数学论文 一道不等式证明题所引起的思考

第一篇：数学论文 一道不等式证明题所引起的思考

一道不等式证明题所引起的思考

王伟卿洛阳市第四十六中学

原问题：设a,b,x,yR,且a2b21,x2y21,试求ax+by1.这是洛阳市2010——2011学年第二学期期中考试高二数学（理）试卷的第19题。考查范围是人教A版选修2—2第二章《推理证明》相关的不等式证明问题。笔者在批改试卷时发现学生在处理本道题时采用了许多种不同的方法，虽然有些方法还不成熟，还存在一些问题，但让我还是感到了欣喜。

高中数学新课程标准中指出：培养和发展学生的数学思维能力是发展智力、全面培养数学能力的重要途径。因此，在新课标下数学的学习要注重学生思维，创造力的培养，一题多解恰恰可以体现学生发散性思维的创造力，运用以前学过的知识解决问题。

就本题而言，学生完全可以采用选修2—2第二章《推理证明》中所讲到的综合法、分析法、反证法来做。下面列举学生的以下处理方法。

（一）综合法：

证明：由题意a2b2x2y2

2又a2x22axb2y22by

2ax2bya2b2x2y22

即axby

1又ax+byaxby

ax+by1

此种方法应该在处理上和理解上都没有什么问题，而且简单明了。而在实际考试中，很少同学可以想到运用此种方法，即使想到的，也存在对绝对值符号的运用问题，不理想。

（二）分析法：

证明：要证明ax+by1成立

只需证ax+by1

即a2x22axbyb2y21

又a2b2x2y21

只需证a2x22axbyb2y2a2b2x2y2

即2axbya2y2b2x2

即a2y22axbyb2x20

即aybx0恒成立

ax+by1成立

此种方法是大部分同学采用的，也很好理解，只是在“1”的代换上可能还不够熟练，有些同学解题过程有些问题。建议老师在处理此种方法时一定要让学生充分体会“1”的代换上的妙用。

（三）反证法： 22

证明：假设ax+by1

则ax+by1

即a2x22axbyb2y21

又a2b2x2y21

a2x22axbyb2y2a2b2x2y2

即2axbyaybx

222222即a2y22axbyb2x20即aybx0

与事实上aybx0相矛盾

原命题 ax+by1成立

在学习过反证法后，很多学生认为什么证明题目都可以用反证法，尤其在不等式证明题中。当然此题用反证法也不错。

以上这些都是基本的常规方法，学生应当掌握。下面让我看看学生采用的向量法、三角还原法。实在不错，值得推广。

（四）向量法： 2证明：设m(a,b),n(x,y)

又a2b21x2y21 m1n1又m nax+by，且m nmncosm,ncosm,nax+bycosm,n又cosm,n

1ax+by1

（五）三角还原法：

证明：由题意：设a=sin,b=cos;

x=sin,y=cos

ax+by=sinsincoscos

=cos()

又cos()1

ax+by1

对于同一道题目，从不同的角度去分析研究，可以引发出多种不同的解法，是学生在处理问题时，充分运用所学的基本不等式，三角函数、向量知识等等来解决问题，不仅可以达到对知识的活学活用，也让学生感受到学习数学的兴趣和喜悦。在一定程度上开拓了学生的思维空间。

第二篇：一道不等式证明题的研究

龙源期刊网 http://.cn

一道不等式证明题的研究

作者：丛俐

来源：《数理化学习·高一二版》2012年第12期

摘要：不等式的证明对逻辑推理能力要求较高，历来是高考中学生公认的难点.教学中如何高效引导学生对不等式的证明进行有效地思维，一直是数学教师“永远的痛”，笔者结合一道经典的例题给出了完整的思维过程，对推动这一难点的研究尽一点微薄之力.关键词：求比法；变形的求差法；变形的基本不等式法；放缩法；导数法

不等式的证明，是高中数学中对逻辑推理能力要求较高的内容.因题型广、起点高、证法活、难度大等方面的原因，不少省编教材已将其列入理科生的选学内容.不等式的证明只要掌握正确的思维过程，学生的畏惧心理就会得到有效的调节.思维过程依次为①比较法（求差或求比都可以考虑）；②基本不等式法（常用的几个不等式最好能牢记）；③分析综合法（二者往往同时出现）；④其他方法（放缩法、数学归纳法等）.如果再注意表达严谨，得分率就可能有明显提高了.这里，笔者结合一道不等式的证明题的思维过程，具体谈谈不等式证明的相关要点.这道证明题，在各类教材辅导用书中出现的概率比较大.其原因有三：一是作为试题，该题在考查相关知识点的考卷中出现的频率高；二是考生对该题普遍出现“动手率高、得分率低”的怪状，有一定的指导价值；三是二次根式是学生的薄弱环节，对提高学生的数学运算能力大有帮助.面对这道习题，学生理所当然地首先考虑比较法.众所周知，比较法的关键在于对“差”或“比”进行变形，变形的方法较多，常用的有配方法、因式分解法、有理化法.本题求差还是求比？观察到两边都是绝对值，利用求比也就比较合乎常理了.

第三篇：三角形三边关系不等式的证明题

三角形边角不等式关系练习题

一、边的不等关系证明

1、如图1，在△ABC的边AB上截取AD=AC，连结CD，（1）说明2AD＞CD的理由（填空）；

解：∵AD+AC＞CD（）又∵AD=AC（）

∴AD+AD＞CD（）

A ∴2AD＞CD（2）说明BD＜BC的理由。

D解：∵_______＜BC（）

又∵AD=AC（）B图1 C ∴AB–AD＜BC（）

而AB–AD=BD A ∴BD＜BC（）

2、如图2，△ABC中，AB=BC，D是AB延长线上的点，说明AD＞DC的理由。

B DC 图2

2、如图3，已知P是△ABC内任意一点，则有AB+AC＞PB+PC.图3

3.如图所示，在△ABC中，D是BA上一点，则AB+2CD>AC+BC成立吗？•说明你的理由．4.如图，已知△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上．求证：BD－BC＜AD－AB．

5．如图，△ABC中，D是AB上一点．求证：（1）AB＋BC＋CA＞2CD；（2）AB＋2CD＞AC＋BC．

6.在右图中，已知AD是△ABC的BC边上的高，AE是BC边上的中线，求证：AB+AE+证明：∵AD⊥BC()∴AB＞AD()在△AEC中，AE+EC>AC()又∵AE为中线()∴EC=

1BC>AD+AC 211BC()即AE+BC>AC()221BC＞AD+AC 2 ∴AB+AE+7.已知如图：D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.参考答案

A2.解：延长BP交AC于E，在△PEC中，PE+EC＞PC ∴BP+EP+EC＞BP+PC 即BE+EC＞BP+PC.在△ABE中，AE+AB＞BE∴AE+EC+AB＞BE+EC，即AC+AB＞BE+EC，∴AB+AC＞PB+PC P

4.AD－AB＝AC＋CD－AB＝CD，∵ BD－BC＜CD，∴ BD－BC＜AD－AB． B

5.（1）AC＋AD＞CD，BC＋BD＞CD，两式相加：AB＋BC＋CA＞2CD．（2）AD＋CD＞AC，BD＋CD＞BC，两式相加：AB＋2CD＞AC＋BC． 7.（法一）将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N，在△AMN中，AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1）

在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）

在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）

由（1）＋（2）＋（3）得：

AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

AA

F MDEGN

DE

BCB 图11图12C

EC3

第四篇：高二数学----不等式的证明题及解答

不等式的证明训练题及解答

一、选择题

(1)若logab为整数,且loga1122>logablogba,那么下列四个结论①>b>a②logab+logba=0bb

③0

x1|>2且|x2|>2x1+x2x1+x2|<4x1|=4且|x2|=

1+(3)若x,y∈R,且x≠y,则下列四个数中最小的一个是（）11

)xy

(4)若x>0,y>0,且xy≤axy成立,则a的最小值是（）

2(5)已知a,b∈R,则下列各式中成立的是（）

22cos2sin2θ·lga+sinθ·lgb

222θsin2θθ·lga+sinθ·lgb>lg(a+bcos·b>a+b

+(6)设a,b∈R,且ab-a-b≥1,则有（）++b≥2(2+1)+b≤+b≥(2+1)2+b≤2(2+1)

二、填空题

22(7)已知x+y=1,则3x+4y2(8)设x=y,则x+y(9)若11≤a≤5,则a+5a(10)A=1+111与n(n∈N)2n

(11)实数x=x-y,则xy

三、解答证明题

2422(12)用分析法证明:3(1+a+a)≥(1+a+a)

(13)用分析法证明:ab+cd≤

a2c2(14)用分析法证明下列不等式:

(1)求证:71(2)求证:x1(3)求证:a,b,c∈R,求证:2（+

x2x3x4(x≥4)

ababc)3(abc)23

(15)若a,b>0,2c>a+b,求证:(1)c>ab；（2）c-c2ab2,求证:

+

1x1y

与中至少有一个小于yx

(17)设a,b,c∈R,证明:a+ac+c+3b(a+b+c)≥(18)已知1≤x+y≤2,求证:

122

≤x+xy+y≤2

n(n1)(n1)2

an(19)设an=223n(n1)(n∈N),求证:对所有n(n22

*

∈N)2

(20)已知关于x的实系数二次方程x+ax+b=0,有两个实数根α,β,证明:(1)如果|α|<2,|β|<2,那么2|α|<4+b且|b(2)如果2|α|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β不等式的证明训练题参考答案：

1．A2．B3．D4．B5．A6．A

*

7．58．-19．［2,26

］10．A≥n11．(-≦,0)∪［4,+≦］ 5

12．证明:要证3(1+a+a)≥(1+a+a)

222222222

只需证3［(1+a)-a］≥(1+a+a),即证3(1+a+a)(1+a-a)≥(1+a+a)≧1+a+a=(a+

123)+>0 24

只需证3(1+a-a)≥1+a+a，展开得2-4a+2a≥0，即2(1-a)≥02422

故3(1+a+a)≥(1+a+a)13．证明:①当ab+cd<0时,ab+cd

②当ab+cd≥0时,欲证ab+cd≤acbd

2222

只需证(ab+cd)≤(a2c2b2d2)

展开得ab+2abcd+cd≤(a+c)(b+d)

***2

即ab+2abcd+cd≤ab+ad+bc+cd，即2abcd≤ad+bc

22222

只需证ad+bc-2abcd≥0，即(ad-bc)≥0

因为(ad-bc)≥0ab+cd≥0时,ab+cd≤a2c2b2d22

22222222

综合①②可知:ab+cd≤a2c2b2d214．证明:(1)欲证71 只需证()2(1)2

展开得12+235>16+2,即2>4+2 只需证(2)>(4+2)，即4>这显然成立

故71(2)欲证x1只需证x1即证(x1

x2x3x4(x≥4)x4x3x2(x≥4)

x4)2(x3x2)2(x≥4)

展开得2x-5+2x1x42x52x3x2 即x1)(x4)(x3)(x2)

只需证［x1)(x4)］<［(x3)(x2)］

即证x-5x+4

x1x2x3x4(x≥4)(3)欲证2（ababcab)≤3(abc)23

只需证a+b-2ab≤a+b+c-3

即证c+2ab≥3

+

≧a,b,c∈R，≨c+2ab=c+ab+ab≥3cabab3

≨c+2ab≥3abc15．证明:（1）≧ab≤（ab222)

（2）欲证c-c2ab

只需证-c2ab

只需证a(a+b)<2ac

≧a>0,只要证a+b<2c(已知)16．证明:(反证法):假设

1y1x1y1x

与均不小于2,即≥2,≥2,≨1+x≥2y,1+y≥2xyxy

两式相加得:x+y≤2,与已知x+y>2矛盾, 故

1x1y

与中至少有一个小于yx

17．证明:目标不等式左边整理成关于a的二次式且令 f(a)=a2+(c+3b)a+c2+3b2+32222

判别式Δ=(c+3b)-4(c+3b+3bc)=-3(b+c)≤0

222

当Δ=0时,即b+c=0,a+(c+3b)a+c+3b+3bc≥02

18．证明:设x=kcosθ,y=ksinθ,1≤k≤2

sin2θ)2

13212222

≧sin2θ∈［-1,1］≨k≤k(1+sin2θ)≤k,故≤x+xy+y≤222

n(n1)2

19．证明:≧n(n1)n=n,≨an>1+2+3+…+n=

1223n(n1)2(12n)nn(n1)n又an

222222

≨x+xy+y=k(cosθ+cosθsinθ+sinθ)=k(1+

n(n2)n22n1(n1)2

,故命题对n∈N222

20．证明:依题设及一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)得:α+β=-a,αβ=:(1)(2)等价

于证明|α|<2,|β|<22|α+β|<4+αβ,且|αβ444

222222

441604()(4)244

2

(4)(4)0

44

2

4或24242444



2或24



22,2.

2

22



第五篇：喜剧电影所引起的愉悦

喜剧电影所引起的愉悦

所谓愉悦，简单来说就是观影快感，也就是在欣赏影视作品时所产生的审美快感。但稍加斟酌就会发现其中存在着巨大的理论空间，显然，受众在观看悲剧电影和喜剧电影时所产生的审美快感是不同的，因此，就有必要首先厘清喜剧与其所引发的特殊的审美愉悦感各自的特点及其相互的关系。

文学、艺术史上对审美愉悦进行分析、阐释的理论著作可谓是卷帙浩繁、洋洋大观，其中时间最早也是影响最为深远的，当属亚里士多德在《诗学》中提出的“katharsis”。他认为：“悲剧是对于一个严肃、完整、有一定长度的行动的模仿„„模仿方式是借任务的动作来表达，而不是采用叙述法；借引起怜悯与恐惧来使这种情感得到陶冶。”在此，“陶冶”的原文即为“katharsis”，这一词汇最早属于宗教范畴，意为“净洗”，在医学中则表示“宣泄”或“求平衡”。表面上看来，亚里士多德“katharsis”所指的“净化”“宣泄”或“陶冶”虽是悲剧引发的观者情感，但细致考察就会发现，它们从根本上属于“移情”，即悲剧激发的情感并非来自于悲剧本身，而是受众在日常生活中所积累得来的，在戏剧冲突的悲剧暗示下，他们得以将日常生活中的负面情绪发泄出来。也就是说悲剧所激发的感情均是以“共情”为基础，通过受众和悲剧英雄的相似经历、更多的则是对悲剧英雄所处困境的设想，来引导宣泄日常不良情绪，从而达到人心理的健康和平稳。www.teniu.cc

那么喜剧电影与观看愉悦的关系是否可以置放在悲剧移情说的框架下进行讨论呢？这在学理上是有其对话平台的。首先，亚里士多德的“katharsis”理论虽然针对的是戏剧，而电影作为舞台表演艺术的延伸，仍旧是以人物的行动来推动情节的展开和矛盾的发展的，因此在艺术门类的特征上，可以将悲剧与电影置放进行讨论。此外，悲剧所引发的是观众的怜悯和恐惧，显然观看喜剧时极少能够引发出这样的情绪。而当我们将其置放在“移情”的框架下进行考量时，则会发现新的理论空间。柏格森在其专论《笑》中说道：“通常伴随着笑的乃是一种不懂感情的心理状态。看来只有在宁静平和的心灵上，滑稽才能产生它震撼的作用。无动于衷的心理状态是笑的自然环境。笑最大的敌人莫过于情感了。我并不是说我们不能笑一个引起我们怜悯甚至爱慕的人，然而当我们笑他的时候，必须在顷刻间忘却这份爱慕，扼制这份怜悯才行。”表面上看，这与“移情”相抵触，但实际上，人们之所以发笑，乃是因为他以其冷静和理智看出了人物或剧情的荒诞之处，也就是说，这些荒诞之所以是荒诞的，是因为它被置放在一个富有逻辑、理性的参考系下进行考量而得来的。因此，观众看出了情节或人物语言、行动的反常，并以笑声对这种反常进行标示。那么，喜剧中的“移情”与悲剧中的完全不同，悲剧的“移情”发生在观众与悲剧英雄之间；而喜剧的“移情”则发生在观众与导演之间。电影中的人物对自身所处的尴尬境地并不知情，而观众和导演则共同看出了其中的可笑之处。

但喜剧电影毕竟不同于马戏团的滑稽表演，它需要一定的思想内涵和深度来支撑起整个故事情节和90~120分钟的电影时长。而喜剧电影中的经典之作，如反映第二次世界大战的《虎口脱险》以及喜剧电影大师卓别林的一系列作品，其对问题讨论的深刻程度往往不亚于一部同等级别的正剧或悲剧。因此，如何平衡喜剧电影中的荒诞和理性则是喜剧电影在编剧和拍摄阶段所要处理的重要问题，荒诞是为了让观众能够看出其中的反常之处，引发人们的笑声；理性则是指故事的发展必须严格按照人物固有的思维逻辑发展，并且这种思维逻辑同样适用于现实中的世界，否则，电影则有可能因为离受众的生活过远而无法被接受；同时，缺少逻辑框架，其中的反常之处则不能被观众察觉，从而失去其喜剧的典型性。于是喜剧电影所要处理的问题则转变为：如何让观众在熟悉的场景中寻找反常的东西。将熟悉的事物倒置，将熟悉的套语用在不合经验的事件之上就成为喜剧电影引发观众笑点的常规技巧。

在《虎口脱险》中，我们看到了一连串不可能发生的事情：两名德国军官在土耳其浴室丢失了军装不可能没有引起党卫军的注意；歌剧院暗杀德国将军失败后英国飞行员和指挥家不可能如此简单地逃离现场；在逃亡的路上法国人和英国飞行员不可能仅靠一车南瓜就摆脱了纳粹一路的围追堵截；而德国军官也不可能让一个“对眼儿”来做机枪手；甚至于在法国大部分已经沦陷的情况下，更不可能还有法国人在池塘边悠闲地钓鱼„„所有这些不可能的情节都在电影里真实、有逻辑地发生了，而由这些情节引发的笑声则都有着同样的指向：纳粹看来愚蠢却也狡猾，英国飞行员勇敢、乐观，但也不时犯犯糊涂，以及法国人的优雅、机智，同时还有他们举世闻名的挑剔和喋喋不休。这样的人物群像将诸多的不可能变为可能，让我们在笑声中看到了平民英雄，也看到了英雄身上的平民本质。

作为电影布景中重要的组成部分，人物的着装也就成为喜剧电影中引发人们笑声的主要手段之一。每当卓别林表演的人物衣着邋遢、穿着一双过大的皮鞋迈着八字步走进观众的视线中时，人们总会不自觉地嘴角上扬；而《百变星君》中，周星驰变身为杨婆婆并用常见的家用电器打败了最先进的机器人杀手时，观众的笑声中不单单只迎合了剧情的不可思议。

服饰设计对观看愉悦的影响

喜剧电影中，居家服饰的设计是为了增加电影本身的陌生化效果，目的是让观众在观看时获得“熟悉的陌生人”的观感，既让观众感觉亲切，又必须具备其滑稽的反常之处，引起人们在更高层次上与导演的情感、思维契合。

陌生化效果是德国戏剧理论家布莱希特喜剧理论中一个极为重要的概念，也被称为间离方法。其理论依据可以追溯到俄国形式主义的诗歌理论，他在《作为手法的艺术》一书中明确指出：“正是为了恢复对生活的体验，感觉到事物的存在，为了使石头成其为石头，才存在所谓的艺术。艺术的目的是要使人感觉到事物，而不是仅仅知道事物。艺术的手法就是使对象变得陌生，使形式变得困难，增加感觉的难度和时间的长度，因为感觉过程本身就是审美目的，必须设法延长。艺术是对事物的制作进行体验的一种方式，而已制成之物本身在艺术中并不重要。”简单来说，诗歌中的“陌生化”是指通过改变人们所熟悉的事物的表现形式——这里更多指的是语言叙述方式，来更新旧有的感知经验，从而获得全新的艺术体验和对事物更深层理解。

布莱希特的“陌生化效果”正是基于“陌生化”而来的，其概念的德文“Verfremdung”是一个极为形象、富有表现力的词汇，同时兼具有间离、异化、疏离及陌生化等多方面的含义。他认为：“戏剧必须使观众惊异。而这就是要依靠对熟悉的事物加以陌生化的技巧。”要达到使观众惊异的效果，就必须让演员和角色保持一定距离，让观众与剧中人物保持一定距离，正是这样的距离让观众发笑，也让其理性思考在笑声中出场。对于陌生化的具体应用，布莱希特则进一步予以了解释，“什么是陌生化？对一个事件或一个人物进行陌生化，首先很简单，把事件或人物那些不言自明的，为人熟知的和一目了然的东西剥去，使人对之产生惊讶和好奇心。”剥去旧有事物的常规外表，在事物全新的显现和人们的认识经验之间制造了间隔；同时，人们得以从全新的角度重新审视原有事物，从而超越了传统认识的局限，这又是对以往观念中不被察觉的认识间隔的超越，从而对事物达到了更高层次的认识和更深刻的理解。

纵观周星驰的喜剧电影，我们会发现他在“打破常规”方面有着极高的天赋。《大内密探零零发》中风流倜傥的陆小凤、笑傲江湖的叶孤城、心思缜密的花满楼、冷傲不群的西门吹雪则却被塑造成了一群不自量力、满脸墨渍、头顶半秃、丑陋猥琐的形象，而他们的衣着仍旧保持着我们对风流倜傥、玉树临风、武功超群的英雄侠客的传统想象。同样，围绕在皇帝周围的“后宫佳丽”一个个面目丑陋，只能靠宫廷的服装标示其身份地位。在此，服饰的设计本身并未表现出任何陌生化的倾向，只有在搭配了与传统完全迥异的人物之后，才能全面引发人们的笑感，并同时让我们以另一种眼光看待那些人中龙凤的所谓“完美生活”。《功夫》中，杨过、小龙女这对神雕侠侣也有了全新的形象突破。孤傲深沉的杨过和不食人间烟火的小龙女不仅成了社会最底层的小人物，两人的服装风格也由雅入俗，杨过的背心、裤衩，小龙女的拖鞋、睡衣以及与火云邪神打斗那场中色彩对比强烈的衣服，这些每家每户都有的衣服向每一位观众发出了来自江湖的“英雄帖”，宣告着我们在平凡的着装之下，都曾有过的惊天动地的英雄梦想。

电影大师卓别林的反纳粹电影《大独裁者》中纳粹领袖希特勒的服饰在设计上更为巧妙。这部电影于1940年上映，而这一年正是希特勒在全球战场高奏凯歌的时期，1940年春天，德军只用了6个星期就打垮了英法联军，并占领了欧洲和北非的大片土地。卓别林在拍摄这部电影期间就曾遭到过恐吓，但他仍旧坚持完成了这部杰作。剧中大独裁者辛格尔的衣着与希特勒几乎完全一样，只在帽子和左臂佩戴的徽章上有所不同，将纳粹标志“卐”改成了两个竖着排列的叉子。这样的处理应该不是为了政治保护的需要，辛格尔与希特勒的造型极为相像，这一点点区别几乎起不到任何保护作用。毫无疑问，这是对希特勒妄图称霸世界这个荒诞梦想的否定和嘲弄。

喜剧与悲剧完全不同，它借由疏离和异化把观众推到适当的距离以外重新理智地审视世界，人物的服饰设计正是喜剧电影达成陌生化的最直观的形式之一，别具匠心的设计为观众和导演在精神情感上更高层次的契合提供了全新的对话平台。