正余弦定理

第一篇：正余弦定理

正弦、余弦定理

一.填空

1．在ABC中，BCa，ACb，SABC

ab，则BC、AC两边的夹角等于____． 2.∠A=60°，∠B=30°，a=3, 则b=,c=,∠C=3.∠A=45°，∠B=75°，b=8, 则a=,c=,∠C=.4．在ABC中，a8，B60，C75，则b________．

5.在ABC中，a2+b2=c2,则ABC是

6.在ABC中，a2+b2>c2, a2+c2>b2，c2+b2>a2则ABC是三角形。7.在ABC中，a2+b2

8.在ABC中，a∶b∶c=5∶12∶13则ABC是 9．在ABC中，sin2

Asin2

Bsin2

C，则C___________．

10．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则∠ABC的余弦值为___________． 11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b6，B＝120°，则a＝________________.12．△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知A=

46,a3，b4则角

二.选择题

1．在ABC中，b10，c15，C30，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．无解D．无法确定 2．在△ABC中，若b2asinB，则A等于（）

A．300

或600

B．450

或600

C．1200

或600

D．300

或1500

3．在ABC中，a6，B30，C120，则ABC的面积是（）

A．9B．18C．9D．18 4．在ABC中，若

sinAcosB

a

b，则B的值为（）A．30

B．45

C．60

D．90

5．在ABC中，AB1，BC2，则角C的取值范围是（）

A．(0,

]B．(0,]C．(,

6362]D．[6,)6．在ABC中，a，b1，B30，则ABC的面积为是（）

A．

32B．34C．32或3D．32或4

7．在ABC中，下列命题中正确的是（）A．若sinA

112，则A30B若cosA，则A60C．a80，b100，A45的三角形有一解 D．a18，b20，A150的三角形一定存在8．如果满足ABC60，AC12，BCk的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（）A．k8B．0k12C．k12D．0k12或k83

9．在ABC中，(sinAsinBsinC)23(sin2Asin2Bsin2

C)，则这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形D．等边三角形

三解答题

1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2

c2

b2



ac.求cosB的值；

2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，又A60°，sinB:sinC2:3.（1）求

b

c的值；（2）若△ABC的AB边上的高为33，求a的值.

第二篇：正余弦定理

正余弦定理

1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有abc2R． sinsinsinC2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC； abc，sin，sinC；③a:b:csin:sin:sinC； 2R2R2R

abcabc④． sinsinsinCsinsinsinC②sin（正弦定理主要用来解决两类问题：

1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。）

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：

当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。

法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：

当a

当bsinA

当a=bsinA或a>b时，B有一解

注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。

3、三角形面积公式：SC111bcsinabsinCacsin． 22

22222224、余弦定理：在C中，有abc2bccos，bac2accos，c2a2b22abcosC．

b2c2a2a2c2b2a2b2c25、余弦定理的推论：cos，cos，cosC． 2bc2ac2ab(余弦定理主要解决的问题：

1、已知两边和夹角，求其余的量。

2、已知三边求角)

6、如何判断三角形的形状：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若a2b2c2，则C90；

②若abc，则C90；③若abc，则C90．

正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,C、D两点，并测得∠ACB=75, ∠BCD=45, ∠ADC=30,∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B

本题解答过程略

附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.OOOO222222数学必修5第一章《解三角形》

1.1 正弦定理与余弦定理（习题课）

一、课前练习：

1、在△ABC中，若b2asinB，则A等于（）

A．30或60B．45或60 C．120或60D．30或1502、在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，则角C___________。

3、三角形△ABC中AB=14，角C60，AC：BC=8：5，求△ABC的面积S。

二、课堂练习： 00000000

abc1、在ABC中，若A60，asinAsinBsinC等于（）

1A、2；B、2；CD、。

2、在OAB中，O为坐标原点，A(1,cos),B(sin,1),(0,

2]，则当OAB的面积达

最大值时，。

3、在ABC中，A:B1:2，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，求cosA。

4、在△ABC中，bcbca，且

三、课后练习：

1、在ABC中，(ac)(ac)b(bc)，则A=（）

A、30；B、60；C、120；D、1502、在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosAsinB,则△ABC的形状为（）

A、钝角三角形； B、锐角三角形;C、直角三角形； D、无法确定其形状。

3、在ABC中，∠A=60°, a=6 , b=2, 那么满足条件的ABC共有个。222c13，求角A和tanB的值。b

2S3，则a=。

4、在ABC中，b

8，cABC5、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA

（1）求sin6、在ABC中，已知(abc)(abc)3abc，sinAsinB

状.21。3BCcos2A的值；（2）若a3，求bc的最大值。23，试判断三角形的形

47、已知ABC的周长为6，BC,CA,AB成等比数列，求

（1）ABC的面积S的最大值；（2）BABC的取值范围.参考答案

1.1 正弦定理与余弦定理（习题课）

一、课前练习：

1、D；

2、1200；

3、设AC8x,BC5x，ABACBC2ACBCcosC

19664x25x40x49xx2AC16,BC10S22222221ACBCsinC40。

2二、课堂练习：

1、A；

2、450；

3、SADC:SBDC3:2,AD:BD3:2，于是设AD3x,BD2x ADCDBDCD, sinACDsinAsinBCDsinB

3xCD2xCD,3sinA2sin2A4sinAcosA sinACDsinAsinACDsin2A

3所以，cosA。4在△ADC与△BDC中，由正弦定理得，b2c2a21A60

4、bcbca,cosA2bc222

2c1a2c2ca又由bcbca得，212，， b2bb2bb222

则 sinA52 sinBcosBsinB25

5sinB1a25。，所以tanB1,abb(0,90)cosBcosB2b25

三、课后练习：

1、C；

2、B；

3、1；

4、8；

5、(Ⅰ)sinBC1cos2A=[1cos(BC)](2cos2A1)2

212=(1cosA)(2cosA1)2

1121=(1)(1)=  23992

2b2c2a21cosA，∴bcb2c2a22bca2,(Ⅱ)∵32bc

3又∵a3，∴bc

9.4993，当且仅当 bc时, bc= 424故bc的最大值是

6、由（a+b+c）(a+b－c)=3ab(ab)c3ababcab, 2222

2a2b2c21∵0°

∴cos(A+B)=－

∴cosAcosB=311cosAcosBsinAsinB,∴sinAsinB=①, 4221②,①+②得cos(A－B)=1，AB, ∴A－B=0，4∴A=C=B=60°，故△ABC为正三角形.27、设BC,CA,AB依次为a,b,c,则abc6,bac,由余弦定理得

a2c2b2a2c2ac2acac1cosB 2ac2ac2ac2

故有0B

3，又bac6b,从而0b222

11212SacsinBbsinB

2sinSmax（1）所以2223

22222(ac)2acbBABCaccosB（2）所以22(6b)23b2(b3)2272

0b22BABC18

第三篇：正、余弦定理及其应用

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正、余弦定理及其应用

作者：夏志辉

来源：《数学金刊·高考版》2013年第10期

正、余弦定理及其应用是高中数学的一个重要内容，是高考必考知识点之一，也是解三角形的重要工具，常常会结合三角函数或平面向量的知识来考查其运用.重点难点

在高考中，本部分知识所考查的有关试题大多为容易题.在客观题中，突出考查正、余弦定理及其推论所涉及的运算；在解答题中，通常联系三角恒等变形、三角形内角和定理、三角形面积公式等知识进行综合考查，常见的有证明、判断、求值（求解斜三角形中的基本元素：角、面积等）及解决实际问题等题型.重点：①正确理解正、余弦定理的概念，了解正、余弦定理之间的内在联系，掌握公式的一些常用变形；②判断三角形的形状；③解斜三角形；④运用正、余弦定理解决一些实际问题以及与其他知识相互渗透的综合问题.难点：①解三角形时解的情况的讨论；②正、余弦定理与三角恒等变换等知识相互联系的综合问题.

第四篇：正余弦定理测试题

正余弦定理测试题

一、选择题

1.已知三角形三内角之比为1：2：3，则它们所对边之比为（）

A.1：2：3B.1:2:C.1::2D.2:3:

22.有分别满足下列条件的两个三角形：（1）B30,a14,b7（2）B60,a10,b9

那么下面判断正确的是（）

A．（1）只有一解（2）也只有一解B．（1）有两解（2）也有两解

C．（1）有两解（2）只有一解D．（1）只有一解（2）有两解

3．在△ABC

中，已知角B450,cb，则角A的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°

4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和的（）

A．90° B．120° C．135° D．150°

5．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，那么cosC的值为（）

A．－1 4B．1 4C．－ 2 3D．2

36．△ABC中，∠A=60°，a

A．有一个解

7.6,b4，那么满足条件的△ABC（）C．无解 D．不能确定 B．有两个解(abc)(abc)3ab，则c边所对的角等于（）

A．45B．60C．30D．150

8.锐角三角形的三边长分别为x+x+1,x－1和2x+1(x＞1)，则最大角为（）

A．150°B．120°C．60°D．75°

9．在 中，则三角形的形状为（）2

2A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．等边三角形

10.三角形三条边如下：（1）3，5，7（2）10，24，26（3）21，25，28，其中锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的顺序依次是（）

A．（3）（2）（1）B．(1)(2)(3)C．(3)(1)(2)D．（2）（3）（1）

11.三角形ABC周长等于20，面积等于3,A60，则a为（）

A.5B.7C.6D.8

正余弦定理测试题

12．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么

x的值为

A．3

二、填空题（）C．2或D．3B．2

313．在△ABC中，a2,b6,A30,则C

14．在△ABC中，若∠B=30°,AB=2,AC=2,则△ABC的面积为___。

15．在△ABC中，(sinAsinC):(sinCsinA):(sinAsinB)4:5:6，则最大角的度数是___

16．在△ABC 中，A=3°，b=12，S△ABC =18，则sinAsinBsinC 的值_______。abc

三、解答题

17．已知钝角△ABC 的三边a=k,b=k+2,c=k+4, 求k的取值范围。

18．根据所给条件，判断△ABC的形状.

（1）acosA=bcosB；(2)

19．在△ABC中,已知C60,AB31,线段AC上有一点D，AD=20，BD=21，求BC长。

20.a、b、c为△ABC的三边，其面积S△ABC=123,bc=48,b－c=2,求a.21.已知a2b2c2bc,2b3c,a，求ABC的面积。

22.（2011.陕西）叙述并证明余弦定理。

abc． cosAcosBcosC

第五篇：2011正余弦定理

（2011大纲卷）

17.（本小题满分10分）

ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c

。已知AC90,ac，求C（2011课标卷）

16.在

ABC中，B60,ACAB2BC的最大值为。

（2011山东）

（17）（本小题满分12分）

在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA-2cosC2c-a=.cosBb

sinC的值； sinA

1（Ⅱ）若cosB=，b=2,求△ABC的面积S.4（Ⅰ）求

（2011江苏卷）

15、在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c

（1）若sin(A)2cosA, 求A的值； 6

1（2）若cosA,b3c，求sinC的值.3

（2011浙江卷）

（18）（本题满分14分）在ABC中，角A.B.C所对的边分别为a,b,c.1已知sinAsinCpsinBpR,且acb2.45（Ⅰ）当p,b1时，求a,c的值； 4

(Ⅱ)若角B为锐角，求p的取值范围；

（2011福建卷）

14.如图，ABC中，ABAC

2，BCD在BC边上，ADC450，则AD的长度等于___________.（2011安徽卷）

o（14）已知ABC 的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_______________

（2011天津卷）

6．如图，在△ABC中，D是边AC

上的点，且ABCD,2AB,BC2BD，则

sinC的值为

A

．3B

．

6CDb a（2011辽宁卷）4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a，则

A．B．CD（2011湖南卷理数）

17.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC.(Ⅰ）求角C的大小；

（2011陕西卷）

18．（本小题满分12分）

叙述并证明余弦定理。)的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。

4（2011江西卷）

17.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin

（1）求sinC的值

（2）若 a2+b2=4(a+b)-8，求边c的值

（2011湖北卷）C

216.（本小题满分10分）

1设ABC的内角A.B.C所对的边分别为a.b.c，已知a1.b2.cosC.4

（Ⅰ）求ABC的周长

（Ⅱ）求cosAC的值

（2011重庆卷）

（ab）c4，且C=60°，则（6）若ABC的内角A、B、C所对的变a、b、c满足2

2ab的值为

（A）42（B）8(C)1(D)3

3（2011四川卷）

6.在ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则A的取值范围是

（A）(0,]（B）[,)（C）(0,]（D）[,)6633

（2011上海卷）

6.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB75,CBA60，则A、C两点

之间的距离为千米.