证明线段相等角相等平行垂直的方法 Microsoft Word 文档

第一篇：证明线段相等角相等平行垂直的方法 Microsoft Word 文档

平面几何定理总结

1、证明两条线段相等的方法

（1）全等三角形的对应边、对应角相等

（2）在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

（3）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等

（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

（6）直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

（7）线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

（8）直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方

（9）平行四边形的对边相等

（10）夹在两条平行线间的平行线段相等

（11）矩形的对角线相等

（12）菱形的四条边都相等

（13）正方形的四条边相等、两条对角线相等

（14）等腰梯形的两条对角线相等

（15）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

（16）经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

（17）经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

（18）三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

（19）梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

（20）垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

（21）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

（22）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等

（23）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

（24）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

2、证明角相等的方法

（1）同角或等角的补角相等

（2）同角或等角的余角相等

（3）两直线平行，同位角相等

（4）两直线平行，内错角相等

（5）两直线平行，同旁内角互补

（6）等腰三角形的两个底角相等

（7）平行四边形的对角相等

（8）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

（9）等腰梯形两底角相等

（10）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

（11）同弧或等弧所对的圆周角相等

（12）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

（13）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

（14）圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

（15）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

（16）等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于603、证明平行的方法

（1）如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

（2）同位角相等，两直线平行

（3）内错角相等，两直线平行

（4）同旁内角互补，两直线平行

（5）三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

（6）梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

（7）如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

（8）到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

4、证明垂直的方法

（1）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合（3）和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

（4）三角形两边a、b的平方和、等于第三边c的平方，则此三角形直角三角形

（5）矩形的四个角都是直角

（6）菱形的对角线互相垂直

（7）正方形的四个角都是直角

（8）平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

（9）半圆(或直径)所对的圆周角是直角

（10）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

（11）圆的切线垂直于经过切点的半径

5、证明全等或相似的方法

（1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

（2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

（4）有三边对应相等的两个三角形全等

（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

（6）关于某条直线对称的两个图形是全等形

（7）关于中心对称的两个图形是全等的（8）平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似

（9）两角对应相等，两三角形相似

（10）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

（11）三边对应成比例，两三角形相似

（12）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

（13）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

6、有关比例的定理

（1）比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc

（2）合比性质 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

（3）等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

（4）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

（5）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例

（6）平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

（7）相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

（8）相似三角形周长的比等于相似比

（9）相似三角形面积的比等于相似比的平方

（10）相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

（11）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

（12）切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

（13）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

7、几何不等式

（1）三角形两边的和大于第三边

（2）三角形两边的差小于第三边

（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

第二篇：证明线段相等的方法

证明线段相等的方法

三角形中：

①同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。

③④有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形。

过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

（三）四边形中：

①平行四边形对边相等，对角线相互平分。

②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。

③等腰梯形两腰相等、两对角线相等。

证明角相等的方法

（一）相交直线及平行线：

①二直线 相交，对顶角相等。

②二平行线被第三直线所截时，同位角相等，内错角相等，外错角相等。

③同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，凡直角

都相等。

④角的平分线分得的两个角相等。

⑤自两个角的顶点向角内看角的两边，若有一角的左边平行

（或垂直）于另一角左边，一角的右边平行（或垂直）于另

一角的右边，则此二角相等

（二）三角形中：

①同一三角形中，等边对等角。（等腰三角形两底角相等、等边三角形三内角相等）

②等腰三角形中底边上的高或中线平分顶角。

③有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形（三

内角都相等）

④直角三角形中，斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角

形

证明直线垂直的方法

（一）相交线与平行线：

①两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直。②两平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。

（二）三角形：

①直角三角形的两直角边互相垂直。

②三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。

证明直线平行的方法

（一）平行线与相交线：

①在同一平面内两条不相交的直线平行。

②同平行、或同垂直于第三直线 的两条直线平行。

③同位角相等、或内错角相等、或外错角相等、或同旁内角互补、或同旁外角互补的两条直线平行。

证明直角三角形的方法

①有一个角为90°，则这个三角形为直角三角形

②∠A:∠B:∠C=1:1:2，则这个三角形为直角三角形

③有两个角的和为90°，则这个三角形为直角三角形

第三篇：证明线段相等的技巧

证明线段相等的技巧

要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况：

（1）要证明的两条线段分别在两个三角形中；（2）要证明的两条线段在同一个三角形中；（3）要证明的两条线段在同一条直线上或其它情况。

一、如果要证明的两条线段分别在两个三角形中

一般的思路是利用两条线段所在的两个三角形全等。

例1 已知：如图1，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB，求证：AE=DB。

二、如果要证明的两条线段在同一三角形中

一般的思路是利用等角对等边。

例2 已知：如图2，△ABC中AB=AC，D为BC上一点，过D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于F，求证：AE=AF。

三、如果要证明的线段在同一直线上或其它情况

一般的思路是作辅助线构成全等三角形或利用面积法来证明。

例3 已知：如图3，△ABC中AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD=EC，连结DE交BC于F，求证：DF=EF。

例4 已知：如图5，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、CD上一点，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求证：AG=CH。

分析：从结论入手，要证线段AG=CH就看线段AG、CH是否在同一三角形中的两条边或两个三角形中的两条边，这里的AG、CH虽然在两个三角形中，但显然不全等，作辅助线构成全等三角形也无法作，由于BE=BF要证明的线段AG、CH恰是这两边上的高，这时就应该想到面积法，作辅助线构成两个等底等高的三角形或平行四边形，很显然结合已知条件可知构成平行四边形，延长AD到S使DS=AE，连结CS。延长ACD到R使DR=CF，连结AR证明略。

证明线段和角相等的技巧

⒈ 怎样证明两线段相等

证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：

⑴ 三角形

①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；

②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；

③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；

④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；

⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等； ⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；

⑵ 证特殊四边形

①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；

②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；

③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；

⑶ 圆

①同圆或等圆的半径相等；

②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；

③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量

都相等；

④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；

⑷ 等量代换：若a=b，b=c，则a=c；

等式性质：若a=b，则a－c=b－c；若a

cb

c，则a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等.⒉ 怎样证明两角相等

证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有：

⑴ 同角（或等角）的余角、补角相等；

⑵ 证明两直线平行，同位角、内错角相等；

⑶ 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；

⑷ 全等三角形、相似三角形的对应角相等；

⑸ 同一三角形中，等边对等角，等腰三角形三线合一；

⑹平行四边形的对角相等；等腰梯形同一底上的两个角相等； ⑺ 同圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等；

第四篇：传统方法证明平行与垂直

立体几何——证明平行与垂直

证明平行

Ⅰ、线面平行：证明线面平行就证明线平行于面内线。（数学语言）

性质：直线a与平面α平行，过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。Ⅱ、面面平行：证明面面平行，只需证明一个面内有一组相交线与另一平面平行。（数学语言）性质：两平行平面与第三个平面相交则两交线平行。

可看出线线平行是证明平行中的基础。

Ⅲ、证明线线平行的方法：中位线法、平行四边形法。

这两种方法的应用在证明线面平行中表现的尤为突出。具体如下：

证明线面平形关键是找到平面内与线平行的那条线。我们的方法是将所证直线朝所证平面的端点或中点平移得到与直线平行的直线，根据得到直线与原直线长为2倍关系还是相等决定在说明线线平行时用中位线法还是平行四边形法。（1）中位线法（正方形）

（2012浙江）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为BAD＝120°，且PA⊥

平面ABCD，PA＝M，N分别为PB，PD的中点． 证明：MN∥平面ABCD；



A'B'C'，ACAA',点M，NBAC90（2012 辽宁）如图，直三棱柱ABC，AB

'B和B'C'的中心。分别为A

//平面A'ACC'（I）证明：MN；

BC'

B

C

'MNC（II）若二面角A为直二面角，求的值。

在中位线法中由底边与中位线端点连线延长线的交点确定用到的三角形。（2）平行四边形法（45套D5套）

（2010安徽）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC，H为BC的中点。

EF

DC

A

求证：FH∥平面EDB；

(2010北京)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥，CE=EF=1.求证：AF∥平面BDE；

通过证明另一组对边平行且相等来证四边形为平行四边形，通过证另一组对边平行且等于第三条线的一半来证明其平行且相等。

证明垂直

Ⅰ、线面垂直：证线垂直于面就证明线垂直于面内一组相交线。（数学语言）

性质：若直线a垂直于平面α则a垂直于α内的所有直线。（证明异面直线平行）

1、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，证明：BD⊥平面PAC。

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=

中点，DC1⊥BD。

（1）证明：DC1⊥平面BCD；

12AA1，D是棱AA1的2Ⅱ、面面垂直：证面面垂直就证面内有一条线垂直于另一平面。（数学语言）性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

Ⅲ、证明线线垂直的方法（证明异面直线垂直）

（1）由线面垂直的性质（即证线垂直于线就证线垂直于线所在的一个面）

（2012天津）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.证明PC⊥AD；

DP

（2012·安徽卷）平面图形ABB1A1C1C如图1－4(1)所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C15.证明：AA1⊥BC

（2）勾股定理（证明共面直线垂直）（11年大纲全国）如图，棱锥SABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1。

证明：SD⊥平面SAB；

第五篇：初中几何证明线段和角相等的方法

初中几何证明线段和角相等的方法大全

一、证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。

2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。12.两圆的内（外）公切线的长相等。13.等于同一线段的两条线段相等。

二、证明两角相等

1.两全等三角形的对应角相等。

2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

8.相似三角形的对应角相等。

9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等