重点中学全等三角形证明及方法总结（精选五篇）

第一篇：重点中学全等三角形证明及方法总结

全等三角形的证明及做几何题的方法总结

1、如图△ABC中，F是BC上的一点，且CF2那么△ABF与△ACF的面积比是＿＿＿＿＿

O2、如图17所示，在∠AOB的两边上截取AO＝BO，OC＝OD，连接

D CAD、BC交于点P，连接OP，则下列结论正确的是

()

AB

①△APC≌△BPD②△ADO≌△BCO③△AOP≌△BOP④

△OCP≌△ODP

A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④

3、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，A

B

C

△CBD的周长为28 cm，则DB＝。

4、如图在△ABC中,AB=AC,点D为AB的中点,DE⊥AB,交AC于E,已知△BCE的周长为10cm,且AC-BC=2cm ,求△ABC的周长。

5、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB 于E，且B+D=180，求证：AE=AD+BE

A

D

E B

C6、在△ABC中, AB = AC, AD和CE是高,它们所在的直线相交于H.⑴若∠BAC = 45°（如图①）,求证：AH = 2BD;⑵若∠BAC = 135°（如图②）,⑴中的结论是否依然成立？请在图②中画出图形并证明你的结论.B

H D

图①

图②

7、在△ABC中，AC＝BC,∠C＝90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕P点旋转，三角板的两直角边分别交AC、CB于D、E两点，如图（1）、（2）所示。

ADC

B

A

D

C

(2)

B

C

(3)

E(1)

问PD与PE有何大小关系？在旋转过程中，还会存在与图⑴、⑵不同的情形吗？若存在，请在图⑶中画出，并选择图⑵或图⑶为例加以证明，若不存在请选择图⑵加以证明．

8、如图已知： △ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F。求证：BE=EF+CF9、在△ABC中∠BAC是锐角，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE；（1）求证：AH=2BD；

（2）若将∠BAC改为钝角，其余条件不变，上述的结论还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

10、已知：在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CE垂直于BD交BD的1延长线于E，求证：CE= BD.总结：如何做几何证明题

知识归纳：

1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；

（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3.掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

一、证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

二、证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

三、证明一线段和的问题

1、在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）

2、延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）

初中几何证明技巧（分类）

证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。*12.两圆的内（外）公切线的长相等。13.等于同一线段的两条线段相等。

证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等。2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等。

证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。*11.利用半圆上的圆周角是直角。

证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。5.梯形的中位线平行于两底。6.平行于同一直线的两直线平行。7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

证明角的和差倍分

1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。2.利用角平分线的定义。3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

证明线段不等

1.同一三角形中，大角对大边。2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。*5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。6.全量大于它的任何一部分。

证明两角的不等

1.同一三角形中，大边对大角。

2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。5.全量大于它的任何一部分。

证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。2.利用内外角平分线定理。3.平行线截线段成比例。

4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。6.利用比利式或等积式化得。

第二篇：全等三角形证明

全等三角形证明

1、已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，问AF=CE吗？说明理由。

CA2、已知∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，问AE=DF吗？说明理由。

F3、已知，点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE，问∠D=∠E吗？说明理由。

4、已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，问AB∥CD吗？

A B

C

第三篇：全等三角形证明

全等三角形的证明

1.翻折

如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；

旋转

如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；

平移

如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。

2.判定三角形全等的方法：

（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边（直角三角形中）公理

（2）推论：角角边定理

3.注意问题：

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；

（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

一、全等三角形知识的应用

（1）证明线段（或角）相等

例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

（2）证明线段平行

例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AE=CF.求证：AB∥CD

（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE

例4 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．

．

例5：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，CD⊥AB,ΔADC、ΔBDO为等腰Rt三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

例6.如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。

N

M

FE

C

A B

第四篇：全等三角形练习题(证明)

全等三角形练习题（8）

一、认认真真选，沉着应战！

1．下列命题中正确的是（）

A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等

C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形对应角的平分线相等 2． 下列各条件中，不能做出惟一三角形的是（）

A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边

C．已知两边和其中一边的对角D．已知三边

4．下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是()

A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D

B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF

C．AB=DE，BC=EF，△ABC的周长= △DEF的周长

D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F

5．如图，在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）

A．1:2B．1:3C．2:3D．1:

46．如图，∠AOB和一条定长线段A，在∠AOB内找一点P，使P到OA、OB的距离都等于A，做法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=A，H为垂足．（2）过N作NM∥OB．（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于P．（4）点P即为所求．

其中（3）的依据是（）

A．平行线之间的距离处处相等

B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上

C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等

D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

7． 如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条 角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（）

A．1︰1︰1B．1︰2︰3C．2︰3︰4D．3︰4︰

58．如图，从下列四个条件：①BC＝B′C，②AC＝A′C，③∠A′CB＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三个为条件，ANCA

C F 余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

9．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上 取两点C，D，使CD=BC,再定出BF的垂线DE，使A，C，E在同 一条直线上，如图，可以得到EDCABC，所以ED=AB，因

E

此测得ED的长就是AB的长，判定EDCABC的理由是（）A．SASB．ASAC．SSSD．HL

10．如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边 翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（）

A．80°B．100°C．60°D．45°．

二、仔仔细细填，记录自信！

11．如图，在△ABC中，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠CED=_____．

12．已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周长为23cm，BC=4 cm，则△DEF的边中必有一条边等于______．

13． 在△ABC中，∠C=90°，BC=4CM，∠BAC的平分线交BC于D，且BD︰DC=5︰3，则D到AB的距离为_____________．

14． 如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出_____个．

BE

BCDE

分别是锐角三角形ABC和锐角三角形ABC中BC,BC边上的高，且15． 如图，AD，ADB，ABAAD

D若使△ABC≌△ABC，请你补充条件___________．(填写一个你认为适A．

当的条件即可)

C

'

'

B D D

17． 如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关

'

C

'

系是__________．

19． 如右图，已知在ABC中，A90,ABAC,CD平

分ACB，DEBC于E，若BC15cm，则△DEB 的周长为cm．

E

C

20．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=900，E是

BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=350，如图，则∠EAB是多少 度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．

三、平心静气做，展示智慧！

21．如图，公园有一条“Z”字形道路ABCD，其中

AB∥CD，在E,M,F处各有一个小石凳，且BECF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由．

22．如图，给出五个等量关系：①ADBC ②ACBD ③CEDE ④DC⑤DABCBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确 的结论（只需写出一种情况），并加以证明．

已知：

求证：

证明：

23．如图，在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C． 求证：点C在∠AOB的平分线上．

A

B

B

如图，已知△ABC和△DEC都是等边三角形，∠ACB=∠DCE=60°，B、C、E在同一直线上，连结BD和AE.求证：BD=AE.2．已知：如图点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE.求证：∠D=∠E.3．已知：E、F是AB上的两点，AE=BF，又AC∥DB，且AC=DB.求证：CF=DE。

4．如图，D、E、F、B在一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE。求证：⑴AE=CF；⑵AE∥CF；⑶∠AFE=∠CEF。

1、已知：如图，∠1＝∠2，∠B＝∠D。求证：△AFC≌△DEB4、已知：AD为△ABC中BC边上的中线，CE∥AB交AD的延长线于E。

求证：（1）AB＝CE； ５、已知：AB＝AC，BD＝CD

求证：（1）∠B＝∠C

（2）DE＝DF

６．已知：AD为△ABC中BC边上的中线，CE∥AB交AD的延长线于E。７．已知：如图，AB=CD，DA⊥CA，AC⊥BC。

求证：△ADC≌△CBA

求证：（1）AB＝CE；

参考答案

一、1—5：DCDCD6—10：BCBBA

二、11．100° 12．4cm或9．5cm 13．1．5cm 14．4 15．略

16．1AD5 17． 互补或相等 18． 180 19．15 20．350

三、21．在一条直线上．连结EM并延长交CD于F' 证CFCF'． 22．情况一：已知：ADBC，ACBD

求证：CEDE（或DC或DABCBA）

证明：在△ABD和△BAC中 ∵ADBC，ACBD

ABBA

∴△ABD≌△BAC

∴CABDBA∴AEBE

∴ACAEBDBE

即CEED

情况二：已知：DC，DABCBA

求证：ADBC（或ACBD或CEDE）证明：在△ABD和△BAC中DC，DABCBA∵ABA B

∴△ABD≌△BAC

∴ADB C

23．提示：OM=ON，OE=OD，∠MOE=∠NOD，∴△MOE≌△NOD，∴∠OME=∠OND，又DM=EN，∠DCM=∠ECN，∴△MDC≌△NEC，∴MC=NC，易得△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC，∴点C在∠AOB的平分线上．

四、24．(1)解：△ABC与△AEG面积相等

过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，则

AMCANG90

四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形

BAECAG90，ABAE，ACAGBACEAG180



EAGGAN180BACGAN△ACM≌△AGN



D

CMGNS△ABC

ABCM，S△AEG

12AEGN

S△ABCS△AEG

(2)解：由(1)知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和

这条小路的面积为(a2b)平方米．

第五篇：第八课 三角形全等证明

第八讲 三角形全等的条件（2）

5．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE交CD于F，且AD=DF，三角形全等条件（3）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．

C

求证：AC= BF。如图，在ABC与DEF中 AD

AB

DE BE

A

E

F





ABCDEF(ASA)

ASA公理推论（AAS公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．

1． 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE

⊥AB于E，DF

⊥AC于F

。求证：DE=DF．

2．如图，已知：AD=AE，ACDABE，求证：

A

6.如图，AB，CD相交于点O，且AO=BO，试添加一个条件，使△AOC≌△BOD，并说明添加的条件是正确的。（不少于两种方法）

DB

7.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90º，多点A的任一直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，你能说说DE=BD-CE的理由吗？

8．如图，已知AEDADE,BAECAD，求证：BE=CD

E

3．如图，已知∠A=∠C，AF=CE，DE∥BF，求证：△ABF≌△CDE.4．如图，已知123，AB=AD.求证：BC=DE.D

F

C

E

9.如图△ABC中，∠B＝∠C，D，E，F分别在AB,BC,AC上，且BD=CE,∠DEF=∠B 求证：ED=EF

C

F

D

E

C

10.如图，∠E=∠B，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB

11.如图，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF． 求证：AB=DE

第八讲 三角形全等的条件（2）

15.如图，在正方形ABCD中，CEDF．求证：△CBE≌△DCF.A

E

D

D

C B F

16.已知：△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF，∠ADE=∠EFC，∠AED=∠ACB，DE=FC。求证：△ADE≌△EFC

17.已知：如图∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABC≌△ABD。

18.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

△BED与△CFD全等吗？

13.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AEEC，CF∥AB．求证：ADCF

B

A

F

19.如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。

G

C

B

F

B E C

F

12.如图所示，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别是E、F，D是EF的中点，A

D

A

C B

C

14.如图，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F．

A D

（1）求证：△ABF≌△DAE；（2）DEEFFB．

B

E

M

C

第八讲 三角形全等的条件（2）24.已知：如图，AC⊥OB，BD⊥OA，AC与BD交于E 点，20.如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，若OA=OB，求证：AE=BE。求证：MB=MC

求证：BE=CD

22.如图，将一等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．请你仔细观察后，在图中找出一对全

等三角形，并写出证明它们全等的过程．

C

O

21.已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，25.已知：如图，AB=CD，AD=BC，O是AC中点，OE⊥AB于E，OF⊥D于F。求证：OE=OF。

C

A E B

三角形全等条件（4）

1、如图，B、E、F、C在同一直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，AB=DCBF=CE，试判断AB与CD的位置关系.2、已知 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC，求证：AD∥BC.D

C

23.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）求证：△ADE≌△CB′E；（2）若AB=8，DE=3，试求BC的长.D

C

A

B

第八讲 三角形全等的条件（2）

3、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，具有BF=AC，FD=CD，8.如图，在ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别 试探究BE与AC的位置关系.求证：△ACF≌△BDE.5．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF

垂足分别为E、F，那么，CE=DF吗？谈谈你的理由!

求证：（1）CE=BE；（2）CB⊥AD.B

B

D C4、如图，A、E、F、B四点共线，AC⊥CE、BD⊥DF、E A

是E、F，且DE=DF，试说明AB=AC.9.如图，DC=BC，∠B＝∠D=90°，求证：AB＝AD.10.已知：如图∠B=∠E=90°AC=DFFB=EC，证明：AB=DE 已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DEBF．求证：AB∥CD．

6．如图，已知AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD，BC12.已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD，若E是AC上一点。求证：EB=ED

7.如图，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足，且AE=AF，试说明：DE=DF，AD平分∠BAC.E