北师大初三数学证明二知识要点

第一篇：北师大初三数学证明二知识要点

证明

（二）知识点一、三角形分类：

钝角三角形

1.按角分直角三角形



锐角三角形不等边三角形2.按边分

底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

底和腰相等的等腰三角形（即等边三角形）

二、三角形全等 1.三角形全等判定方法

① 公理三边对应相等的两个三角形全等。（简称“边边边”或“SSS”）

② 公理两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。（简称“边角边”或“SAS”）③ 公理两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（简称“角边角”或“ASA”）④ 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（简称“角角边”或“AAS”）

⑤ 定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

（简称“斜边、直角边”或 “HL”）2.全等三角形性质

公理全等三角形的对应边、对应角相等。

三、等腰三角形

（）定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

(2)判定：可用定义

1.等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称:等角对等边）

(3)性质：定理等腰三角形的两个底角相等。（简称:等边对等角）



推论等腰三角形顶多的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。（简称“三线合一”）等腰三角形是轴对称图形。（）定义： 三条边相等的三角形是等边三角形。

1(2)判定：可用定义

有一个角等于602.等边三角形的等腰三角形是等边三角形。

三个角都相等的三角形是等边三角形。



(3)性质：等边三角形的三边相等。等边三角形三个角都相等且都等于60。等边三角形具有等腰三角形的性质。

四、直角三角形。

1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

2.勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角

三角形；

3.性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

4.判定定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

5.性质定理：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

五、线段的垂直平分线。

1.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

（线段垂直平分线上的点有何性质）

2.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（满足什么条件的点在线段的垂直平分线上）

3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。角平分线。（这一点叫做三角形的外心）

4.外心：三角形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心。5.三角形外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。

六、角平分线上

1.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（角平分线上的点有何性质）

2.判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

（满足什么条件的点在角平分线上）

3.三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（这一点叫做三角形的内心）

4.内心：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。5.三角形内心的性质：内心到三角形三条角平分线的距离相等。4.逆命题、互逆命题的概念，及反证法

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

七、反证法、逆命题、互逆命题、互逆定理。

第二篇：初三数学《证明二》测试题

初三数学《证明二》测试题

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、两个直角三角形全等的条件是（）

A、一锐角对应相等 B、两锐角对应相等 C、一条边对应相等D、两条边对应相等

2、如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根据是（）

A、SASB、ASAC、AASD、SSS3、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）

7、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=12cm，则△DEB的周长（）

A、6cmB、8cmC、12cm D、24cm8、如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（）

A.2mB.3mC.6mD.9m9、如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加

一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件可以是（）

A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACBD、∠ABC=

∠AB′C10、如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE

A.△ABC 的三条中线的交点B.△ABC 三边的中垂线的交点 C.△ABC 三条角平分线的交点D.△ABC

与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论要：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数（）

4．如图所示，AB = AC，要说明△ADC≌△AEB

不能是（．．BE)A．∠

B ＝∠CB.AD = AEC．∠ADC＝∠AEBD.DC =

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题(每小题3分，共30分)

1、如果等腰三角形的一个角是80°，那么顶角是().2、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是()．

3、等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形周长分为15cm和12cm的两部分，则底边长为()．

5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交CB边于D，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数为（）A、2B、3C、4D、56、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则．．．．．

C的个数是（）

A．6

是点

4、如图，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还须补充一个条件()

5、如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE，AB=AC。若∠B=20°，则∠C=()°.B．7 C．8 D．96、在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则∠ADC的度数是()度.7、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，则∠BCD的度数为().8、如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于点D，BD∶DC=2∶1，BC=7.8cm，则D到AB的距离为()cm.9、等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为().10、如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C．AE＝AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。其中正确的结论是()（注：将你认为正确的结论都填上．）

三、解答题

1、已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC2、如图，△ABC中，AD⊥BC于D,AB+BD=DC,求证：∠B=2∠C3、如图，BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别是点E,F.BE,CF 交于点D，且BD=CD，求证：AD平分∠BAC.（选做）

4、已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．

（1）求证：AB＝BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．

C D

（选做）

5、如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。

第三篇：北师大九年级数学上册第一章证明(二)复习要点

第一章知识要点

1.（1）三角形全等的性质（公理）：全等三角形的对应边相等，对应角也相等

（2）三角形全等的判定（公理及推论）：SSS、SAS、ASA、AAS、2.等腰三角形的判定、性质及推论

(1)性质定理：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

(2)推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）.AB

(3)判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.BC

3.等边三角形的性质及判定定理

（1）性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60 °.B

（2）判定定理：

①有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形.B

②三个角都相等的三角形是等边三角形.4.直角三角形

(1)勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方

(2)勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形

(3)含30°角的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直

角边等于斜边的一半.A

(4)判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）

(2)判定定理：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.A

5.线段的垂直平分线

(1)性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.(3)三角形三条角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等

(2)判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.C

7.尺规作图（基本作图）

（1）用尺规作图法作线段的垂直平分线：分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于点C、D两点；作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线

(3)三角形三边垂直平分线的性质定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等

.（2）用尺规作图法作出角平分线：在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD = OE，分别以D、E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C，作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．

6.角平分线

(1)性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.B

第四篇：北师大版八年级下册数学各章知识要点总结

北师大版八年级数学下册各章知识要点总结

第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2、不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.3、求不等式解集的过程叫解不等式.4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组

5、不等式组的解集 :一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。

6、等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.二、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（注：移项要变号，但不等号不变。）

性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.不等式的基本性质<1>、若a>b, 则ac>bc；

<2>、若a>b, c>0 则ac>bc，若c<0, 则ac

不等式的其他性质：反射性：若a>b,则bb,且b>c,则a>c

四、解不等式组的步骤:

1、解出不等式的解集。

2、在同一数轴表示不等式的解集。

3、写出不等式组的解集。

五、列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：

（1）审题；（2）设未知数，找（不等量）关系式；

（3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组)（4）解不等式组；检验并作答。

六、常考题型：

1、求4x-6<7x-12的非负数解.2、已知3(x-a)=x-a+1的解适合2(x-5)< 8a,求a的范围.3、当m取何值时，3x+m-2(m+2)=3m+x的解在-5和5之间。

第二章分解因式

一、公式：

1、ma+mb+mc=m(a+b+c)

2、a2

2三、解不等式的步骤:

1、去分母;

2、去括号;

3、移项、合并同类项;

4、系数化为1。-b2=a+ba-b

3、a22ab+b2ab

二、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

1、把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.2、把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.3、ma+mb+mc=m（a+b+c）

4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。

三、把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式.提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；

（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.四、分解因式的一般步骤为:

（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.五、形如a+2ab+b或a-2ab+b的式子称为完全平方式.2222

六、分解因式的方法：

1、提公因式法。

2、运用公式法。

第三章分式

注：1°对于任意一个分式，分母都不能为零.2°分式与整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母.3°分式的值为零含两层意思：分母不等于零；分子等于零。（AA中B≠0时，分式有意义；分式中，当B=0分式无意义；当A=0且B≠0时，分式的值为零。）BB

常考知识点：

1、分式的意义,分式的化简。

2、分式的加减乘除运算。

3、分式方程的解法及其利用分式方程解应用题。

第四章相似图形

一、比例定义：表示两个比相等的式子叫比例.1、如果a与b的比值和c与d的比值相等，那么ac=或a∶b=c∶d,这时组成比例的四个数a,b,c,d叫做比例的bd

项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a、d为外项，c、b为内项.2、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比

ABm=，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项.CDn

mAB=k或AB=k•CD.3、如果把表示成比值k，则nCD

ac4、四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即= ,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，bd（ratio）AB∶CD=m∶n，或写成简称比例线段.5、黄金分割的定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACBC= ,那么称线段ABABAC

被点C黄金分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中AC∶AB≈0.618.6、引理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.相似三角形：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似多边形：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。

相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.二、比例的基本性质：

acac=。如果=（b,d都不为0），那么ad=bc.bdbd

acabcb=

2、合比性质：如果=,那么。bdbd

acma+b+ma=。

3、等比性质：如果==（b+d++n≠0），那么bdnb+d+nb

acab4、更比性质：若=，那么=。bdcd

acbd5、反比性质：若=，那么=。bdac1、若ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么

三、求两条线段的比时要注意的问题：

（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；

（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；

（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.四、相似三角形（多边形）的性质：

1、相似三角形对应角相等，对应边成比例,相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。

2、相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.五、全等三角形的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，直角三角形除此之外再加HL

六、相似三角形的判定方法：1.三边对应成比例的两个三角形相似；

2.两角对应相等的两个三角形相似；

3.两边对应成比例且夹角相等；

4.定义法: 对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

5、定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三

角形与原三角形相似。

七、在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.1、两个全等三角形一定相似.2、两个等腰直角三角形一定相似.3、两个等边三角形一定相似.4、两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似.八、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。

这个点叫位似中心，这时的相似比又称为位似比。

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

九、常考知识点：

1、比例的基本性质，黄金分割比，位似图形的性质。

2、相似三角形的性质及判定。相似多边形的性质。

第五章数据的收集与处理

（1）普查的定义：这种为了一定目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查.（2）总体：其中所要考察对象的全体称为总体。

（3）个体：组成总体的每个考察对象称为个体

（4）抽样调查：（sampling investigation）：从总体中抽取部分个体进行调查,这种调查称为抽样调查.（5）样本（sample）：其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。

（6）当总体中的个体数目较多时，为了节省时间、人力、物力，可采用抽样调查.为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性.还要注意关注样本的大小.（7）我们称每个对象出现的次数为频数。而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。

（8）数据波动的统计量：

极差：指一组数据中最大数据与最小数据的差。

方差：是各个数据与平均数之差的平方的平均数。

标准差：方差的算术平方根。要求：识记其计算公式。

一组数据的极差，方差或标准差越小，这组数据就越稳定。

还要知道平均数，众数，中位数的定义。

刻画平均水平用：平均数，众数，中位数。

刻画离散程度用：极差，方差，标准差。

常考知识点：

1、作频数分布表，作频数分布直方图。

2、利用方差比较数据的稳定性。

3、平均数，中位数，众数，极差，方差，标准差的求法。

4、频率，样本的定义

第六章证明

一、对事情作出判断的句子，就叫做命题.即：命题是判断一件事情的句子。

一般情况下：疑问句不是命题.图形的作法不是命题.每个命题都有条件（condition）和结论（conclusion）两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.要说明一个命题是一个假命题，通常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论.这种例子称为反例。

二、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。

1、证明三角形内角和定理的思路是将原三角形中的三个角“凑”到一起组成一个平角.一般需要作辅助线.既可以作平行线，也可以作一个角等于三角形中的一个角.2、三角形的外角与它相邻的内角是互为补角.三、三角形的外角与它不相邻的内角关系是：

（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.四、证明一个命题是真命题的基本步骤是：

（1）根据题意，画出图形.（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.在证明时注意：(1)在一般情况下，分析的过程不要求写出来.(2)证明中的每一步推理都要有根据。如果两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平

行。

(3)所对的直角边是斜边的一半。斜边上的高是斜边的一半。

常考知识点：

1、三角形的内角和定理，及三角形外角定理。

2、两直线平行的性质及判定。

3、命题及其条件和结论，真假命题的定义。

第五篇：202_最新北师大版八年级下册数学各章知识要点总结

北师大版八年级数学下册各章知识要点总结

第一章三角形的证明

一、全等三角形判定定理：

1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)

2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)

3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)

4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)

5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）

二、等腰三角形的性质

定理：等腰三角形有两边相等；(定义)定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

三、等腰三角形的判定 1.有关的定理及其推论

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2.反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法

四、直角三角形

1、直角三角形的性质

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、直角三角形判定

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；

3、互逆命题、互逆定理

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.五、线段的垂直平分线角平分线

1、线段的垂直平分线。

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心）

判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

2、角平分线。

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心）

判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

3、逆命题、互逆命题的概念，及反证法

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

5、不等式组的解集 :一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。

性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.三、解不等式的步骤:

1、去分母;

2、去括号;

3、移项、合并同类项;

4、系数化为1。

四、解不等式组的步骤:

1、解出不等式的解集。

2、在同一数轴表示不等式的解集。

3、写出不等式组的解集。

五、列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：

（1）审题；

（2）设未知数，找（不等量）关系式；（3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组)

（4）解不等式组；检验并作答。

第三章图形的平移与旋转

一、平移定义和规律

1平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

关键：a.平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。

b.图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。

2平移的规律(性质)：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应角相等。

注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。

3简单的平移作图：

平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。

二、旋转的定义和规律

1旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。

关键：a.旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。

b.图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。

2旋转的规律(性质)：

经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

(旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。)注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。

3简单的旋转作图：

旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度。

整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。

三、中心对称

1．中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点

把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。

2．中心对称的基本性质：

（1）．成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。

（2）．成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

3．中心对称图形的有关概念：中心对称图形、对称中心

把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。

4、中心对称与中心对称图形的区别与联系

如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。3．图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转）的对比

5、图案的分析与设计

① 首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成。

② 图案设计的基本手段主要有：轴对称、平移、旋转三种方法。

第四章

分解因式

一、公式：

1、ma+mb+mc=m(a+b+c)

2、a2-b2=a+ba-b

3、a22ab+b2ab2

二、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

1、把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.2、把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.3、ma+mb+mc=m（a+b+c）

4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。

（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.四、分解因式的一般步骤为:（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.五、形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.六、分解因式的方法：

1、提公因式法。

2、运用公式法。

第五章分式与分式方程

1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子

AB叫做分式。1)分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。2)分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。3)分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零

2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示

AACAAC其中A、B、C为整式（C0）

BBCBBC注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。（2）应用基本性质时，要注意C≠0，以及隐含的B≠0。

（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出

现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。

3.分式的通分和约分：关键先是分解因式

1)分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。2)最简分式：分子与分母没有公因式的分式

3)分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把

几个异分母的分式化成分母相同的分式。

4)最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。4.分式的符号法则

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为

注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。5.分式的运算：

1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

ac

bdacacadadbd;bdbcbc3）分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。(ananb)bn4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左

到右的顺序运算

5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减

acbcabc,acadbcadbcbdbdbdbd 7.整数指数幂.1）任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即a01(a0)；

1利润＝售出价－成本

2）任何一个不等于零的数的-n次幂（n为正整数），等于这个数的n次幂的倒数，即 ann（a0)

注：分数的负指数幂等于这个分数的倒数的正整数指数幂。即(ba)n(aa)n

b3）科学计数法：把一个数表示为a×10n

(1≤∣a∣＜10,n为整数)的形式，称为科学计数法。

注：（1）绝对值大于1的数可以表示为a×10n 的形式，n为正整数；（2）绝对值小于1的数可以表示为a×10-n的形式，n为正整数.（3）表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n1

（4）表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)4)正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)（1）同底数的幂的乘法：amanamn；（2）幂的乘方：(am)namn（;3）积的乘方：(ab)nanbn；

（4）同底数的幂的除法：amanamn≠0)；（5）商的乘方：(ab)nan(abn；(b≠0)8.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。1)增根：分式方程的增根必须满足两个条件：

（1）增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。2）分式方程的解法：

(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

3）烈分式方程解实际问题

（1）步骤：审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。（2）应用题基本类型；

a.行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．

b.数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法． c.工程问题基本公式：工作量=工时×工效．

d.顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水． E．相遇问题

f追及问题

相遇路程＝速度和×相遇时间

追及距离＝速度差×追及时间相遇时间＝相遇路程÷速度和

追及时间＝追及距离÷速度差速度和＝相遇路程÷相遇时间

速度差＝追及距离÷追及时间 g流水问题

h浓度问题

顺流速度＝静水速度＋水流速度

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量逆流速度＝静水速度－水流速度

溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2

溶液的重量×浓度＝溶质的重量水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2

溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 m利润与折扣问题

利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比

折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)利息＝本金×利率×时间

税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)

第六章平行四边形

一、平行四边形的性质

1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边平行且相等。（2）平行四边形的邻角互补（3）平行四边形的对角相等

（4）平行四边形的对角线互相平分。

二、平行四边形的判定

1、平行四边形的判定

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

（4）定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

2、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。

3、平行四边形的面积：S平行四边形=底×高=ah 三、三角形的中位线

1、概念：连接三角两边中点的线段叫做三角的中位线（共三条中位线）

2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半

四、多边形的内角和与外角和

1、多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）·180°；

多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

2、正多边形的每个内角都等于（n-2）·180°/n

3、中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形，边数为偶数的正多边形

不是中心对称图形：四边形、三角形、梯形、边数为奇数的正多边形等

4、常见的轴对称图形：等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形