第一篇：数学建模国赛论文规范
本科组参赛队从A、B题中任选一题，专科组参赛队从C、D题中任选一题。论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左
侧装订。
论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。
论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体
内容和格式见本规范第三页。
论文题目和摘要写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文。论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从
“1”开始连续编号。
论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中；二级、三级标题
用小四号黑体字，左端对齐（不居中）。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。
提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整
篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。
引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：
[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。
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[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。参考文献中网上资源的表述方式为：
[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。
在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求（如在本规范要
求的第一页前增加其他页和其他信息，或在论文的最后增加空白页等）；从承诺书开始到论文正文结束前，各赛区不得有本规范外的其他要求（否则一律无效）。
本规范的解释权属于全国大学生数学建模竞赛组委会。
第二篇：数学建模国赛论文写作格式
论文题目居中（用3号黑体字）
姓名(学号)姓名(学号)姓名(学号)姓名(学号)姓名(学号)（中国海洋大学数学科学学院××专业2008级×班，青岛•266100）
摘要：摘要二字要用小5号黑体．摘要应写清别人研究此问题的情况，你为什么对此模型进行了研究, 得到了什么结论, 应用到什么领域, 仿真结果说明了本文结果的可行性与有效性.文章的句号一律用圆点.关键词：选择3～5个关键词;中间用分号分开;最后不加任何标点符号
0 引言(用４黑,顶头写)说清题目来源,国内外现状分析以及存在的主要问题等,说明你要研究的内容，并按文章出现的顺序注明参考文献的序号.如[1][2][3];或[1-３]放在右上角(用5号宋体).1 模型准备(用5黑,顶头写)写清模型准备的内容与符号说明(用5宋).公式要居中,全篇论文按(1),(2),┄等编号,放在公式的最右边.如
dxx(t)dt(t)(1)dt0x2 模型假设(用5黑,顶头写)写清模型假设的内容(用5宋).分1),2),┄等书写清楚.3 模型建立(用5黑,顶头写)写清建模机理(用5宋),建模过程,分析各变量之间的关系.必要时可分子节，如：3.1;4 模型求解(用5黑,顶头写)对建立的模型进行求解(用5宋).必要时,可建立子节,如4.1情形1;4.2情形2;等.5 模型分析(用5黑,顶头写)分析模型各变量的意义与模型的性质,说明对实际的具体指导作用(用5宋).6 模型检验(用5黑,顶头写)把建立的模型放到实际中进行检验,若不符合要求,须重新调查、重新建模.7 模型应用(用5黑,顶头写)将所建立的模型应用到同类问题的实际中.8 结论(用5黑,顶头写)说清该模型的作用、意义和已解决的问题等.致谢: 感谢基金资助或别人提供的帮助等.参考文献
[1]任善强,雷鸣.数学模型[M](第二版).重庆:重庆大学出版社,1998,1-80.[2]赵静,但琦．数学模型与数学实验[M]（第２版）．北京：高等教育出版社，2003，8-37.[3]高存臣等．赛跑的最优速度设计及其应用[J]．控制与决策，2004.19(2): 199-203.注: 1.论文要求写到4000-7000字,即10页A4纸,字数不到者请写出学习本课程的体会.2.论文要求用计算机打印出来,交上一份,并寄到相应的杂志,以收到稿件为准计算本课程的成绩,并将稿件用E-mail发给任课教师: ccgao@ouc.edu.cn , 电话:66787215；***
第三篇：2014年国赛数学建模论文-嫦娥三号
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参 赛规则》 以下简称为（“竞赛章程和参赛规则” 可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有 违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人
(打印并签名)：
A
（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容 请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）
日期： 2014 年 月 15
日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评 阅 人
评 分
备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
摘要
采用软轨道方式使探测器相对于月球的速度小，能够使探测器安全着月，嫦娥三号 软轨道的设计关键考虑探测器安全着陆在相对平坦的区域和燃料的节省。本文主要解决以下三个问题：
针对问题一，假设嫦娥三号着陆过程为类平抛运动。依据嫦娥三号的着陆准备轨道、着月点、月心在同一平面上的原理，利用万有引力提供向心力公式
M 1M 2V2，计算求得嫦娥三号在近月点的速度为 1.6725km/s，远月点速度G M22R h1 R h1
为 1.633km/s。以近月点在月球赤道面的投影为原点建立空间直角坐标
系，运用空间几何与勾股定理建立等量关系，勾勒出月球表面三维坐标图，测得轨道面
（45.01N，15000），与赤道面的夹角 arcsin 0.8839，进而确定近月点的位置为 21.82W，方向
在月心空间极坐标系中表示为(sin , cos , 0)，嫦娥三号在远月 点的位置、方向是
(（158.62E，25.08S，100000），sin , cos , 0)。
针对问题二，首先分析六个阶段，主要分析主减速阶段、粗避障和精避障三个阶段； 对主减速轨道主要考虑以燃料为主，根据牛顿第二定律，列出嫦娥三号运动方程式为
a竖 1 /m）-g（km，建立非线性规划模型，确定最优轨道；并且使性能指标
T
J(x Qx u T ru)dt 极小。对粗避障和精避障阶段通过分析照片，利用程序建立三维
图形，模拟月球待选降落区域，利用 C 语言对高度相对平坦区域的数据进行了处理，即 对高度的方差分析，选择相对平坦区域；对精避障阶段增加分析指标，准确确定降落区 域，在缓慢下降阶段，开启发动机，降速。为解决问题三奠定了基础。
针对问题三，主要考虑位置误差、速度误差、轨道根数误差，根据轨道和轨道的位 置以及探测器速度的大小，建立月心坐标系和探测器非惯性坐标系采用开普勒根数进行 误差分析。
关键词：近月制动 非惯性坐标系 开普勒根数
一、问题重述
嫦娥三号于 2013 年 12 月 2 日 1 时 30 分成功发射，12 月 6 日抵达月球轨道。嫦娥 三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生 1500N 到 7500N 的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为 2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的 推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号 的预定着陆点为 19.51W，44.12N，海拔为-2641m
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键 问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月 点 15km，远月点 100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共 分为 6 个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消 耗。
让我们建立数学模型来解决以下问题：
问题一：确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方 向。
问题二：确定嫦娥三号的着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略。
问题三：针对上述确定的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
二、问题分析
嫦娥工程是我国探月工程的开始，嫦娥工程分为“绕、落、回”三个阶段。
第一阶段建立了我国月球探测航天工程初步系统。在此阶段我国成功实施了嫦娥一 号探测工程。
第二阶段目标研制和发射月球探测器，用软着陆的方式降落在月球上进行探测。为 以后建立月球基地的选址提供月面的化学和物理参数。
第三阶段目标是月面巡视勘察与采样返回。采集关键性样品返回地球，对着陆区进 行考察，为下一步载人登月探测准备，为建立月球哨站的选址提供数据资料。嫦娥三号是嫦娥工程第二阶段的登月探测器，嫦娥三号探测器在绕星体运动的时候 受到向心力的作用，此时的椭圆轨道一定是和月球的球心在同一平面上，也就是说探测 器沿椭圆轨道绕月球球心运动。嫦娥三号在着陆准备轨道的近月点脱离轨道被月球捕 获，采用近月制动，保证探测器安全着月。在探测器的着陆过程中，探测器做曲线运动，我们假设这个曲线运动为水平方向的匀减速和竖直方向的匀加速的类平抛运动。由材料 二着陆过程中的快速调整阶段调整探测器姿态使探测器只沿竖直方向运动。在沿竖直方 向运动的过程中，探测器进行拍照，探测器运用程序对照片分析，根据分析结果平移选 择合适降落位置。
2.1 问题一的分析
确定近月点的位置，根据物理学知识，假设着陆过程为类平抛运动，竖直和水平方 向做匀变速运动，进行运动分析，确定近月点和着月点的水平距离，用空间天体运动公 式计算出来速度大小，远月点的位置和速度大小用同样的方法计算出来，方向是和近月 点的相反。
2.2 问题二的分析
六个阶段的降落过程中，主减速阶段将接近1.7km/s 的速度减到 60m/s 左右，必须 要产生尽可能大的阻力，是最消耗燃料的一个阶段。快速调整阶段是调整探测器姿态使 其在以后的过程朝竖直方向下降。粗避障利用光敏感成像技术分析月面地形；来判断降 落的大致位置，调整发动机来粗步避开大陨坑。依据附件三有选择的选取地表数字高程 图进行分析。细避障阶段要求嫦娥三号悬停在距离月面 100 处，据附件四的三维数字高 程图并分析，需要避开较大的陨石，并确定最佳着陆地点。2.3 问题三的分析
对问题三研究的意义的分析 对于问题三：
根据轨道和轨道的位置以及探测器速度的大小，建立月心坐标系和探测器非惯性坐 标系采用开普勒根数进行误差分析。
三、模型的基本假设
1、假设不考虑月球的自转和公转
2、假设地球对探测器没有吸引力
3、假设我们搜集的数据合理有效
四、符号说明
F ：探测器绕月球飞行向心力 F FG ：探测器在月球上空的重力 G ：月球上的万有引力系数 R :月球平均半径
h1, h2 :近月点、远月点离月球表面的距离 M 1 :月球质量
s ：近月点与着月点的水平距离 V :探测器在近、远月点的速度 M 2 :探测器质量
V0 , Vt :主减速段近月点水平方向的初始和末速度 s 2 ：方差
V0, Vt :主减速段近月点竖直方向的初始和末速度 m1 ：燃料消耗变化率
a1, a2 :分别是竖直和水平方向上的加速度大小 注：部分符号见模型建力和求解过程
五、模型的建立与求解
5.1 问题一的模型建立与求解：
嫦娥三号着月是从椭圆轨道做类平抛运动。探测器做着月准备工作时一直沿椭圆轨 道，由物理学中天体运动知识，探测器在绕星体运动的时候受到向心力的作用，此时的 椭圆轨道一定是和月球的球心在同一平面上，也就是说探测器沿椭圆轨道绕月球球心运
v2
动。探测器在近月点开始着月，在探测器在椭圆上运动时受到向心力 F m 的作用，r
在近月点,重力刚好提供向心力 F FG，如果速度V 增大，向心力变大，即 F FG ,探测 器脱离椭圆轨道，反之，速度V 变小，向心力 F FG，探测器被星体捕获。近月点速度大小计算：根据万有引力提供向心力得
M 1M 2V2 G M2
（1）
1.6725km / s
2R h1 R hV 1
M 1M 2V2
远月点速度大小计算：同上式得 G M22R h2 R h2
（2）
V 1.633km / s
合速度的分解与合力的分解对应比例相等。竖直方向和水平方向的速度比等于竖直方向 距离和水方向距离的比假设探，测器在着陆的过程中做类平抛运动模型，水平方向上做 匀减速运动，竖直方向做匀加速运动，如图 1：
类平抛运动图
在水平方向上，v0 1672.5m / s, vt 0 在竖直方向上，v '0 0, v 't 57 m / s
竖直和水平方向上的加速度大小分别为 a1，a2
1/ 2a1t 2 a1t v '0 v 't
（3）对运动过程中分析得： tan
1/ 2a2t 2 a2tvt v0
得 tan
1672.5h 12600 tan（4）
ss
5712600
（）式和（）式相等
s 369.71km
1672.5s
所以，近月点在月球上的投影与着月点距离为 369.71km 方向的判定：
R以近月点在月球赤道面的投影为原点建立空间直角坐标系，在月球赤道面上，AOB
为月球半径，再根据经纬度和距离的换算, AC 2171.84km ,运用空间几何与勾股定理 建立等量关系，求出 OBC arcsin 0.8839 ,即为轨道面以赤道面的夹角 如图 2
模拟月球表面三维坐标图
由于椭圆轨道和月球的球心在同一平面上，同时抛物曲线在这个平面内，在近月点速度 方向和空间中月球赤道面平行，轨道面和赤道面相交的直线 OB 与速度平行。建立空间 直角坐标系如图 3
模拟平面图 在抛物运动曲线阶段，水平距离为 s 369.71km，近月点到月球圆心的距离为 1752.013km,着月点的位置是 19.51W , 44.12 N , 所以就能确定近月点的位置，使用
（45.01N，15000），DESKPOR 软件将远月点的位置转化为空间位置 21.82W，方向在月心空间 极坐标系中表示是(sin , cos , 0)。
根据地心对称点是以地心为对称轴的点和地心对称点的特点：经度对称、纬度也对 称。地心对称点的经度是西经度对称东经度，W 对称 E；经度数的和 180°，即经度数互 补。地心对称点的纬度是北纬度对称南纬度，N 对称 S；纬度数相同。远月点的空间位（158.62E，25.08S，100000），置为方向为(sin , cos , 0)在主减速阶段总耗时 442.102s.6.2 问题二的模型建立与求解：
如图 4：以近月点在月球表面的的投影为坐标原点建立空间直角坐标系
模拟飞行轨道图
第一阶段：着陆准备阶段
六个阶段的降落过程中，主减速阶段将接近1.7km/s 的速度减到 60m/s 左右，必须 要产生尽可能大的阻力，是最消耗燃料的一个阶段。我们通过机械能守恒定律可以求出 此区间所需的最低能量。此过程路程由 15km 降落到 3km，共下降 12km。速度由 1672.5m/s 减速到 57m/s , 速度变化为 1615.5m/s。由运动学公式 V 2 V0 2 2as，代入 计算得 a 116.42m / s2，嫦娥三号的总质量 m 3700kg，嫦娥三号所带燃料的质量
m 1300kg，开始降落的总机械能为 W m嫦 g月h mv 2 5.2 109 J，这些机械能将为
下面几个阶段减速降落做准备。第二阶段：主减速阶段
采用非线性变结构控制与状态反馈相结合的控制方法。以竖直方向的控制为例，假 设登月探测器的质量为 m（包括燃料），燃料燃烧后喷出气体相对于探测器的速度为
0 m1 M(M 0)
v1，则喷气发动机产生的推力为 km（m1 为燃料消耗变化率）受不等式，1km / m 的约束，产生的加速度为 1
V
设 h 为登月探测器离地球的表面高度，则登月探测器竖直运动的速度为 竖，加速度为
1a竖
，月球重力加速度为 g
根据牛顿第二定律，列出嫦娥三号运动方程式为：
/m）
-g
（km
x h
a 竖
1，根据运动学方程构建空间表达式，一竖直方向向上为正方向，选取状态变量为
6（5）
x2 v竖，x3 a竖，并 设 x4 a1 x2 a2 x2 a3 x3 u，则 系 统 状 态 方 程 为
0 x1 0 0 x2 0 u
a3 x3 1
（6）
x(0)0, x2(0)v竖 0）0（其中初始状态为 1，m(0)0 ； 探 测 器 的 终 端 状 态 为 x1(t f)x(t f)0;x2(t f)v竖(t f)0;x3(t f)0
。根据方案确定找出最优 u(t)，使探测器着
x1(t f)h, x2(t f)0, x3(t f)0 路到最适宜的位置。使探测器从初始状态 x1(0)x10 , x2(0)x20 , x3(0)x30 转移到终态
控制幅度 u(t)需要在系统偏离工作点状态的正负绝对值大小的范围内取值，即 x1 a1 0 x 0 a 0 x3 0
xi u(t)x，并且使性能指标 J i TT
(x Qx u ru)dt 极小，其
中三
0 阶方针的任意元素都大于零。
根据性能指标，控制系统对应的哈米尔登函数为
（7）H xT Qx u T Ru(Ax bu)
根据最优控制的极小值原理可知
H min xT Qx u T Ru T(Ax bu)
uU22
（8）xT Qx T Ax min(u r 1bT)T R(u r 1bT)
xi u(t)
xi 22T x, r bi 1T
x
i当 u r b , bT Px
xi 时，达到最优控制
t
m T m(t 0)exp k1(a
x1 a2 x2 a3 x3(（xi)sgn(bT Px))dt)其中 P 为矩阵黎卡提t0
xi , b Px
xi 方程 AP PAT PBR 1 BT P Q 0 的解。根据最优控制理论的相关知识可知
x, r b
i
1T
x
i
将公式
（9）
Px 带入控制量 u 的表达式可得 u r 1bT , bT Px
xi
T
xi , b Px
xi
xi , bT Px 0 当 r 0 时，xi M
（10）
故上式为 u r 1bT , bT Px 0
T
即 u（xi)sgn(bT Px)，得到控制变量 u 的最优的表达式，从而得到一个完整的xi , b Px 0
t
控制系统模型。通过公式 F km1 m(a1x1 a2 x2 a3 x3 u)dt 计算登月探探测器实时推 t
0力大小
m m(t 0)exp k1
(a 1 x1 a2 x2 a3 x3((t t0
x)sgn(b
i
T
Px))dt)
计算探测器所需燃料的质量，同时也为下一步探测器的性能做准备。
第三阶段：快速调整阶段
快速调整阶段嫦娥三号速度从 57m/s 下降到水平速度 0m/s,高度从 3000m 降到 2400m，快速调整阶段是调整探测器姿态使其在以后的过程朝竖直方向下降。第四阶段：粗避障阶段
要求满足该阶段在关键点所处的状态为在着陆点上方 30m 处水平方向速度为 0m/s，耗时大约 38s。
在100m 精避障阶段中，我们将高程图分成 4m 4m 小区域共 250 250 个。具体程序见附 录 1。由图 7 可知，如果探测器垂直降落，将会落至黑色区域，而黑色区域是不安全区 域。如图 5：
根据距 2400m 处的数字高程图拟合出的三维图像
要求满足该阶段在关键点所处的状态为距离月面 2.4km 到 100m 区间，在设计着陆 点上方 100m 处悬停，并初步确定落月地点，耗时大约 125s。
在 2400m 粗避障阶段中，我们将所给的高程图分成100m 100m 的小区域共 25 25 个，具体程序见附录 1。分别计算并比较每个区域所含高度 z 值的方差，若方差小，则表明 该区域高度变化不大，通过由小到大排序，得各个区域方差对比情况，如图 6： 求得的结果请看如图 7：
综上，比较这些样本点的方差，根据 S
400
(xi x)2 得出这组数据的方差稳定性最好。x1 2
i 第五阶段：精避障阶段
这个阶段嫦娥三号利用光敏感成像技术分析月面地形；来判断降落的大致位置，调整发动机来粗步避开大陨坑。依据附件三有选择的选取地表数字高程图中 20m 20m 的正方形样本点，依据 C 语言（程序见附录一）计算出它们的平均值，最后计算出一个 方差 S，依次往下面退一行进行其他的正方形样本点的分析求解，分别为 较得出一个最小的正方形区域。
为了让探测器运动较短距离就可达到可降落点，通过同粗避障所用方法一样，利用方差 拟预测地点，比
如图 8：
该阶段要求嫦娥三号悬停在距离月面 100 处，据附件四的三维数字高程图并分析，需要避开较大的陨石，并确定最佳着陆地点。第六阶段：缓慢下降阶段
该阶段嫦娥三号高度从 30m 降到 4m，即实现在距离月面 4m 处相对月面静止。要求 满足该阶段在关键点所处的状态为在距离月面 4m 处的速度为 0m/s。因此对嫦娥三号在 软着陆过程中缓速下降阶段的最优控制策略为发动机推力方向向下，且推力大于月球引 力。
该阶段最优控制策略为推力大小为 0N，关闭发动机关闭，嫦娥三号在距离月面 4m 处以 初速度为 0m/s 自由落体到月面，且地面倾斜度小于 15 度。
6.3 问题三的模型建立与求解：
卫星的轨道误差分析是卫星测控中需要加以约定的重要指标之一，对我们设计的轨道进 行误差分析，我们主要考虑位置误差、速度误差、轨道根数误差。轨道误差
建立月心惯性坐标系 O XYZ，记录 t1 时刻探测器轨道开普勒根数为
(, , , , ,)，位置、速度矢量为,，那么轨道根数误差是 ( , , , , ,)，位置、速度矢 量为 ,，那么有关系是
（11）
(H K)()(Z)(N)
2n
0
式 中 / 为 轨 道 升 交 点 方 向 单 位 矢 量 ； Z 0 为 O XYZ 的 Z 方 向 单 位 矢 量 ；
N 1 p()为轨道面法向量的单位矢量；符号 H , K , H , K , , n 表达式分别为：
r sin E H（12）
(cos E), K(1)
ppn
sin E p
H 1 , K cos E，GM 1（M 1 为月球引力常量）（13）
pr rr p
其中 r r，E 为探测器运动轨迹偏近点角。
轨道位置误差
建立月心惯性坐标系 O XYZ，确定以探测器为中心径向 R、迹向T 和法向 N 三个方向，建立非惯性星体坐标系 S RTN
由开普勒根数误差 表示，在分别求出各根数
由开普勒根数误差 V 表示。在分别求出各根数误差的系数项对 R, T , N 的投影后，将 其相加即得 V r 的 RTN 分量。
H r+Kr
R sin f pr
有 rr对轨道半长轴误差 V 的系数，H r+Kr T
N 0
cos f，T 0，pp（1
4）
H r+Kr N 0
Hr+Kr R
cos f
r（15）
对于轨道偏心率误差 V 的系数，有
Hr+Kr T
(1)sin f
p
对于轨道倾角误差 V 的系数，有
+r R
+r T
+r N r sin
0，0， Hr+Kr N 0
（16）
对于轨道倾角升交点赤经误差 V 的系数，有
Z +r R 0 ，Z +r T r cos i
（17）
N +r N 0
对于轨道升交赤径误差 V 的系数，有
Z +r N r cos sin Z +r T r cos ，Z +r N r cos sin，，对于轨道近地点幅度角误差 V 的系数，有
N +r
p R 0 N +r N
对于轨道平近点角误差 V 的系数，有，
(1 cos f)cos
sin f sin
，N +r N 0
r sin fr 2 1 2r R，T，N 0 nnrn1 2 综上有
r
PR V
cos f V sin f V M
（18）
r 2 1 2
PT 1 sin f V r cos V V M rV
pr PN r sin V r sin cos V(rV)(r sin V)sin(0)同理，将 V 中各根数误差的系数项对 R, T , N 投影后，将其相加即得 V r 的 RTN 分量。
对于轨道半长轴误差 V 的系数，有
rrrr 速度误差
R T 0N 0，222
对于轨道偏心率误差 V 的系数.有
H r+Kr R sin f
pr
H
r+Kr
T
cos f
（19）
pp
H r+Kr N 0
对于轨道倾角误差 V 的系数，有
+r，R 0
+r
T 0，
N p
N +r
(1 cos f)cos
sin f sin
对于轨道升交点赤经误差
的系数，有
ˆˆZ r T
sin f cos
p
（20）
ˆ
ˆ[(1
cos f)sin sin
sin f sin cos ]Z r N
p
pˆ
ˆZ r R cos
r
对于轨道近地点幅角误差的系数，有（21）
ˆˆ Z r R
p / r ˆ
ˆZ r T sin f
p 对于轨道平近点用误差的系数，有
rˆˆZ 1 r N 0
ˆ n(r 3)R n(r 2)
（22）
r ˆ(3)T 0
nr
r
ˆ(3)N 0
nr ppr1 综上有，VR
sin f cos
2prrrnr
VT(cos f)
sin f cos
sin f
pppp
六、模型的评价 VN
[(1 cos f)cos
sin f sin ]
[(1 cos f)sin cos
sin f sin sin ]
pp本文忽略了月球的公转和自转.尽管对于嫦娥三号着陆轨道和控制策略，满
足每个阶段在关键点所处的状态且尽量减少软着陆过程的燃料消耗。但此方面的理论研 究工作任然存在很多不完善、不稳定的工作。针对问题三的误差和敏感性分析，运用 RTN,是航天工业常用的方式,RTN 可以快速方便地分析复杂的陆、海、空、天任务.分析
能力，以复杂的数学算法迅速准确地计算出卫星任意时刻的位置、姿态,评估陆地、海洋、空中和空间对象间的复杂关系,以及卫星或地面站遥感器的覆盖区域。
可见性分析,计算任意对象间的访问时间并在二维地图窗口动画显示,计算结果为图
表或文字报告。可在对象间增加几何约束条件,如遥感器的可视范围、地基或天基系统最 小仰角、方位角和可视距离。
遥感器分析,遥感器可以附加在任何空基或地基对象上,用于可见性分析的精确计
算。遥感器覆盖区域的变化动态地显示在二维地图窗口,包括多种遥感器类型(复杂圆弧、半功率、矩形、扫摆、用户定义)。
姿态分析,RTN 提供标准姿态定义,或从外部输入姿态文件(标准四元数姿态文件),为 计算姿态运动对其他参数的影响提供多种分析手段。
可视化的计算结果,分别以不同的投影方式和坐标系显示。可以向前、向后或实时地 显示任务场景的动态变化:空基或地基对象的位置、遥感器覆盖区域、可见情况、光照条 件、恒星/行星位置,可将结果保存为 BMP 位图或 AVI 动画。
可以对有关卫星任务的各个阶段进行仿真,为卫星系统的论证设计提供直观的二维和三 维图形和可信的仿真分析数据。
七、参考文献
[1] 单永正月球精确定点软着陆轨道设计及初始点选取哈尔滨工业大学
[2] 王鹏基，张熵，曲广吉 月球软着陆飞行动力学和制导控制建模与仿真 中国科学 家 [3]
[4] 谭浩强著 C 程序设计（第四版）清华大学出版社
欧阳自远.月球探测进展与我国的探月运动(下)[J].自然杂志，2005，27(5)：253-257.[5] Thorne J D,et al.Optimal Continuous Thrust Orbit Transfer[R].American Astronautical
Society-96-197.[6] 赵吉松，袁建平，潘雪.月球最优软着陆两点边值问题的数值解法[J].中国空间科学
技术，2009，(4)：21-27.[7] 柳仲贵 卫星轨道误差的相关性
北京跟踪与通信技术研究所
北京
100094
八、附录
附录一
#include
printf(“input 400 scores:n”);for(i=0;i<400;i++)
scanf(“%d”,&score[i]);printf(“n”);
aver=average(score);
printf(“average score is %dn”,aver);
return 0;}
int average(int array[400]){ int i;
int aver,sum=array[0];for(i=0;i<400;i++)
sum=sum+array[i];
aver=sum/400;
return(aver);}附录二
I2=imread('F:附件 3.tif')p2=I2;
[y,x]=size(p2);
[X,Y]=meshgrid(1:x,1:y);pp2=double(p2);mesh(X,Y,pp2);colormap附录三
x=0:1:4;
y1=8-0.5*x.^2;plot(x,y1)hold on y2=8-2*x;plot(x,y2);hold off
第四篇：2012-2015数学建模国赛题目
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
A题 葡萄酒的评价
确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题：
1.分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？ 2.根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。3.分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。
4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？
附件1：葡萄酒品尝评分表（含4个表格）附件2：葡萄和葡萄酒的理化指标（含2个表格）附件3：葡萄和葡萄酒的芳香物质（含4个表格）
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
B题
太阳能小屋的设计
在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。
附件1-7提供了相关信息。请参考附件提供的数据，对下列三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限。
在求解每个问题时，都要求配有图示，给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。
在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。应注意分组连接方式及逆变器的选配。
问题1：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。
问题2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题1。
问题3：根据附件7给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。
附件1：光伏电池组件的分组及逆变器选择的要求 附件2：给定小屋的外观尺寸图
附件3：三种类型的光伏电池（A单晶硅、B多晶硅、C非晶硅薄膜）组件设计参数和市场价格
附件4：大同典型气象年气象数据。特别注意：数据库中标注的时间为实际时间减1小时，即数据库中的11:00即为实际时间的12:00 附件5：逆变器的参数及价格 附件6：可参考的相关概念 附件7：小屋的建筑要求
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
A题
车道被占用对城市道路通行能力的影响
车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。
车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。
视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题：
1.根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。
2.根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
3.构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
4.假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。附件1：视频1 附件2：视频2 附件3：视频1中交通事故位置示意图 附件4：上游路口交通组织方案图 附件5：上游路口信号配时方案图
注：只考虑四轮及以上机动车、电瓶车的交通流量，且换算成标准车当量数。
附件3
视频1中交通事故位置示意图
附件4
附件5
上游路口信号配时方案
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
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B题
碎纸片的拼接复原
破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。请讨论以下问题：
1.对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件
1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果以图片形式及表格形式表达（见【结果表达格式说明】）。
2.对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件
3、附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果表达要求同上。
3.上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达要求同上。【数据文件说明】
(1)每一附件为同一页纸的碎片数据。
(2)附件
1、附件2为纵切碎片数据，每页纸被切为19条碎片。(3)附件
3、附件4为纵横切碎片数据，每页纸被切为11×19个碎片。
(4)附件5为纵横切碎片数据，每页纸被切为11×19个碎片，每个碎片有正反两面。该附件中每一碎片对应两个文件，共有2×11×19个文件，例如，第一个碎片的两面分别对应文件000a、000b。【结果表达格式说明】
复原图片放入附录中，表格表达格式如下：
(1)附件
1、附件2的结果：将碎片序号按复原后顺序填入1×19的表格；(2)附件
3、附件4的结果：将碎片序号按复原后顺序填入11×19的表格；(3)附件5的结果：将碎片序号按复原后顺序填入两个11×19的表格；(4)不能确定复原位置的碎片，可不填入上述表格，单独列表。
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
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A题 嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶 段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：
（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
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B题
创意平板折叠桌
某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。试建立数学模型讨论下列问题：
1.给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm× 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。
2.折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。
3.公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
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A题
太阳影子定位
如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。
如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
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B题
“打车难”问题
此题首先要做的是在网上找相关数据，数据建议限定一个城市，方便建模。
建模过程中要对 “打车难”进行适当的描述(最好能用模型或者变量来描述)，查找依托互联网建立的软件服务平台是如何运作的，再者租车的补贴方案是如何设计的。
这三问是一个递进的过程，篇幅应放在解决第一问上。
(1)根据自己找到的数据，建立合理的指标，来分析不同时空(时间段，地理位置)出租车资源的“供求匹配”程度。
(2)根据前面准备好的“打车难”模型及找到的各公司的出租车补贴方案，来解决第二问。
综合一，二问解决第三问，并对方案合理性进行评价
第五篇：数学建模国赛历年赛题(2000~2014)
2014 A题
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 B题
创意平板折叠桌
2013 A题
车道被占用对城市道路通行能力的影响 B题
碎纸片的拼接复原 2012 A题
葡萄酒的评价 B题
太阳能小屋的设计 2011 A题
城市表层土壤重金属污染分析 B题
交巡警服务平台的设置与调度 2010 A题 储油罐的变位识别与罐容表标定
B题 2010年上海世博会影响力的定量评估 2009 A题
制动器试验台的控制方法分析 B题
眼科病床的合理安排 2008 A题
数码相机定位
B题
高等教育学费标准探讨 2007 A题：中国人口增长预测 B题：乘公交，看奥运 2006 A题: 出版社的资源配置
B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 2005 A题: 长江水质的评价和预测 B题： DVD在线租赁 2004 A题
奥运会临时超市网点设计 B题 电力市场的输电阻塞管理 2003 A题
SARS的传播
B题 露天矿生产的车辆安排 2002 A题
车灯线光源的优化设计 B题
彩票中的数学 2001 A题
血管的三维重建 B题
公交车调度 2000 A题
DNA分子排序 B题
钢管订购和运输
鲁公网安备37028302000876号