84正弦、余弦定理综合——三角形形状、三角函数最值、解三角形

第一篇：84正弦、余弦定理综合——三角形形状、三角函数最值、解三角形

江苏省淮阴中学202_高一数学学案NO5编制：上官志薇 正弦、余弦定理综合——三角形形状、三角函数最值、解三角形

【典例练讲】

例1：ABC中，AB=1,AC=2，A的平分线AD=1，（1）求ABC的面积；

（2）求BC边上的中线长.例

2、如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，问：点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？

例

3、在△ABC中,根据下列条件，判定三角形形状。

（1）B60o,2bac

（2）(abc)(abc)3ab,sinAsinB3

4例

4、求证：顶点在单位圆上的锐角三角形各角的余弦和小于该三角形的周长之半。

第二篇：解斜三角形、正弦定理、余弦定理--冯自会

文尚学堂

文尚学堂学科教师辅导讲义

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第三篇：基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究

基本不等式与余弦定理综合求解三角形面积的最值探究

建水县第二中学：

贾雪光

 从最近几年高考试题的考查情况看，解三角形部分的考查中主要是对用正、余弦定理来求解三角形、实际应用问题，这两种常见考法中，灵活应用正余弦定理并结合三角形中的内角和定理，大边对大角，等在三角形中进行边角之间的相互转化，以及与诱导公式特别是sin(AB)sinC、cosAB2sinC的联系是关键。

于是多数教师在复习备考过程中，往往都会将大量的时间和精力花在对正余弦定理的变形，转化，变式应用上，当然这也无可厚非，但是我在高考备考复习教学中发现了这样一类题目，如：

1、在锐角△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且cos2A1212sin2A，a7求△ABC的面积的最大值；

2、已知向量M(sinA,)与N(3,sinA3cosA)共线，其中A是△ABC的内角，（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC的面积S的最大值。

3、△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，向量M(4,1),N(cos2A2,cos2A)，MN72，（1）求角A的大小；（2）若a3是判断当bc取得最大值时△ABC的形状。面对这样的问题，我们如何来引导学生很自然的过度，用一种近乎水到渠成的方法来求解呢？

实际上我们在教学和学习的过程中往往会忽略一个很明显的问题，那就是余弦定理与基本不等式的综合，如果我们在讲授正余弦定理的时候能在引入正课时多下一点功夫，我们就会有意外的收获哦。

我在教学中是这样处理的：实际上在余弦定理中我们总有这样一组公式：

a2bc2bccosA, 2

2b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC

同时在基本不等式中我们总有这样一组公式：b2c22bc，a2c22ac，b2a22ab在三角形中各边都是正数，所以上面三个式子在a、b是三角形的三边时总是成立的，如果我们将两组公式综合后会发现这样的一组公式即：a22bc(1cosA),b22ac(1cosC)

c22ab(1cosc)于是我们就有方程等式，得到了一组不等式，而在涉及到最值得求解时，我们常用的处理方法是，一求函数值域；

二、导函数；

三、基本不等式即均值定理；但是前两种方法显然都不可能用于求解上面两个题目类型的求解，于是在涉及到与解三角形有关的三角形的面积的最大值时我们就只能考虑用均值定理了，自然也就要用到上面我们推导得出的这一组公式罗。

于是我没有：

例1：在锐角△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且cos2A12sin2A，a7求△ABC的面积的最大值。

解析：由已知条件cos2A得A=312sin2A有cos2Asin2A12即cos2A212所以知道2A=

323解，同时由于a2b2c22bccosA、b2c22bc知7b2c22bccos1212 即有：72bcbc也就是有bc7 同时又因为SABC734734bcsinAbcsin312732于是有：SABC即△ABC的面积的最大值是

例2：已知向量M(sinA,)与N(3,sinA3cosA)共线，其中A是△ABC的内角，（1）求

2角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC的面积S的最大值。

解析：由两向量共线知：2sin2A3cosAsinA3即：1cos2A3sin2A3也就是说

3sin2Acos2A2有辅助角公式可知2sin(2A6)2即有sin(2A6)1解得角A3，又由于：a2b2c22bccosA、b2c22bc知22b2c22bccos即有：42bcbc也就是有bc4 同时又因为SABC43412123

1232bcsinAbcsin34

于是有：SABC 3即△ABC的面积的最大值是3

3、△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，向量M(4,1),N(cos2A2,cos2A)，MN72，（1）求角A的大小；（2）若a3是判断当bc取得最大值时△ABC的形状。

解析：（1）由MN72解得cosA12所以A3

3A222（2）在△ABC 中abc2bccosA且a3bc2bc22所以有32bc2bccos223bcbc22即有bc3当且仅当bc时取等号，此时有abc所以当

△ABC面积最大时，三角形式正三角形。

从以上三个例子中我们可以发现，在解三角形的过程中，如果涉及到要求三角形面积的最大值时，可以考虑余弦定理与基本不等式综合，用基本不等式来构造不等关系，从而求解最值，以上是我在教学实践中所发现的点滴规律，展示出来供各位奋斗在教学一线的数学教师参考，与各位辛勤的同仁分享，希望能对你的教学有所帮助。

第四篇：解三角形公式

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有

2、正弦定理的变形公式：①

② sinA=sinB=sinC=

③ a:b:c=

④ a

第五篇：第一章 解三角形

第一章 解三角形

章节总体设计

（一）课标要求

本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：

（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色

1．数学思想方法的重要性

数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系

加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。

《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。

在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”

3．重视加强意识和数学实践能力

学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。

（三）教学内容及课时安排建议

1.1正弦定理和余弦定理（约3课时）

1.2应用举例（约4课时）

1.3实习作业（约1课时）

（四）评价建议

1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。

2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。