全等三角形定义与证明

第一篇：全等三角形定义与证明

全等三角形

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

三边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“SSS”

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“AAS” 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可以简写成“HL”

角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等，角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上。

轴对称

一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，我们也说这个图形关于这条直线成轴对称。

能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重叠的点是对应点，叫做对称点。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

与一条线短两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

点（X,Y）关于X轴对称的点的坐标为（X,-Y）

点（X,Y）关于Y轴对称的点的坐标为（-X,Y）

两条边是相等的三角形是等腰三角形。

等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°，三个角都是相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

实数

如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为a,读作“根号a”，a叫做被开方数。

规定，0的算术平方根是0。

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方跟。这就是说如果x的平方等于a，那么x叫做a的平方根。求一个数a平方根的运算叫做开平方。

正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根。

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，这就是说，如果x³=a，那么x叫做a的立方根。求一个数的立方根运算，叫做开立方。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.类似于平方根，一个数的a的立方根，用符号“3a”表示，读作“三次根号a”。其中a是开方数，3是根指数。

很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫做无理数。有理数和无理数统称实数。

实数有理数有限小数或无限循环小

无理数无限不循环小数数

数a的相反数是-a，一个正实数的绝对值是本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.一次函数

我们称数值发生变化的量为变量，有些量的数值是始终不变的，我们称它们为常量。

在一个变化对象中，如果有两个变量x和y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说a是自变量，y是x的函数。当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a是的函数值。

对于一个函数，如果把自变量与函数的每队对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。

正比例函数

形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像是一条经过原点的直线，我们称它为y=kx。当k＞0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随着X的增大y也增大，当k＜0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

一次函数

形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，y=kx+b，即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。当k＞0时,y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小。

函数解析式ykxb选取

解出满足条件的两定点（x1，y1）与（x2，y2）画出取数一次函数的图像

任何一元一次方程都可以转化成ax+b=0(a,b为常数，a≠0)的形式，所以借一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。

由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当函数值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围。每个二元一次方程都对应两个一次函数，于是也就对应两条直线。从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程相当于确定两条直线交点的坐标。

整式的乘法

am

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。乘anamn（m，n都是正整数）amnamn（m，n都是正整数）

n积的乘方，等于我们把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。abanbn（n为

正整数）

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加。两个数的和与这两个数差的积，等与这两个数的平方差。ababab 22

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加，（或减）它们的积的2倍。ab2

2aaba22abb2abb222

添括号时，如果括号前面是正号，扩到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，扩到括号里的各项都改变符号。

同底数幂相除，底数不变，指数相减。aamnamn(a≠0，m，n都是正整数，并且m

＞n)

任何不等于0的数的0次幂都等于一。a1(a0)

单项式相除，把系数与同底数分别相乘作为商的因式，对于只在被除数里含有的之母，则连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以多项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

因式分解

我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。即整式乘法的逆运算。两个数的平方差，等于这个数的和与这个数的差的积。ababab

两个数的平方加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。220ab2

2aaba22abb2abb222

第二篇：全等三角形的定义

12.1《全等三角形》

（一）、自主预习课本2—3页内容，回答下列问题：

1、能够__________的图形就是全等图形, 两个全等图形的_________和________完全相同。

2、一个图形经过______、______、_________后所得的图形与原图形。

3、把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做，重合的边叫做，重合的角叫做。“全等”用“”表示，读作。

4、如图所示，△OCA≌△OBD，对应顶点有：点___和点___，点___和点___，点___和点___；对应角有：____和____，_____和_____，_____和_____；

对应边有：____和____，____和____，_____和_____.ADOB5、全等三角形的性质：全等三角形的相等，相等。

《课后训练》

1.如图所示，若△OAD≌△OBC,∠O=65°,∠C=20°,则∠OAD=.AD

AEDBCFCE

第1题图第2题图

2.如图，若△ABC≌△DEF，回答下列问题：

（1）若△ABC的周长为17 cm，BC=6 cm，DE=5 cm，则DF =cm

（2）若∠A =50°，∠E=75°，则∠B=

3.如图，△AOB≌△COD，那么∠ABD与∠CDB相等吗？为什么？

B DA

第3题图

4.如图：Rt△ABC中，∠ A=90°，若△ADB≌

△EDB≌△EDC，则∠C=

CEB

第三篇：全等三角形证明

全等三角形证明

1、已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，问AF=CE吗？说明理由。

CA2、已知∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，问AE=DF吗？说明理由。

F3、已知，点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE，问∠D=∠E吗？说明理由。

4、已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，问AB∥CD吗？

A B

C

第四篇：全等三角形证明

全等三角形的证明

1.翻折

如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；

旋转

如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；

平移

如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。

2.判定三角形全等的方法：

（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边（直角三角形中）公理

（2）推论：角角边定理

3.注意问题：

（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；

（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

一、全等三角形知识的应用

（1）证明线段（或角）相等

例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

（2）证明线段平行

例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AE=CF.求证：AB∥CD

（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE

例4 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．

．

例5：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，CD⊥AB,ΔADC、ΔBDO为等腰Rt三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

例6.如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。

N

M

FE

C

A B

第五篇：全等三角形练习题(证明)

全等三角形练习题（8）

一、认认真真选，沉着应战！

1．下列命题中正确的是（）

A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等

C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形对应角的平分线相等 2． 下列各条件中，不能做出惟一三角形的是（）

A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边

C．已知两边和其中一边的对角D．已知三边

4．下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是()

A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D

B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF

C．AB=DE，BC=EF，△ABC的周长= △DEF的周长

D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F

5．如图，在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）

A．1:2B．1:3C．2:3D．1:

46．如图，∠AOB和一条定长线段A，在∠AOB内找一点P，使P到OA、OB的距离都等于A，做法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=A，H为垂足．（2）过N作NM∥OB．（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于P．（4）点P即为所求．

其中（3）的依据是（）

A．平行线之间的距离处处相等

B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上

C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等

D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

7． 如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条 角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（）

A．1︰1︰1B．1︰2︰3C．2︰3︰4D．3︰4︰

58．如图，从下列四个条件：①BC＝B′C，②AC＝A′C，③∠A′CB＝∠B′CB，④AB＝A′B′中，任取三个为条件，ANCA

C F 余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

9．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上 取两点C，D，使CD=BC,再定出BF的垂线DE，使A，C，E在同 一条直线上，如图，可以得到EDCABC，所以ED=AB，因

E

此测得ED的长就是AB的长，判定EDCABC的理由是（）A．SASB．ASAC．SSSD．HL

10．如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边 翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（）

A．80°B．100°C．60°D．45°．

二、仔仔细细填，记录自信！

11．如图，在△ABC中，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠CED=_____．

12．已知△DEF≌△ABC，AB=AC，且△ABC的周长为23cm，BC=4 cm，则△DEF的边中必有一条边等于______．

13． 在△ABC中，∠C=90°，BC=4CM，∠BAC的平分线交BC于D，且BD︰DC=5︰3，则D到AB的距离为_____________．

14． 如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出_____个．

BE

BCDE

分别是锐角三角形ABC和锐角三角形ABC中BC,BC边上的高，且15． 如图，AD，ADB，ABAAD

D若使△ABC≌△ABC，请你补充条件___________．(填写一个你认为适A．

当的条件即可)

C

'

'

B D D

17． 如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关

'

C

'

系是__________．

19． 如右图，已知在ABC中，A90,ABAC,CD平

分ACB，DEBC于E，若BC15cm，则△DEB 的周长为cm．

E

C

20．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=900，E是

BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=350，如图，则∠EAB是多少 度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．

三、平心静气做，展示智慧！

21．如图，公园有一条“Z”字形道路ABCD，其中

AB∥CD，在E,M,F处各有一个小石凳，且BECF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由．

22．如图，给出五个等量关系：①ADBC ②ACBD ③CEDE ④DC⑤DABCBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确 的结论（只需写出一种情况），并加以证明．

已知：

求证：

证明：

23．如图，在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C． 求证：点C在∠AOB的平分线上．

A

B

B

如图，已知△ABC和△DEC都是等边三角形，∠ACB=∠DCE=60°，B、C、E在同一直线上，连结BD和AE.求证：BD=AE.2．已知：如图点C是AB的中点，CD∥BE，且CD=BE.求证：∠D=∠E.3．已知：E、F是AB上的两点，AE=BF，又AC∥DB，且AC=DB.求证：CF=DE。

4．如图，D、E、F、B在一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE。求证：⑴AE=CF；⑵AE∥CF；⑶∠AFE=∠CEF。

1、已知：如图，∠1＝∠2，∠B＝∠D。求证：△AFC≌△DEB4、已知：AD为△ABC中BC边上的中线，CE∥AB交AD的延长线于E。

求证：（1）AB＝CE； ５、已知：AB＝AC，BD＝CD

求证：（1）∠B＝∠C

（2）DE＝DF

６．已知：AD为△ABC中BC边上的中线，CE∥AB交AD的延长线于E。７．已知：如图，AB=CD，DA⊥CA，AC⊥BC。

求证：△ADC≌△CBA

求证：（1）AB＝CE；

参考答案

一、1—5：DCDCD6—10：BCBBA

二、11．100° 12．4cm或9．5cm 13．1．5cm 14．4 15．略

16．1AD5 17． 互补或相等 18． 180 19．15 20．350

三、21．在一条直线上．连结EM并延长交CD于F' 证CFCF'． 22．情况一：已知：ADBC，ACBD

求证：CEDE（或DC或DABCBA）

证明：在△ABD和△BAC中 ∵ADBC，ACBD

ABBA

∴△ABD≌△BAC

∴CABDBA∴AEBE

∴ACAEBDBE

即CEED

情况二：已知：DC，DABCBA

求证：ADBC（或ACBD或CEDE）证明：在△ABD和△BAC中DC，DABCBA∵ABA B

∴△ABD≌△BAC

∴ADB C

23．提示：OM=ON，OE=OD，∠MOE=∠NOD，∴△MOE≌△NOD，∴∠OME=∠OND，又DM=EN，∠DCM=∠ECN，∴△MDC≌△NEC，∴MC=NC，易得△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC，∴点C在∠AOB的平分线上．

四、24．(1)解：△ABC与△AEG面积相等

过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，则

AMCANG90

四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形

BAECAG90，ABAE，ACAGBACEAG180



EAGGAN180BACGAN△ACM≌△AGN



D

CMGNS△ABC

ABCM，S△AEG

12AEGN

S△ABCS△AEG

(2)解：由(1)知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和

这条小路的面积为(a2b)平方米．