得a/sinA=c/sinC。

[知识链接：向量，融数与形于一体，是重要的数学工具，我们可以通过向量的运算来描述和研究几何元素之间的关系（如角与距离等），这里学生已经学过向量，可根据学生素质情况决定是否采用探究2与3]

问题3：钝角三角形中如何推导正弦定理？（留做课后作业）

（四）理解定理、基本应用：

1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

abc



sinAsinBsinC

问题

4、定理结构上有什么特征，有哪些变形式？

（1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学的和谐美。

（2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一。从而知正弦定理的基本作用为：

bsinA

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a；

sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如

sinAsinB

a。

2、例题分析

例1．在ABC中，已知A450，C300，c10cm，解三角形。评述：定理的直接应用，对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2．在ABC

中，已知a2,cA450，解三角形

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。课后思考：已知三角形的两边一角，这个三角形能唯一确定吗？为什么？

3、课堂练习：（1）、引题（问题1）（2）、在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

[设计意图：设计二个课堂练习，练习（1）目的是首尾呼应、学以致用；练习（2）则是将正弦定理、简易逻辑与平面几何知识整合，及时巩固定理，运用定理。]

（五）课堂小结：

问题5：请同学们用一句话表述学习本课的收获和感受。生1：原来我只会解直角三角形，现在我会解一般三角形了 师：通过本课学习，你发现自己更强大了。

生2：原来我以为正弦定理的证明，只有书上一种方法，今天我们学到了课本以外的众多方法。

师：我们学习过两个重要数学工具，即三角函数与平面向量，正弦定理的证明充分展示了它们的妙用。

生3：公式很美。师：美在哪里？

生3：体现了公式的对称美，和谐美······

在同学们的热烈讨论的基础上，用课件展示小结：

1、在正弦定理的发现及其证明中，蕴涵了丰富的思想方法，既有由特殊到一般的归纳思想，又有严格的演绎推理。在定理证明中我们从直观几何角度、向量运算角度探求了数学工具的多样性。

2、正弦定理反映了边与其对角正弦成正比的规律,据此，可以用角的正弦替代对边，具有美学价值

3、利用正弦定理解决三类三角形问题：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而求出其他的边和角。

（3）实现边与角的正弦的互化。

[设计意图：通常，课堂小结均由老师和盘托出，学生接受现成的结论。本设计充分发挥学生思维参与的主动性和创造性，师生合作，让课堂小结成为点睛之笔。]

（六）分层作业：

1、书面作业：课时训练对应内容

2、研究类作业：

1）在钝角三角形中探求证明定理的不同方法。

abc

ksinAsinBsinC2）在△ABC中，研究k的几何意义

3）已知三角形的两边一角，这个三角形能唯一确定吗？ [设计意图：对问题3），根据分散难点，循序渐进原则，在例2中初步涉及，在课后让学生先行思考，在“正、余弦定理”第三课时中予以下图的剖析阐述。]

已知边a,b 和A

Ha

无解

Ha = CH = bsinA仅有一个解

CH = bsinA

仅有一个解

第二篇：正弦定理2学案

【总02】必修5§1.1正弦定理（2）第2课时

一、学习目标1.熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用 2.探究三角形的面积公式

3.能根据条件判断三角形的形状

4.能根据条件判断某些三角形解的个数

二、学法指导

1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用；

2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数的有关公式，得出角的大小或边的关系。

三、课前预习

1.正弦定理____________________=________ 2.正弦定理的几个变形

(1)a =________ ,b=_________ ,c=_________

(2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______(3)a:b:c =____________________.3.在解三角形时，常用的结论

（1）在ABC中，A>B______________________(2)sin(A+B)=sinC

四、课堂探究 1.正弦定理：（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA,bksinB,cksinC；

（2）正弦定理的变形形式：

1）————————————————————； 2）————————————————————； 3）————————————————————．

（3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：1）____________________________________________________ 2）____________________________________________________ 一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一(4)三角形的面积公式：

______________________________________________

例1仿照正弦定理的证法一，证明S1

ABC

absinC，并运用此结论解决下面问题：（1）在ABC中，已知a2，b3，C150，求SABC；

（2）在ABC中，已知c10，A45，C30，求b和SABC；

五、数学运用

例2(202_年北京春季高考题)在ABC中，已知2sinAcosBsinC，那么ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形

变式练习：ABC中，已知abcosAcosBc

cosC，试判断三角形的形状.六、巩固训练

（一）当堂练习

1.在ABC中，若a3,A60,那么ABC的外接圆的 周长为________ 2.在ABC中,cbcosCcosB,则ABC的形状为______ 3.在ABC中，若A600,a3，则

abc

sinAsinBsinC

_______

4.ABC中，tanAsin2

BtanBsin2

A，那么ABC一 定是_______

5.ABC中，A为锐角，lgblg

c

lgsinAlg2，则 ABC形状为_____

6ABC中，已知axcm,b2cm,B450，如果利用正弦 定理解三角形有两解，则的取值范围是_____

第三篇：1正弦定理学案

1．1．1正弦定理学案

学习目标

通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。用具：计算器 [探索研究]

首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,例2．在ABC中，已知a=

2，b=3，A=45，解三角形

O

abc

根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinA，sinB，又siCn1,c

c

c

A

则

a

b

c

sinA



sinB



sinC

c从而在直角三角形ABC中，a



b

c

sinA

sinB



sinC

(图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

sinA



b

sinB



c

sinC

[理解定理]

正弦定理的基本作用为：

①；

②。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]

例1．在ABC中，已知A=45O，B=30O，c=10cm，解三角形。解：

例3在三角形ABC中，若a2tanB=b2

tanA,判断三角形形状

[随堂练习]

1三角形ABC中，a=4,A=450,B=60O,求b2在三角形ABC中A=60O,a=4,b=42求b

[补充练习]已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c

[课堂小结]

（1）定理的表示形式：（2）正弦定理的应用范围：

①②

第四篇：必修5 正弦定理1

必修51.1.1正弦定理（学案）

【学习要求】

1．发现并掌握正弦定理及证明方法。

2．会初步应用正弦定理解斜三角形．

3．三角形的面积公式

【学习过程】

1.正弦定理证明方法：（1）定义法（2）向量法（3法四：法一：（等积法）在任意斜△ABC当中，S△ABC=absinCacsinBbcsinA.两边同除以abc即得：

法三：（外接圆法）

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴CD2R.同理2R =＝.可将正弦定理推广为：abc== =2R（R为△ABC外接圆半sinAsinBsinC12121212abc==.sinAsinBsinC径）.2.正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，都

等于这个三角形的外接圆的直径，即

注意：正弦定理本质是三个恒等式：

三角形的元素：a,b,c,,,C

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形。

3.定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=a:b:c；

abcabc(2)====2R； sinAsinBsinCsinAsinBsinC

（3）a=2RsinA,；b=_2RsinB ；c=2RsinC；

abc（4）sinA=；sinB=；sinC=.2R2R2R

4.正弦定理可以解决的问题：

（1）_已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（唯一解）abc=== 2RsinAsinBsinCabcbac，, =.sinAsinCsinCsinBsinCsinB

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角．（常见：大一小二）

5.常用面积公式：

对于任意ABC，若a，b，c为三角形的三边，且A,B,C为三边的对角，则三角形的面积为：

111①SABC_____ha(ha表示a边上的高）.②SABCabsinCacsinB____________ 22

2例1：在ABC中，已知A45,B30,c10,求b.例2：在ABC中，已知A45,a2,b2,求B

例3：在ABC中，已知B45,a,b2,求A,C和c

总结：（1）已知两角和任意一边，求解三角形时，注意结合三角形的内角和定理求出已知边的对角；应用正弦定理时注意边与角的对应性

（2）应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由sinC求角C时，讨论角C为锐角或钝角的情况.例4不解三角形，判断下列三角形解的个数．

(l)a=5,b=4，A=120（2）a =7,b=l4,A= 150(3)a =9,b=l0,A= 60（4）c=50,b=72,C=135练习：

1、在△ABC中，一定成立的是

A、acosAbcosBB、asinAbsinBC、asinBbsinAD、acosBbcosA

2．在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则a:b:c3．已知在△ABC中，a=10，∠A=60°，b=10，则cosB=___________.4．在△ABC中，已知a2,b2,A30，解三角形。

5.（1）在ABC中，已知b,B600,c1,求a和A,C

（2）ABC中，c,A450,a2,求b和B,C

6.在△ABC中，若∠A=60，∠B=45，a求△ABC的面积。00

第五篇：高一必修2正弦定理和余弦定理测试题及答案

正弦定理和余弦定理测试题及答案

第1题.直角△ABC的斜边AB2，内切圆半径为r，则r的最大值是（）

A

．B．1C

2D

答案：Ｄ

第2题.在△ABC中，若sinBsinCcos

2A．等边三角形B．等腰三角形

C．直角三角形D． 等腰直角三角形 答案：Ｂ

第3题.在△ABC中，若A120，AB5，BC7，则△ABC的面积S．

答案：4A2则△ABC是（），第4题.在已知△ABC的两边a，b及角A解三角形时，解的情况有下面六种： Ａ．absinA，无解Ｂ．absinA，一解 Ｃ．bsinAab，两解Ｄ．a≥b，一解 Ｅ．a≤b，无解Ｆ．ab，一解

每种情况相对应的图形分别为（在图形下面填上相应字母）：

答案：Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ｅ Ｆ

第5题.正弦定理适用的范围是（）

Ａ．直角三角形Ｂ．锐角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．任意三角形

答案：Ｄ

第6题.在△ABC中，若此三角形有一解，则a，b，A满足的条件为_________． 答案：absinA或ba．

第7题.在△ABC中，已知b

3，cB30，则a________． 答案：3或6

第8题.如图，已知△ABC中，AD为BAC的平分线，利用正弦定理证明

AB

BD

ABAC

BDDC

．

D

C



sinsinABBD

答案：证明：由正弦定理得． 

ACDCACDC

sinπsin

第9题.在△ABC中，已知sinAsinBsinC，求证：△ABC为直角三角形． 答案：证明：设

则sinA

asinA



bsinB

bk



csinC

kk0，ck

ak，sinB，sinC

．

代入sinAsinBsinC，ak

得到

bk



ck

22，abc． △ABC为直角三角形．

222

第10题.已知△ABC中，A60，B45，且三角形一边的长为m，解此三角形． 答案：解：依题设得C75．

若am，由正弦定理，得

b

asinCsinAasinCsinA



msin45sin60





m，c

msin75sin60







．

若b

m，同理可得a，c，若c

m，同理可得a



m，b

1m．



第11题.利用余弦定理说明△ABC的内角C为锐角、直角、钝角的充要条件分别为

abc、abc、abc．

答案：在△ABC中，C为锐角cosC0

abc

2ab

2故C0abc，222

为锐角的充要条件为a2b2c2．

同理可说明C为直角、钝角的充要条件分别为abc，abc．

第12题.证明：设三角形的外接圆的半径是R，则a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC．

答案：证明：如图１，设△ABC的外接圆的半径是Ｒ，当△ABC是直角三角形，C90

△ABC的外接圆的圆心O在Rt△ABC的斜边AB上．时，在Rt△ABCACAB

a

sinB，sinA，b2R

sinB．



BCAB

sinA，即

2R

所以a2RsinA，b2RsinB． 又c2R2Rsin902RsinC． 当△ABC是锐角三角形时，它的外接圆的

圆心O在三角形内（图２），作过O，B的直径

A，B，联结A1C，则△A1BC是直角三角形，A1CB90，BACBA1C．



在Rt△A1BC中，所以，a2RsinA．

BCA1B

sinBA1C，即

a2R

sinBA1CsinA．

同理，b2RsinB，c2RsinC．

当△ABC是钝角三角形时，不妨设A为钝角，它的外接圆的圆心O在△ABC外（图３）．作过O，B的直径A1B，联结A1C．则△A1CB是直角三角形，A1CB90，BA1C180BAC．



在Rt△A1BC中，BC2RsinBA1C，即a2Rsin180BAC，即a2RsinA．类似可证，b2RsinB，c2RsinC．

RsniA，b2RsinB，综上，对任意三角形△ABC，如果它的外接圆半径等于R，则a2c2RsinC．

A

第13题.cosA0，

答案：解：△ABC为锐角三角形，cosB0，且1x5，cosC0

2232x20，2

x13，2

3x20，2

x5，即

222

x230，1x5.1x5.



x

第14题.在△ABC中．为什么说sinAsinB是AB的充要条件？ 答案：因为sinAsinB

第15题.在△ABC中，A最大，C最小，且A2C，ac2b，求此三角形三边之比． 答案：解：由正弦定理得

abc

2ab

sinAsinB

1

ab

1abAB．

ac



sinAsinC



sin2CsinC

2cosC，即cosC

a2c，由余弦定理得

cosC

acacb2

2ab

．

acac

2bacb2ac

． ac2b，cosC

2ab2a

a2c

2ac

2a3

ac

，整理得2a25ac3c20，解得ac或a

c．

A2C，ac不成立．

b

ac2

3

cc2



c．

c∶c∶c6∶5∶4． 24

故此三角形三边之比为6∶5∶4． a∶b∶c

第16题.在△ABC中，bcosAacosB，则三角形为（）Ａ．直角三角形Ｂ．锐角三角形Ｃ．等腰三角形Ｄ．等边三角形 答案：Ｃ

第17题.在△ABC中，cosAcosBsinAsinB，则△ABC是（）Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．正三角形 答案：Ｃ