【优秀教案】高中数学第二册上 第六章 不等式：6.3不等式的证明(二)

第一篇：【优秀教案】高中数学第二册上 第六章 不等式：6.3不等式的证明(二)

第七教时

教材：不等式证明二（综合法，分析法，反证法，变换法）

目的：加强不等式证明的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综

合法证明不等式。

过程：1综合法

有时我们可以利用某些已经证明过的不等式(例如均值不等式)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种方法通常叫做综合法,也叫做公式法.例1.已知 a, b , c是不全相等的正数,求证:

ab2c2bc2a2ca2b26abc

证明:

同理 

22b2c22bc,a0ab2c22abc22bacac2abcb2abc

因为, c 不全相等,所以三式不能全取等号 a , b

ab2c2bc2a2ca2b26abc



2分析法

证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种证明方法通常叫做分析法.例2求证72

52都是正数,所以为了证明 证明:因为3和

只需证明

展开得 3725372221022120

22110

215

2125

2125成立,所以3因为 7  2 成立

证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难,例如这道题,我们很难想到从21<25下手,因此,我们常用分析法探索证明的途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要方法

例3证明:当周长相等时,圆的面积比正方形的面积大

LL证明:设周长为,正方形面积为L依题意,圆的面积为4222

所以本题只需证明 LL24

L2L2

为了证明上式成立,只需证明2416411两边同时乘以正数得2L

4因此只需证明: 4

LL上式是成立的,所以: 24

2222这就证明了,如果周长相等,那么圆的面积比正方形的面积大.3反证法 反证法是一种间接证明方法,我们如果欲证明“若A则B”,可以通过否定B来达到肯定B的效果,步骤一般分为三步:1.反设结论不成立;2.归谬,由假设作为条件推出矛盾;3.结论,肯定欲证结论的正确

a,b,c都是小于1的正数,求证: 已知

1ab,1bc,1c

41a中至少有一个不大于444111证明:假设 1ab,1bc,1ca

a,b,c都是小于1的正数

1111ab,1bc,1ca222

31ab1bc1ca2

但是 1ab1bc1ca

1ab1bc1ca222

3所以，矛盾！

4变换法 变换法就是利用拆项或者插项,换元(三角换元,增量换元,等价转化)等变换达到证明不等式的目的,其中,最为常用的就是三角换元法,把多个变量换成同一个角的三角函数值,再用三角公式进行证明.222a,b,cRabc求证: 已知:,且

anbncn(nN,n2)

:由已知,可设 acos,bsin

0sin1,0cos

10sinnsin2,0cosncos2

anbncnsinncosncnsin2cos2cn



三、小结：各种证明方法

四、作业： P15—16练习1，2P18习题6.31，2，3

第二篇：教案-6.3不等式的证明2

6．3 不等式的证明（第二课时）

教学目标

1.进一步熟练掌握比较法证明不等式； 2.了解作商比较法证明不等式； 3.提高学生解题时应变能力.教学重点

比较法的应用 教学难点

常见解题技巧 教学方法

启发引导式 教学活动

（一）导入新课

（教师活动）教师打出字幕（复习提问），请三位同学回答问题，教师点评．

（学生活动）思考问题，回答．

［字幕］1．比较法证明不等式的步骤是怎样的？

2．比较法证明不等式的步骤中，依据、手段、目的各是什么？

3．用比较法证明不等式的步骤中，最关键的是哪一步？学了哪些常用的变形方法？对式子的变形还有其它方法吗？

[点评]用比较法证明不等式步骤中，关键是对差式的变形．在我们所学的知识中，对式子变形的常用方法除了配方、通分，还有因式分解．这节课我们将继续学习比较法证明不等式，积累对差式变形的常用方法和比较法思想的应用．（板书课题）

设计意图：复习巩固已学知识，衔接新知识，引入本节课学习的内容．

（二）新课讲授

【尝试探索，建立新知】

（教师活动）提出问题，引导学生研究解决问题，并点评．

（学生活动）尝试解决问题．

[问题]

1．化简ababab.2．比较35322311与（ab0）的大小． aba

（学生解答问题）

［点评］

①问题1，我们采用了因式分解的方法进行简化．

②通过学习比较法证明不等式，我们不难发现，比较法的思想方法还可用来比较两个式子的大小．

设计意图：启发学生研究问题，建立新知，形成新的知识体系．

【例题示范，学会应用】

（教师活动）教师打出字幕（例题），引导、启发学生研究问题，井点评解题过程．

（学生活动）分析，研究问题．

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［字幕］例题3 已知a，b是正数，且ab，求证

a5b5a3b2a2b3.［分析］依题目特点，作差后重新组项，采用因式分解来变形．

证明：（见课本）

［点评］因式分解也是对差式变形的一种常用方法．此例将差式变形为几个因式的积的形式，在确定符号中，表达过程较复杂，如何书写证明过程，例3给出了一个好的示范．

a2b2ab

[字幕]例4试问：2与（a,b0）的大小关系．并说明理由． 2abab

［分析］作差通分，对分子、分母因式分解，然后分类讨论确定符号．

a2b2ab(a2b2)(ab)(ab)(a2b2)2ab(ab)解：2 22222abab(ab)(ab)(ab)(ab)

因为a,b0，所以2ab0,ab0,a2b20，(a2b2)(ab)0.若ab0，则ab0,2ab(ab)0

所以

2ab0． 22(ab)(ab)a2b2ab.即2ab2ab若ba0，则ab0,2ab(ab)0 所以

2ab(ab)0． 22(ab)(ab)a2b2ab即2

ab2ab若ab0，则ab0,2ab(ab)0 所以

2ab(ab)0． 22(ab)(ab)a2b2ab即2

ab2aba2b2ab.综上所述：

ab0时，22abab

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a2b2ab

ba0时，2 2ababa2b2ab

ab0时，2

ab2ab

［点评］解这道题在判断符号时用了分类讨论，分类讨论是重要的数学思想方法．要理解为什么分类，怎样分类．分类时要不重不漏．

［字幕］例5甲、乙两人同时同地沿同一条路线走到同一地点．甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果mn，问甲、乙两人谁先到达指定地点．

[分析]设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙两人走完这段路程用的时间分别为t1，t2，要回答题目中的问题，只要比较t1、t2的大小就可以了．

解：（见课本）

［点评］此题是一个实际问题，学习了如何利用比较法证明不等式的思想方法解决有关实际问题．要培养自己学数学，用数学的良好品质．

设计意图：巩固比较法证明不等式的方法，掌握因式分解的变形方法和分类讨论确定符号的方法．培养学生应用知识解决实际问题的能力．

【课堂练习】

（教师活动）教师打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请甲、乙两位学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的给予肯定，对偏差及时纠正；点评练习中存在的问题．

（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演．

44223

3［字幕］练习：1．设ab，比较(ab)(ab)与(ab)的大小．



2．已知a,b0，nN，求证(ab)(ab)2(annn1bn1).设计意图：掌握比较法证明不等式及思想方法的应用．灵活掌握因式分解法对差式的变形和分类讨论确定符号．反馈信息，调节课堂教学．

【分析归纳、小结解法】

（教师活动）分析归纳例题的解题过程，小结对差式变形、确定符号的常用方法和利用不等式解决实际问题的解题步骤．

（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．

1．比较法不仅是证明不等式的一种基本、重要的方法，也是比较两个式子大小的一种重要方法．

2．对差式变形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．

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3．会用分类讨论的方法确定差式的符号．

4．利用不等式解决实际问题的解题步骤：①类比列方程解应用题的步骤．②分析题意，设未知数，找出数量关系（函数关系，相等关系或不等关系），③列出函数关系、等式或不等式，④求解，作答．

设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的知识体系．

（三）小结

（教师活动）教师小结本节课所学的知识及数学思想与方法．

（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

本节课学习了对差式变形的一种常用方法——因式分解法；对符号确定的分类讨论法；应用比较法的思想解决实际问题．

通过学习比较法证明不等式，要明确比较法证明不等式的理论依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号的重要方法，并在以后的学习中继续积累方法，培养用数学知识解决实际问题的能力．

设计意图：培养学生对所学的知识进行概括归纳的能力，巩固所学的知识，领会化归、类比、分类讨论的重要数学思想方法．

（四）布置作业

1．课本作业：P17 7、8。

2，思考题：已知a,b0，求证abab.3．研究性题：对于同样的距离，船在流水中来回行驶一次的时间和船在静水中来回行驶一次的时间是否相等？（假设船在流水中的速度和部在静水中的速度保持不变）

设计意图：思考题让学生了解商值比较法，掌握分类讨论的思想．研究性题是使学生理论联系实际，用数学解决实际问题，提高应用数学的能力．

（五）课后点评

1．教学评价、反馈调节措施的构想：本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，通过启发诱导学生深入思考问题，解决问题，反馈学习信息，调节教学活动．

2．教学措施的设计：由于对差式变形，确定符号是掌握比较法证明不等式的关键，本节课在上节课的基础上继续学习差式变形的方法和符号的确定，例3和例4分别使学生掌握因式分解变形和分类讨论确定符号，例5使学生对所学的知识会应用．例题设计目的在于突出重点，突破难点，学会应用．

作业答案

abbaaabbaabba()ab.思考题：证明：baababbaaabaabb1，故ba1.因为a,b0，所以当ab0时，1,ab0()bbab

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又因为ab0，所以abab.baabbaaaabaabb1，即ba1，所以aabbabba.当ba0时，01,ab0，故()bbabaaabaabb1，即ba1，所以aabbabba.当ab0时，1,ab0.故()bbab

综上所述，abab.研究性题：设两地距离为s，船在静水中的速度为u，水流速度为v（uv0），则 abbass2s2v2st流t静()0 22uvuvuu(uv)所以船在流水中来回行驶一次的时间比在静水中来回行驶一次的时间长．

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第三篇：高中数学不等式证明常用方法

本科生毕业设计（论文中学证明不等式的常用方法

所在学院：数学与信息技术学院

专 业： 数学与应用数学

姓 名： 张俊

学 号： 1010510020 指导教师： 曹卫东

完成日期： 2014年04月15日）

摘 要

本文主要是对高中学习阶段不等式证明方法的概括和总结.不等式的证明方法多种多样,其中有比较法,分析法,综合法,反证法,数学归纳法,放缩法等常见的方法,另有一些学生比较不熟悉但也经常采用的方法,如构造法,向量法,求导法,换元法等等.关键词: 不等式的证明;函数的构造;极值;导数

ABSTRACT

This paper is mainly on the high school stage the inequality proof method and summarized.The inequality proof methods varied, including comparison, analysis, synthesis, reduction to absurdity, mathematical induction, scaling and other common methods, and some students are not familiar with but also the methods used, such as construction method, vector method, derivation method, method and so on.Key words:

The inequality proof;function;extreme value;derivative

目 录

1.构造函数法 ·········································1 1.1 移项法构造函数 ·································1 1.2 作差法构造函数

·····························2 1.3 换元法构造函数

·····························2 1.4 从条件特征入手构造函数

······················3 1.5 主元法构造函数 ··································3 1.6 构造形似函数 ····································4 2.比较法 ·············································4 2.1 作差比较法 ······································4 2.2 作商比较法 ······································5 3.放缩法 ············································5 4.判别式法 ············································6 5.反证法 ············································7 6.向量法 ···········································8 7.不等式证明的具体应用 ································9 参考文献 ··············································11

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众所周知,生活中存在着大量的不等量关系.不等量关系是基本的数学关系,它在数学研究与应用中起着不可忽视的作用,因此,研究不等式的方法至关重要,许多数学家在这一领域取得丰硕的成果,他们的成就举世瞩目,无可替代.不等式的证明是高中学习阶段的重要内容之一,纵观近几年的高考,不等式的证明每年都有涉及,一般都出现在最后一题,可见它的困难和重要程度,因此不等式证明的学习既是重点也是难点,无论是求最值还是求不定量的范围都需要用到不等式的证明.所以,有必要对不等式的证明方法做一个全面的,科学的,系统的总结和归纳.1.构造函数法

1.1移项法构造函数

【例1】 已知函数f(x)ln(x1)x,求证：当x1时,恒有

11ln(x1)x.x1分析：本题是双边不等式,其右边直接从已知函数证明,左边构造函数

11,从其导数入手即可证明.g(x)ln(x1)x1证:先证左边,令g(x)ln(x1)111x1, 则g(x) x1x1(x1)2(x1)2 当x(1,0)时,g(x)0;当x(0,)时,g(x)0 , 即g(x)在x(1,0)上为减函数,在x(0,)上为增函数,故函数

g(x)在(1,)上的最小值为g(x)ming(0)0, ∴当x1时,g(x)g(0)0,即ln(x1)110 x1 ∴ ln(x1)1 再证右边,f(x)1(左边得证).x11x1 x1x1 ∴ 当1x0时,f(x)0,即f(x)在x(1,0)上为增函数, 当x0时,f(x)0,即f(x)在x(0,)上为减函数, 于是函数f(x)在(1,)上的最大值为f(x)maxf(0)0, 1

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因此,当x1时f(x)f(0)0,即ln(x1)x0

∴ ln(x1)x(右边得证).综上可知,当x1时,有11ln(x1)x x1【启迪】: 如果f(a)是函数f(x)在区间上的最小（大）值,则有f(x)f(a)

（或f(x)f(a))那么要证不等式,只要求函数的最小值不超过0就可得证． 1.2作差法构造函数

【例2】 当x(0,1)时,证明:(1x)ln(1x)x.分析:本题是一个单边不等式,很难直接看出两者有什么联系,因此联想到采用作差的方法,将两个函数变为一个函数.作差法是最直接把两者结合的方法且求导

后能很容易看出两者的联系.证:做函数f(x)(1x)ln(1x)x,易得f(0)0，221x)2x,当x0时,f'(x)0

而f'(x)ln(1x)2ln(又得,f''(x)22ln(1x)222[ln(1x)x]，1x1x1x 当x(0,1)时,f''(x)0

∴f'(x)在x(0,1)上递减,即f'(x)f'(0)0,即f(x)在(0,1)递减

∴f(x)f(0)0,从而原不等式得证.【启迪】: 本题先构造出一个函数并利用所设函数的导数判断函数的单调性,再根据单调

性的性质来证明原不等式如果一阶导数无法判断两个关系,可以采用二阶导数

来先判断一阶导数关系,再来判断原函数的关系.1.3换元法构造函数

122xxyy3.1xy2 【例3】 已知 ,求证:222 分析:本题看上去毫无联系,但发现xy经常出现在三角代换中.于是可以采用 换元法进行尝试,则结果显而易见.证:因为 1 其中12x2y22,所以可设xrcos,yrsin，22r22,02.1212 ∴xxyyrrsin2r(1sin2)

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1sin2, 222121322 r(1sin2)rr 22232121 而r3,r 222122xxyy3.2【启迪】:当发现不等式题目中含有x2y2,或者别的与x,y有关的不等式,可以采用换

元法.将x,y进行替换,再找两者的关系来进行论证.1.4从条件特征入手构造函数

【例4】 若函数yf(x)在R上可导且满足不等式xf(x)f(x)恒成立,且常数

a ,b满足0ab,求证:af(a)

xf(x)，(x)f(x)此时可以得到F(x)的导数为xf F(x)0,所以F(x)在R上为增函数，f(a)f(b)

af(a)bf(b)0ab, 得证.【启迪】：把条件进行简单的变形后,很容易发现它是一个函数积的导数,因此可以构造出

F(x),求导后即可得到证明结果.1.5主元法构造函数

【例5】 设a,b,c,dR,且满足(abc)求证:abbcca22(a2b2c2)4d，3d

分析:本题初看含有四个未知量,且题目中只含一条不等式,因此解题时必须从这条

不等式入手,对其进行变换.证:把a看成未知量进行化简,得一元二次不等式

2(bc)a(bc)24d0

22xaf(x)x2(bc)x(bc)4d

用替换,构造一个函数 a2x2前面的系数大于0,所以该抛物线开口向上

且当xa时,f(a)0.224(bc)4[(bc)4d]0

其判别式 

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d.同理把b,c看成未知量,可得cad,abd

叠加可得abbcca3d.化简,得bc【启迪】:有些复杂的不等式可以看成一个未知量的简单不等式,再找几个未知量之间的关系,进行证明.1.6构造形似函数

【例6】 当abe时,证明ab.分析:要证ab,只要证lnababablnba,即证明blnaalnb0, 也就是要证明blnxxlnb,因此构造函数

f(x)blnxxlnb,然后只需要证明 证:要证ab,只要证lnabaf(x)单调递减就可以了.blnb xblnba即证blnaalnb0

设f(x)blnxxlnb(xbe),则f(x) be,xb lnb1, b1f(x)0 xf(x)在(e,)上单调递减.ab

f(a)f(b)故blnaalnbblnbblnb0

ba 即blnaalnb ab.【启迪】:在证明简单不等式时,可以采用求导等变换来构造出一些相似的函数,再利用函

数的单调性来证明简单不等式.2.比较法

2.1作差比较法

【例1】 若0x1,证明loga(1x)loga(1x),(a0,a1).分析:用作差法来做,则需去掉绝对值,必须要分a1和0a1两种情况来考虑

问题.证:(1)当0a1时,01x1,11x2

loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)

0x1,01x

1loga(1x)0,得证.（2）当a1时,01x1,11x2

 loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)

0x1,01x1

22222 江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）

loga(1x)0,得证.综合（1）（2）可得loga(1x)loga(1x).【启迪】:当不等式两边的式子比较相近,或者是对数式子时可以采用作差法来尝试.2.2作商比较法

【例2】 设a,bR,且a0,b0,求证(ab)ab22aabb.分析:发现作差变形后符号很难判断,且无法化简,考虑到两边都是正数,可以作商, 判断比值和1的大小关系,从而来证明不等式.证:ab0,(ab)abab20,将不等式两边相除，ba2baa()2 baabb 得(ab)ab2aab2bbaa21.当ab时,()baab10, 当0ba时，b2baaa02()()1.由指数函数的单调性可知,bbbaaa0aab2()()1.10 当0ab时，,同理可得bbb2 综上所述,对于任意的正实数a,b都有(ab)ab2aabb.【启迪】:当遇到作差法无法解决的问题时可以采用作商法来证明不等式,使用作商法的前

提条件是不等式两边均要大于0,一般为指数函数的形式.3.放缩法

2n1an(nN)

【例1】 已知数列an的前n项和为sn12(1)设xn(2n1)sn,求证:数列xn为等差数列.11115..........(2)当n2时,2.222xnxnxx321n22n 分析:本题分为两小题,第一小题是考察数列的知识,是为第二小题做的铺垫,在做

第二小题时,需要采用放缩来证明,来把不等式的左边放大来比较.2n1(snsn1)

证:(1)当n2时,sn12

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化简,得(2n1)sn2(2n1)sn1

由已知条件得xn 其通项公式为xn xn是以首项为x1xn12,即xnxn12

2公差d2的等差数列，2n.1111..........(2)2222 xnxnxx1n22n11111......] [2222 4n(n1)(n2)(2n)11111......] [4n(n1)n(n1)(n1)(n2)(2n1)(2n)1111111[()()()......4n1nnn1n1n

2111111n1()]()()2n12n4n12n42n(n1)1n1  42(n1)26(n1)411 44

2(n1)6n14 令f(n)2(n1),当n2时,f(n)的值随着n的增大而增

n1 大,f(n)f(2), 111136 即4 44f(2)616322(n1)6n1111152.222..........xnxn1xn2x2n32【启迪】: 采用放缩法题目一般比较开放,且没有固定的放缩范围,一般比较灵活,且方法

较多.4.判别式法

7 【例1】 已知xyz5,xyz9,求证x,y,z都属于1,

3222

江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）

分析:实系数一元二次方程ax2bxc0有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的充要条件是: b 记4ac0、b24ac0、b24ac0．

b24ac,称其为方程是否有实根的判别式.同时也是与方程对应的

函数、不等式的判别式.此题含有三个未知数,所以要进行替换.222z5xyxyz9中

证:有条件可得,代入 化简可得:x 2(y5)xy25y80

xR,且方程有解,根的判别式b24ac0

2277y1,.即(y5)4(y5y8)0,解得1y,即3377 同理,替换x,y可得z1,,x1,.33 得证.【启迪】:本题看似复杂,含有三个未知量,其实只需要简单的几个步骤就解决了,因此在解决这类问题时,第一步是替换未知量,第二部把另一个未知量看成已知量,再

用根的判别式来确定范围.5.反证法 【例1】 设0a,b,c1,求证:(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于.分析:本题的结论为否定形式,适合用反证法来证明,假设命题不成立,从而导出矛

盾.证:假设(1a)b,(1b)c,(1c)a三个数都大于, 则有(1a)b111,(1b)c,(1c)a 444 又0a1,0b1,0c1

111(1a)b,(1b)c,(1c)a.222 7

江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）(1a)b(1b)c(1c)a 

2ab1abab(1a)b 又由基本不等式得，221bc1ca(1b)c,(1c)a, 把上面三个式子相加得(1a)b(1b)c(1c)a3  2 显然与相矛盾,所以假设不成立.(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于.4【启迪】:命题中出现“至少”,“都”,“同时”,“至多”等字样时,可以采用反证法, 反证的关键在于找出与命题相反的结论,然后再用假设的条件推出矛盾.6.向量法

a2b2c212.【例1】设a1,b1,c1,证明:

b1c1a1 分析:本题只有一个已知条件,且结论也无法化简,因此可以想到高中最直接的方法

向量法,构造两个向量.利用向量的知识进行解决.m 证:设(a2b2c2，),n(b1,c1,a1)b1c1a1m 则na2b2c2b1c1a1 b1c1a1abc

222abc abc3cosb1c1a1a2b2c2abc3

b1c1a1a2b2c2abc  b1c1a1abc33 abc3

abc3 23

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a1,b1,c1.a2b2c212.两边同时平方可得

b1c1a1 得证.7.不等式证明的具体应用

1125【例1】 已知a0,b0,且ab1,求证(a)(b)

ab4分析:本题是高中阶段一道普通的不等式证明题,如让学生独立完成,可得到如下解决

方法.解法一:分析法

1125(a)(b) 要证，ab4222 只要证4ab4ab25ab40， 即证4ab233ab80，1ab或ab8.即因为a0,b0,ab1,所以ab8不成立.1ab 又因为1ab2ab,所以.得证.解法二:作差比较法

ab1,a0,b0 ab2ab,ab

41125a21b2125 (a)(b)ab4ab44a2b233ab8(14ab)(8ab)0

4ab4ab1125 (a)(b).ab4

解法三:三角代换法

ab1,a

0,b0

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 故设asin,bcos,0,

21122)(cos)则原式(sin22sincossin4cos42sin2cos22 

4sin22(4sin2)216  24sin222  sin214sin2413.1122.(4sin2)1625,24sin241125 (a)(b).ab422本题归纳与小结:本题一共采用了3种不同的方法,第一种是从问题入手,对问题进行一步

步的剖析,有逆向思维的方式,是把问题具体化,把所要证明的问题转化

为所学的知识,或者已知条件.只要分析的过程合理,一般过渡的结论很

容易得到.第二种方法也是根据问题入手,不同的是它把问题直接改变为

一道运算式,这样就把问题变为运算式结果与零比较大小,因为题目所给的数字往往让在解题时无从下手,无法想出这个数字从何而来,一但转化

为零后,解题时只需要考虑对算式的变形,最后只需判断算式的正负号.第三种方法使用范围比较小,它一般具有特殊的条件如ab1, a2b21这种情况下会考虑三角代换,采用三角代换最需要注意的是

角的范围,一般学生在采用代换时往往忘记角的范围,从而无法确定三角

函数值的范围,容易产生多解或错解.这种方法好处在于已经知道了三角

值的范围,且三角函数含有多种变形方式可以对式子进行更好的化简.并

且利用三角值的确定性能很快的得到所求式子的范围.本题三种方法均

可采用,根据学生个人的掌握程度来选择方法.本论文主要对高中不等式的常用证明方法进行简单的总结,使中学生在证明不等式时有法可依,能尽快的找到适合的方法,主要介绍构造法,作差法,放缩法,判别式法,反证法,向量法这些常用的方法.江苏第二师范学院2014届本科生毕业设计（论文）

参考文献

[1]雷小平.证明不等式的常用方法.太原科技[A],2002(1):54～55 [2]丁海军.证明不等式的常用方法.自然科学版[J],2009:55～57 [3]曹军芳.高中数学中不等式证明的常用方法.佳木斯教育学院报[A],2014(1):220～221 [4]孔凡哲.证明不等式正确性的几种常用方法.武汉教育学院报,1995(3):31～33 [5]刘志雄.谈不等式证明的常用方法.重庆师专学报,1999(4):101～103 [6]徐志科.王彦博.利用导数证明不等式的几种方法.自然科学版[A],2013(7):7～8 [7]李天荣.曹玉秀.中学数学不等式的证明方法.临沧师范高等专科学校学报,2013(2):88～90 [8]严万金.浅谈中学数学不等式的证明的常见技巧及方法策略.数学教育[A],2012(2):64 [9]封平平.不等式证明方法初探.新课程学习[J],2012:72～73 [10]黄俊峰.袁方程.证明不等式中的常用方法.数学教学研究[J],2012(8):28～30 [11]程勋跃.不等式证明的方法与技巧.课程教育研究[A],2012:60～61 [12]孙桂枝.不等式证明方法集萃.数学学习与研究[J],2012:81～82 [13]甘志国.例谈常用方法证明不等式.理科考试研究[J],2012:13～15 [14]何振光.不等式证明的常用方法.教与学[J],2012:92 [15]李占光.廖仲春.刘福保.高中数学中不等式的证明方法归纳.长沙民政职业技术学院学报

[A],2012(4):108～109

第四篇：高中数学不等式

数学基础知识与典型例题

数学基础知识与典型例题(第六章不等式)答案

例1.C例2.B例3.675 例4.n3+1>n2+n

例5.提示:把“”、“2”看成一个整体.解:∵3=2(2)()

又∵2≤2(2)≤6,1≤()≤1 ∴1≤3≤7,∴3的取值范围是1,7 例6.A例7.A例8.B

例9.B例10.4例11.B

例12.D

例13.C

例14.D 例15.(1)（1x21

例16.解：原不等式等价于x

0,x21



x

1.当x>0时，上述不等式组变成x2情形1 1,1x2x1.解得：1x

情形2 当x<0时，上述不等式组变成

x21,

x2x1.解得1x

所以原不等式解集为{|1x12{x|1x1

2例17.解: 原不等式等价于x2x

3x2

ax

0.由于x2x30对xR恒成立，∴x2ax0,即x(xa)0当a>0时，{x|xa或x0}； 当a=0时，{x|xR且x0}； 当a<0时，{x|x0或xa}.例18.证明:令y=2x22x1

x2x1，去分母，整理得(y－2)x2+(2－y)x+y+1=0.⑴当y≠2时，要方程有实数解，须Δ=(2－y)2－4(y－2)(y+1)≥0得－2≤y≤2，又∵y≠2∴－2≤y<2;

⑵当y=2时,代入(y－2)x2+(2－y)x

+y+1=0中,得

3=0，矛盾.∴综上所述, －

2≤y<2得证.例19.综合法提示

ab)

另外本题还可用几何法.证明:

先考虑a、b、c为正数的情况，这时可构造出图形：以a+b+c为边长画一个正方形，如图，则AP1

PP12

P2B ABabc).显然AP1PP1

2P2B

≥AB，abc).当a、b、c中有负数或零时，显然不等式成立.例20.答案见高中数学第二册(上)第27页例

1可用分析法,比较法,综合法,三角换元法以及向量法等证

例21.提示:利用aaaabcabc

abc

例22.高中数学第二册(上)第17页习题9 法一:构造函数法

证明：∵ f(x)= xm

x + m(m>0)= 1－x + m在(0, + )上单调递增，且在△ABC中有a + b > c>0，∴ f(a + b)>f(c)，即 a + bc

a + b + m> c + m。

又∵ a，b  R*，∴aamb

bm

 aba + ba + b + m + a + b + m =

a + b + m，∴aambbmc

c.m法二:分析法

证明:要证aambbmc

cm，只要证a(b + m)(c + m)+ b(a + m)(c + m)－c(a + m)(b + m)>0，即abc + abm + acm + am2 + abc + abm + bcm + bm2－abc－acm－bcm－cm2>0，即abc + 2abm +(a + b－c)m2>0，由于a,b,c为△ABC的边长，m>0，故有a + b> c，即(a + b－c)m2>0。

所以abc + 2abm +(a + b－c)m2>0是成立的，因此 aambbmc

cm.例23.5400,例24.答案见2005-7-30高中数学第二册(上)第13页例

46、当你发现有“非凡天赋”,就“疯狂地造梦”吧！

Think great thoughts and you will be great!伟大的理想，会让你变得伟大！

一个人的梦想有多么伟大，他就有多么伟大！

伟大的目标，即使吹起牛来都很爽！所以，目标一定要远大！你人生才会过得充实而干劲十足！

我在这十多年疯狂英语的奋斗路上，我发现一个真理：

“人的潜能无限！相信自己，就能创造奇迹；怀疑自己，人生就会在可怜、悲惨中度过！”

每个人其实都是一座宝藏！“相信自己”是人生最重要的品格，“I can ”是家庭给孩子最宝贵的财富。

而可悲的是，大多数的父母并没有给自己孩子这把“最重要的钥匙”，因为他们的父母，和他们所处的时代，也没有给他们这把钥匙。

我们太多人，就像是在黑暗中苦苦摸索，当我们发现有这把钥匙的时候，已经年过30岁了„„

其实，成功根本不用等到30！10岁、20岁就可以很成功！而“相信自己”就是人生最大的成功源头。

在此，我非常急切地想与大家分享一个“18岁就成功的故事”，告诉你如果发现自己有“非凡天赋”时,就疯狂地造梦想吧，从此，你就会自发地苦练，并为自己的家庭带来梦中渴求的一切。

在丁俊晖8岁时，父亲送给他一件特别的礼物——一支台球杆。他很快发现：儿子在台球桌上有非凡的天赋，两年下来，已经打遍当地无敌手。

有一次，爸爸让小俊晖与台球名将亨得利一起合影照相，没想到他却口吐狂言：“我跟他照什么相，我以后把球打好了，别人找我照相还差不多，总有一天我要战胜他。”

看到儿子有如此雄心大志，父亲做出了一个惊人的决定：卖掉家乡的房子，辞去工作，全家搬迁到陌生的广东东莞，让儿子专心学习台球，成为职业台球手。为了节省开销，他们没有租住球馆宿舍，只是在宿舍走道的尽头蹭了张床，木板隔出一个6平方米的空间，全家三口只睡一张单人床。隔板外，是宿舍楼公厕，闷热、蚊虫叮咬、厕所异味„„竟然令13岁的丁俊晖含泪向父母发誓：一定要用球杆，为他们打回一套房子！从此，他把台球当成了自己一辈子奋斗的职业。

丁俊晖练球常常进入到痴迷的状态，整天与台球为伴，很快，父亲送给他的台球杆被练断了。修理后又接着打，不久又断了„„反反复复，一支杆要打断6、7次，变得不能再打了，才换新球杆。

即使这样，他父亲还时刻提醒、监督他，有时刚吃完饭，丁俊晖在一边坐着休息的时间稍长一点，父亲就过来催促：“你去房间练球吧，空调已帮你开好了。”他父亲说：“人做事一定要坚定，做一件事就要把它做好，如果连这点精神和承担失败的勇气都没有，做其他事也不可能成功！人活着就要轰轰烈烈，在有生之年做些事，但我不会强加给他没兴趣的东西做。我坚信我儿子是5000年才出一个的神童！”

也许，是先有了伟大的丁俊晖父亲，才有了18岁成为世界级台球冠军的丁俊晖。现在丁俊晖已经在老家买了新房，他实现了当初许下的用球杆为父母挣回一套房的承诺！用手中的球杆，兑现了夺得世界冠军的诺言！

所以，伟大的梦想造就伟大的人生！Great dreams make great men!

目标定得小，成绩就小。有大志才会有大成就！

Think little goals and expect little achievements.Think big goals and win big success!

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第五篇：高中数学2.5不等式的证明教案

2.5不等式的证明

一、教学重点

1、理解比较法、综合法、分析法的基本思路。

2、会运用比较法、综合法、分析法证明不等式。

比较法

（一）作差法

一开始我们就有定义： 对于任意两个实数有，也就是说，证明两实数

大小，我们可以作差，然后进行变形，判断其差的符号（将差和0作比较），从而证明不等式。

例1 求证：证明：

几何意义： 函数的图像始终在函数的图像之上

A1个单位B

训练作差法基本能力，并让学生从不同角度理解不等式 例2 设

求证：

证明：

作差

/ 6

这题让学生说，主要训练作差法，为之后作商铺垫

（二）作商法 设实数，则有

作商，与1比较 例2 设证明：

求证：

/ 6

在作差法的基础上提出作商，让学生体会这两者各自的优点

综合法

从已知条件出发，利用已知的命题和运算性质作为依据，推导出求证的结论。

例3 求证：若，则有

证明：

在教授综合法的同时，给出这个基本不等式

例4 已知（1），求证：

（2）

证：（1）

/ 6（2）

这题主要为1的妙用，为学生做题拓宽新的思路

分析法

从要证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立，从而判断原结论成立。

要证 例4 若，则有，如果有，那么只要证明了，就有

/ 6

在教授分析法的同时，给出这个基本不等式

例5 设，则有

先证

再证

/ 6

在教授分析法的同时，给出这个绝对值不等式，学生以后也能用

/ 6