VB期末考试试卷及答案

第一篇：VB期末考试试卷及答案

VB期末考试试卷及答案

一·选择题

1.Visual Basic是一种面向对象的程序设计语言，构成对象的三要素是（B）

A属性、控件和方法

B属性、事件和方法 C窗体、控件和过程 D控件、过程和模块

2.所有控件都有一个共同的属性，这个属性是（C）

A text

B font

C name

D caption

3.下列叙述中错误的是（A）

A 工程文件扩展名是.vbg

B 标准模块文件的扩展名是.bas

C 窗体模块的扩展名是.frm

D 类模块的扩展名是.cls

4.当要编写一个新的Visual Basic程序时，所做的第一件事是（A）

A 新建一个工程

B 编写代码

C 设置属性

D 添加Active X控件

5.下面控件中，没有caption属性的是（B）

A 框架

B 组合框

C 命令按钮

D 复选按钮

6.在文件框中输入字符时，若只显示某个字符，如（*），应设置属性是（B）

A MultiLine

B PasswordChar

C Text

D selText

7.若要将窗体从内存中卸载出去，其实现的方法是（D）

A Show

B Hide

C Load

D UnLoad

8.下列关于过程叙述不正确的是（D）

A 过程的传值调用是将实参的具体值传值传递给形参

B 过程的传址调用是将实参在内存的地址传递给形参

C 过程的传值调用参数是单向传递的，过程的传址调用参数是双向传递的D 无论过程传值调用还是传地址调用，参数传递都是双向的

9.某人创建1个工程，其中的窗体名为Form1，之后又添加了1个名为Form2的窗体，并希望程序执行时先显示Form2窗体，那么，他需要做的工作是（C）

A 在Form1的Load事件过程中加入语句Load Form2

B 在Form2的Load事件过程中加入语句Form2.Show

C 在“过程属性”对话框中把“启动对象”设置为Form2

D 在Form2的TabIndex属性设置为1，把Form1的TabIndex属性设置为2

10.以下关于文件的叙述中，正确的是（B）

A 以Output方式打开一个不存在的文件时，系统将显示出错信息

B 以Append方式打开的文件，既可以进行读操作，也可以进行写操作

C 在随机文件在，每个记录的长度是固定的

D 无论是顺序文件还是随机文件，其打开的语句和打开的方式都是完全相同的 11.设a=6，b=8，c=10 则函数IIf(a

A 10

B 6

C 8

D 12

12.下面程序的执行结果为（B）

I=”1”

j=”2”

I=val(i)+val(j)

J=val(“12”)

If i<>j Then print i-j Else printj-i

A 9

B-9

C 12

D 0

13.下面程序的执行结果为（A）

Dim S(10)AS Integer

For i=0 to 10

S(I)=2*i

Next i

Print S(S(3))

A 12

B 6

C 0

D 4 二·程序填空题：

1.在窗体上画一个命令按钮（Command1）和一个标签（Label1），为命令按钮编写以下事件，其功能是求数组中各元素之和，并将结果在标签上显示，请在指定位置填上正确代码将程序补充完整。

Option Base 1

Private Sub Command1_Click()

Dim a(3,2)AS Integer

S =0

For i= 1 to 3

For j= 1 to 2

a(I,j)= i+j

s= 【1】

Next j Next i

【2】

End Sub

2.下面程序的功能是产生10个小于100（不含100）的随机正整数，并统计其中

5的倍数所占比例，请在指定位置填上正确代码将程序补充完整。

Private Sub Command1_Click()

Randomise

Dim a(10)As Integer

For j =1 to 10

a(i)=

【3】

【4】

Then k= k+1

Print a(j)

Next j

Print k /10

End Sub

3.以下程序运行后，在Text1中输入任意字符串，单击命令按钮，将Text1中的字符串转换为大写，再将字符串逆置（如ABCD--DCBA），在Text2中显示逆置后的字符串。请在指定位置填上正确代码将程序补充完整。

Private Sub Command1_Click()

St = Ucase(Text1.text)

For i=

【5】

To 1 Step-1

S2= s2+Mid(s1, 【6】, 1)

Text2.text= s2

End Sub

4.Next i设有如下的循环，要求程序运行时执行3次循环，请在指定位置填上正确代码将程序补充完整。

Dim x As Integer

X = 1

x = x+2

Print x

Loop Until

【7】

5.在窗体上画一个组合框（Combo1）、一个列表框（List1）和一个命令按钮（Command1）。下面程序的功能是在组合框中选择一个大学名称，单击命令按钮，则所选大学名称将添加在列表框中，当组合框中没有要选的大学名称时，输入一个名称，则此大学名称在添加列表框中的同时也会添加到组合框中，请在指定位置填上正确代码将程序补充完整。

Private Sub Form_Load()

Combo1.AddItem”交通大学”

Combo1.AddItem”理工大学”

Combo1.AddItem”财经大学”

Combo1.AddItem”外贸大学”

End Sub

Private Sub Command1_Click()

【8】

Flag=Flase

For i=0 to

【9】

If Combo1.List(i)=Combo1.Text Then

flag=True : Eixt For

End If

Next i

If Not flag

Then

【10】

End Sub

6.下面程序的功能是对数组的元素值用选择法按递增顺序排序，请在指定位置填上正确代码将程序补充完整。

Private Sub Command1_Click()

Dim ia(),i%,max%,imax%.t%

Ia=Array(3,8,5,6,7,4,9)

For i =0 To 5 : imax = i

For j = i+1 To 6

If 【11】

Then

imax =j

Next j

T=ia(i)

【12】

ia(imax)=t

Next i

For i=0 To 6 : Print ia(i)

Next i

End Sub 7.窗体上有名称为Command1的命令按钮及名称为Text1、能显示多行文本的文本框。程序运行后，如果单击命令按钮，则可打开磁盘文件c:test.txt，并将文件中的内容（多行文本）显示在文本框中。下面是实现此功能的程序，请在指定位置填上正确代码将程序补充完整。

Private Sub Command1_Click()

Text1=””

Open”c:test.txt” For Input As #1

Do While Not

【13】

Line Input#1,S

Text1.text=Text1.text+

【14】

+chr(13)+chr(10)

Loop

【15】

End Sub

答案： 1.S+a(I,j)

2.Label1 0 = S

3.Int(Rnd*99)

4.a(i)mod 5=0

5.Len(S1)

6.i

7.x=7

8.List1.AddItem Combo1.text

9.3/ListCount

10.Combo1.AddItem Combo1.text

11.a(j)>imax

12.ia(i)=ia(imax)

13.Eof

14.S

15.Close #1

三·阅读程序，在答题纸指定位置写出程序运行结果。

1.以下程序运行后，单击命令按钮，写出程序的运行结果。

Private Sub Command1_Click()

Dim n%,b,t

t =1 : b =1

: n =2

Do While n<=4

If b > 1 Then Exit Do

b = b*n : t = t+b

n = n+1

Loop

Print “t=”& t

End Sub 2.在窗体中添加一个命令按钮Command1，并编写如下程序：

Private Sub Command1_Click()

X =InputBox(x)

If x^2<=9 Then y= 1/x

If x^2>9 Then y= x^2+1

If(x^2)-7=9 Then y=x

Print “y=”&y

End Sub

程序运行后，在InputBox中输入4，单击命令按钮，写出程序的运行结果。3.窗体上画一个命令按钮，并编写以下事件过程和子过程：

Private Sub Command1_Click()

Dim x As Integer, y As Integer

x =12 : y = 20

Call Value(x,y)

Print “x=”&x, “y=”&y

End Sub

Private Sub Value(ByVal m As Integer, n As Integer)

m=m*2

：

ｎ=n-5

End Sub

程序运行后，单击命令按钮，写出程序的输出结果。

4.窗体上画一个命令按钮和一个图像框，并编写以下事件过程：

Private Sub Command1_Click()

Dim a(3,3)

For m =1To3

For n= 1 To 3

If n = m Or n = 4 –m Then

a(m,n)=m+n

Else

a(m,n)=0

End If

Picture1.Print a(m,n)

Next n

Picture1.Print

Next m

End Sub

程序运行后，单击命令按钮，图像框中显示的内容是什么? 5.在窗体上画一个列表框和一个命令按钮Command1，然后编写如下程序：

Private Sub Command1_Click()

List1.RemoveItem1

List1.RemoveItem2

End Sub

Private Sub Form_Load()

List1.AddItem”兰州”

List1.AddItem”甘肃”

List1.AddItem”交通”

List1.AddItem”大学”

End Sub 程序运行后，单击命令按钮，写出在列表框中显示的结果。

答案： 1.3

2.4

3.12；15

4.2 0 4；0 4 0；4 0 6 5兰州；大学

四·编写程序：输出（1,100）之间同时被5和7整除的数的个数及其它们的和。

答案：Private Sub Form1_Click()

Dim s%,c%

For i=1 to 100

If i Mod 5=0 And i Mod 7=0

Then

s = s+1

c = c +i

End If

Next i

Print s, c

End Sub

第二篇：大一VB期末考试试卷及答案

大一VB期末考试试卷及答案 1．在代码中引用一个控件时，应使用控件的（b）属性。A．Caption B．Name C．Text D．Index 2．设变量x = 4，y =-1，a = 7，b =-8,下面表达式（a）的值为“假”。A．x+a <= b-y B． x > 0 AND y < 0 C．a = b OR x>y D． x+y > a+b AND NOT(y < b)3．表达式Int(Rnd*71)+10产生的随机整数范围是（c）。A．（10，80）B．（10，81）C．[10，80] D．[10，81] 4．函数Sgn(3.1416)的返回值是（c）。

A．-1 B．0 C．1 D．以上都不对 5．67890属于（d）类型数据。

A．整型 B．单精度浮点数 C．货币型 D．长整型 6．下列变量名中正确的是（d）。

A．3S B．Print C．Select My Name D．Select_1 7．下列赋值语句（a）是有效的。

A．sum = sum-sum B．x+2 = x + 2 C．x + y = sum D．last = y / 0 8．以下的控件或方法具有输入和输出双重功能的为（b）。

A．Print B．Textbox C．Optionbutton D．Checkbox 9．若要获得列表框中被选中的列表项的内容，可以通过访问（d）属性来实现。A．Name B．ListIndex C．ListCount D．Text 10．下列代码的运行结果为（b）。Private Sub command1_click()Dim m(10)

For k = 1 To 10 m(k)= 114 Case 3 Print “y=”;x ^ 3 + 100 End Select End Sub

2． Private Sub command1_click()Dim a, b, c, d, e As String a = “Zheng Zhou” b = “Zhong Yuan Gong Xue Yuan” c = a + “ ” + b d = Left(a, 1)+ Mid(a, 7, 1)e = Left(b, 1)+ Mid(b, 12, 1)Print c Print d;e End Sub

3．设有Sub过程：

Private Sub p1(x As Integer, ByVal y As Integer)x = 4 ：y = 5 ：z = 6 End Sub 则如下程序段的运行结果是: Private Sub Command1_Click()Dim x As Integer, y As Integer x = 1: y = 2: z = 3 Print x, y, z Call p1(x, y)Print x, y, z End Sub

4． Private Sub command1_click()k = 0 For i = 1 To 3 k = k + 1 a = i * i * k Print a;Next i End Sub

5． Private Sub command1_click()Dim a(5, 5)As Integer For i = 1 To 5 For j = 1 To 5 a(i, j)= i * 2 + j Print a(i, j);Next j Print Next i End Sub 6．设有Function过程: Private Function f1(b, a)a = a * a: b = b * b f1 = a-b End Function 则如下程序段的运行结果是什么？ Private Sub command1_click()a = 4: b = 3 a = f1(a, b)Print a End Sub 七．编程题（共30分）

注意：艺术类学生（环艺、装潢、表演、服设）做第1、2、5、6小题；其他学生做第1、2、3、4 小题。

1．给出一个百分制的成绩，要求输出成绩的相应等级。（7分）

90分以上为“A”，80～89分为“B”，70～79分为“C”，60～69分为“D”，60分以下为“E”。

2．求n!,n由键盘输入。（7分）

3．产生20个 [0，99] 之间的随机整数，并按从小到大的顺序输出。（8分）4．产生并输出一个6×6的二维数组A：（8分）

（1）两条对角线上元素的值为1，其余元素为小于30的随机整数。（2）计算各行元素的平均值，输出平均值最大和平均值最小的行号。

5．输出1+2+„„+100的和，并求出1～100 之间能被17整除的数据的个数（8分）6．从键盘输入10个数，求出其中的最大数，最小数和平均值。（8分）

VB试题答案及评分标准

一、单项选择题（每题1分，共10分）1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D 7．A 8．B 9．D 10．B

二、填空题（每空1分，共10分）1．n Mod 13=0 And n Mod 17=0

1、对象

3．LEFT(“Visual Basic 6.0”,6)4．6 5．False 6．Autosize 7．： 8．Option Explict 9．Const Dim

三、将下列数学表达式转换成VB表达式（每题1分，共6分）

1、a^2+2*a*b+b^2

2、x^(1/3)*y^(1/4)

3、8*exp(x)*log(10)

4、2*sin(3.1416/4)*cos(3.1416/4)

5、(x+y+z)/sqr(x^2+y^2+z^2)

6、log(1+abs((a+b)/(a-b)))

四、判断题（每题1分，共10分）1．× 2．√ 3．× 4．√ 5．× 6．√ 7．× 8．× 9．× 10．√

五、根据题意，将下列程序补充完整（每空1分，共10分）1．（1）int(rnd*91)+10（2）I<10 2．（1）i*j（2）next i 3．（1）int(sqr(x))或者x-1（2）flag=1 4．（1）dim f(15)as integer（2）f(I-1)+f(I-2)

六、写出下面程序的输出结果（每题4分，共24分）

1、y=65

2、Zheng Zhou Zhong Yuan Gong Xue Yuan 2分 ZZZG 2分 3．1 2 3 4 2 3 4．1 8 27 5．3 4 5 6 7 5 6 7 8 9 7 8 9 10 11 9 10 11 12 13 11 12 13 14 15 6．-7

七、编写程序

1.private sub command1_click()dim x as integer,grade as string 1分 x=text1.text 1分 select case x 4分 case 90 to 100 grade=”A” case 80 to 89 grade=”B” case 70 to 79 grade=”C” case 60 to 69 grade=”D” case is<60 grade=”E” case else msgbox “请重新输入”end select print “该学生成绩为”+grade 1分 end sub 2．Private Sub command1_click()Dim n as integer,f as long 1分

n=text1.text 1 f=1 for I=1 to n 3 f=f*I next I text2.text=f 2 end sub

分分分

3． Private Sub Command1_Click()Dim a(1 To 20)As Integer ' 1分 Randomize For i = 1 To 20 2分 a(i)= Int(Rnd * 100)Print a(i);Next Print For i = 1 To 19 3分 For j = i + 1 To 20 If a(i)> a(j)Then t = a(i): a(i)= a(j): a(j)= t End If Next j Next i For i = 1 To 20 2分 Print a(i);Next i End Sub 4． Private Sub Command1_Click()Dim a(1 To 6, 1 To 6)As Integer ' 1分 Dim aver As Single Randomize For i = 1 To 6 3分

For j = 1 To 6 If i = j Or i + j = 7 Then a(i, j)= 1 Else a(i, j)= Int(Rnd * 30)End If Print a(i, j);Next j Print Next i Print Max = 0: Min = 30 4分 For i = 1 To 6 s = 0 For j = 1 To 6 s = s + a(i, j)Next j aver = s / 6 If aver > Max Then Max = aver: row_max = I If aver < Min Then Min = aver: row_min = i Next i Print row_max, row_min End Sub 5． Private Sub Command1_Click()Dim i As Integer, c As Integer Dim s As Integer For i = 1 To 100 4分 s = s + i If i Mod 17 = 0 Then c = c + 1 Next i Print “1+2+...+100=”;s 2 Print “能被17整数的数据有”;c;“个” 2分 End Sub 6． Private Sub Command1_Click()Dim x As Integer x = InputBox(“x=”)1分 Print x;Max = x: Min = x: s = x 2分 For i = 2 To 10 3分 x = InputBox(“x=”)：Print x;s = s + x If x > Max Then Max = x If x < Min Then Min = x Next i Print s / 10 1分 Print Max, Min 1分 End Sub 应该不是真的。

分

第三篇：VB考试试卷及答案一

Visual Basic程序设计基础

试题一（每小题2分，共10分）

阅读下列程序说明和程序，在每小题提供的若干可选答案中，挑选一个正确答案。【程序说明】

过程JiSuan用于计算e = 1 + 1/1!+ 1/2!+ 1/3!+ …+1/n!的值，直至末项小于0.00001（不包含小于0.00001的项），并用消息框显示结果。

【程序】

Option Explicit Private Sub JiSuan()Dim e As single,(1), i As long e = 1: t = 1:(2)(3)i = i + 1: e = e + t:(4)Loop(5)End Sub 【供选择的答案】

（1）A、t As String B、Dim t As String C、Dim t As Single D、t As Single（2）A、i = 1 B、i = 2 C、i = 0 D、i = 3（3）A、While t >= 0.00001 B、Do While t >= 0.00001 C、While e >= 0.00001 D、Do While e >= 0.00001（4）A、t = t * i B、t = 1/(i * t)C、t = t / i D、t = 1 / i（5）A、MsgBox “近似值为：” + t B、MsgBox “近似值为：” & t C、MsgBox “近似值为：” + e D、MsgBox “近似值为：” & e

试题二（每小题2分，共8分）

阅读下列程序说明和程序，在每小题提供的若干可选答案中，挑选一个正确答案。【程序说明】

程序界面如下图所示，程序运行时要求有以下功能：

1.单击“加粗”复选框（Check1）,若复选框被选中，则设置标签(Label1)上显示的文字为加粗，否则设置为不加粗。

2.单击“选择颜色”按钮(Command1)将显示“颜色”对话框，若单选按钮“前景色”（Option1）被选中，则设置Label1的前景色为用户选择的颜色，否则设置Label1的背景色为用户选择的颜色。通用对话框控件名称为CommonDialog1。

第1页，共9页

【程序】

Private Sub Check1_Click()Label1.FontBold = False If(6)Then Label1.FontBold = True End Sub Private Sub Command1_Click()Dim c As Long :(7): c =(8)If(9)Then Label1.ForeColor = c Else Label1.BackColor = c End Sub 【供选择的答案】

（6）A、Check1.Value = True B、Check1.Value = False C、Check1.Value = 1 D、Check1.Value = 0（7）A、CommonDialog1.ShowOpen B、CommonDialog1.ShowColor C、CommonDialog1.ShowSave D、CommonDialog1.Action = 1（8）A、CommonDialog1.ForeColor B、CommonDialog1.FontColor C、CommonDialog1.BackColor D、CommonDialog1.Color（9）A、Option1.Value B、Option1.Value = 1 C、Option1.Value = false D、Option1.Value = 0

试题三（每小题2分，共10分）

阅读下列程序说明和程序，在每小题提供的若干可选答案中，挑选一个正确答案。【程序说明】

程序界面如上面两图所示，程序运行时要求有以下功能：

1.当用户单击“增加”按钮(Command1)，若文本框(Text1)中的内容不为空，则将文本框中的内容添加到列表框末尾，并自动将文本框中的内容选中。

第2页，共9页 2.当用户单击“删除”按钮(Command2)，若列表框中没有表项被选中，则用消息框提示“没有选择表项”，否则删除被选中的表项。

3.文本框仅允许输入数字字符与退格字符(ASCII码值为8)。【程序】

Private Sub Command1_Click()Dim s As String, t As String s = Text1.Text If s = ““ Then Exit Sub(10): Text1.SetFocus Text1.SelStart = 0:(11)End Sub Private Sub Command2_Click()If List1.ListIndex =-1 Then MsgBox ”没有选择表项“ Else(12)End Sub Private Sub Text1_(13)If(14)Then KeyAscii = 0 End Sub 【供选择的答案】（10）A、List1.AddItem s，List1.ListCount B、List1.AddItem s, 0 C、List1.AddItem s, List1.ListCount1 p = i For j = _(18)If _(19)Then p = j Next j If p <> i Then _(20)Text2.Text = Text2.Text + c(i)Next i Text2.Text = _(21)End Sub Private Sub swap(a As String, b As String)Dim t As String: t = a: a = b: b = t End Sub 【供选择的答案】（15）A、Len(s)B、Val(s)C、Asc(s)D、Length(s)（16）A、ReDim c()B、Dim c()as string C、ReDim c(1 to slen)D、Dim c(1 to slen)（17）A、Mid(s,i)B、Left(s,i)C、Mid(s,i,1)D、Asc(Mid(s,i,1))（18）A、1 to slen-i B、i+1 to slen C、i to slen-1 D、1 to slen（19）A、c(p)>c(j)B、c(p)c(j)（20）A、swap c(p),c(i)B、Call swap c(p),c(i)C、swap c(p),c(j)D、Call swap(c(p),c(j))（21）A、Text2.Text + c(j)B、Text2.Text + c(i)

第4页，共9页 C、c(j)D、c(i)

试题五（每小题2分，共8分）

阅读下列程序，在每小题提供的若干可选答案中，挑选一个正确答案。【程序】

Dim a As Byte Private Sub Form_click()'Dim a As Byte '(1)a = a + 2 Call aa(a)'(2)Print a;End Sub Sub aa(b As Byte)'(3)b = a + 2 End Sub 【供选择的答案】（22）单击窗体两次后，窗体上显示的内容是什么？

A、0 0

B、2 2

C、2 4

D、4 8（23）其它代码不变，仅将程序中的语句（1）前面的单引号“’”删除，单击窗体两次后，窗体上显示的内容是什么？

A、0 0

B、2 2

C、2 4

D、4 8（24）其它代码不变，仅将程序中的语句（2）改为call aa(a+2)，单击窗体两次后，窗体上显示的内容是什么？

A、0 0

B、2 2

C、2 4

D、4 8（25）其它代码不变，仅将程序中的语句（3）改成sub aa(byval b as byte)，单击窗体两次后，窗体上显示的内容是什么？

A、0 0

B、2 2

C、2 4

D、4 8

试题六（每小题2分，共12分）

阅读下列程序说明和程序，在每小题提供的若干可选答案中，挑选一个正确答案。【程序说明】

程序界面如下图所示，程序运行时要求有以下功能：

1.单击影像框(Image1)，定时器（timer1）开始运行；再次单击影像框，定时器停止运行。

2.定时器运行时，每隔一定时间更换影像框中的图片：第1次显示“c:pic1.bmp”的图片，第2次显示“c:pic2.bmp”的图片，第3次显示“c:pic3.bmp”的图片，第4次又显示“c:pic1.bmp”的图片„„依次类推。

3.滚动条(HScroll1)用于控制定时器Timer1的Timer事件时间间隔。

第5页，共9页

【程序】

Dim i As Byte Private Sub Form_Load()HScroll1.Min = 1000: HScroll1.Max = 10000: HScroll1.SmallChange = 1000 HScroll1.LargeChange = 3000: HScroll1.Value = 1000 : i = 1 Timer1.Enabled = False: Timer1.Interval = HScroll1.Value End Sub Private Sub HScroll1_Change()_(26)End Sub Private Sub Image1_Click()_(27)End Sub Private Sub Timer1_Timer()Dim fn As String fn = ”c:pic“ +_(28)+ ”.bmp“ _(29)if i < 3 then i = i + 1 else _(30)End Sub 【供选择的答案】（26）A、Timer1.Interval = HScroll1.Value B、Timer1.Index= HScroll1.Value C、HScroll1.Value = Timer1.Interval D、HScroll1.Value= Timer1.Index（27）A、Timer1.Enabled = Not Timer1.Enabled B、Timer1.Enabled = True C、Timer1.Interval = 0 D、Timer1.Enabled = False（28）A、Trim(Chr(i))B、Str(i)C、Trim(Str(i))D、Chr(i)（29）A、Image1.Image = LoadPicture(fn)B、Image1.Image = fn C、Image1.Picture = LoadPicture(fn)D、Image1.Picture = fn（30）A、i = i1（31）程序启动后，单击滚动条右边箭头一次，再单击滑块与右边箭头空白处一次后，滚动条的Value属性的值为：

A、3000 B、4000 C、5000 D、6000

第6页，共9页

试题七（每小题2分，共8分）

阅读下列程序说明和程序，在每小题提供的若干可选答案中，挑选一个正确答案。【程序说明】

程序界面如下图所示，程序运行时要求有以下功能：

1.在窗体的Load事件过程中，设置图片框p1中的内部坐标系如下：图片框左、右边线在其内部坐标系中的横坐标分别为0、200，上、下边线在其内部坐标系中的纵坐标分别为50、-50。

2.单击“中心线”按钮（Command1），在图片框的水平和垂直的中心位置画两条直线，效果如左下图所示。

3.单击“画图”按钮（Command2），在图片框上画5个大小相等并水平相接的圆，效果如右下图所示。

【程序】

Private Sub Form_Load()_(32)End Sub Private Sub Command1_Click()_(33)P1.Line(100, 50)-(100,-50)End Sub Private Sub Command2_Click()Dim r As Integer r = _(34)For i = _(35)p1.Circle(r * i, 0), r, vbBlue Next i End Sub 【供选择的答案】（32）A、p1.Scale(-50,0)-(50,200)B、p1.Scale(0,-50)-(200,50)C、p1.Scale(50,0)-(-50,200)D、p1.Scale(0,50)-(200,-50)（33）A、p1.Line(200,0)-(0,0)B、p1.Line –(200,0)第7页，共9页 C、p1.Line(0,-50)-(200,-50)D、p1.Line(0,50)-(200,50)（34）A、p1.ScaleWidth / 5 B、p1.Width / 5 C、p1.ScaleWidth / 10 D、p1.Width / 10（35）A、9 to 1 Step-1 B、1 to 9 Step 2 C、1 to 5 D、5 to 1 Step-1

试题八（8分）

编程，用Inputbox函数输入x，根据下面公式计算y值，并在窗体上显示y值。代码写在窗体的Click事件过程中。

x3当x3x2当1≤x≤3y = 

x当0x10当x≤0

试题九（8分）

编写一个自定义函数CalcAVG，计算Single类型一维数组所有元素的平均值。

试题十（14分）

界面设计、运行时状态如下图所示，按照下列要求定义各事件过程：

1.2.3.4.为窗体的Load事件编写代码，使得文件列表框(File1)仅显示文本文件(*.txt)实现驱动器列表框(Drive1)和目录列表框(Dir1)，及文件列表框(File1)的联动。单击文件列表框中某一文件，将被选中文件的内容原样显示在文本框(Text1)中。单击“退出”按钮(Command1)，结束程序运行。

参考答案

试题一：DABCD 试题二：CBDA

试题三：AADAC 试题四：ACCBAAB 第8页，共9页试题五：DBCC 试题六：AACCAC 试题七：DACB 试题八：（8）

Private Sub Form_click()

Dim x As Single, y As Single ’1分

x = Val(InputBox(”x=“))

’1分

Select Case x ’5分

Case Is > 3

y = x + 3

Case Is >= 1

y = x * x

Case Is > 0

y = Sqr(x)

Case Else

y = 0

End Select

Print y ’1分 End Sub 试题九：（8）

'函数头定义2分，其中数组参数定义1分，返回值类型1分

Function CalcAVG(a()As Single, n As Integer)As Single

Dim h As Single, i As Integer '变量定义1分

For i = 1 To n '循环2分

h = h + a(i)'累加1分

Next i

CalcAVG = h / n '函数赋值1分,求平均值1分 End Function

试题十：（14）

Private Sub Command1_Click()

End

'1分

End Sub

Private Sub Form_Load()

File1.Pattern = ”*.txt“

'1分 End Sub

Private Sub Dir1_Change()

File1.Path = Dir1.Path

'1分 End Sub

Private Sub Drive1_Change()

Dir1.Path = Drive1.Drive

'1分 End Sub

Private Sub File1_Click()

Dim fs As String, s As String

'获取完整文件名3分

If Right(File1.Path, 1)= ”“ Then

fs = File1.Path + File1.FileName

Else

fs = File1.Path + ”” + File1.FileName

End If

Open fs For Input As #1 '打开文件2分

While Not EOF(1)

'循环2分

Line Input #1, s

'读取行1分 '累加1分

Text1.Text = Text1.Text + s + Chr(13)+ Chr(10)

Wend

Close #1

'打开文件1分 End Sub 第9页，共9页

第四篇：离散数学期末考试试卷答案

离散数学试题(B卷答案1）

一、证明题（10分）

1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∨(Q∨P))∧R ((P∨Q)∨(P∨Q))∧R T∧R(置换)R 2)x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x)证明：x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)xA(x)∨xB(x)xA(x)xB(x)

二、求命题公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。

证明：(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))（P∧(Q∨R)）∨(P∧Q∧R)(P∧Q)∨(P∧R))∨(P∧Q∧R)(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R)m0∨m1∨m2∨m7 M3∨M4∨M5∨M6

三、推理证明题（10分）

1）C∨D，(C∨D) E，E(A∧B)，(A∧B)(R∨S)R∨S 证明：(1)(C∨D)E(2)E(A∧B)

P P

P(3)(C∨D)(A∧B)T(1)(2)，I(4)(A∧B)(R∨S)(5)(C∨D)(R∨S)(6)C∨D

T(3)(4)，I P(7)R∨S T(5)，I 2)x(P(x)Q(y)∧R(x))，xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))证明(1)xP(x)P

(2)P(a)T(1)，ES(3)x(P(x)Q(y)∧R(x))P(4)P(a)Q(y)∧R(a)T(3)，US(5)Q(y)∧R(a)T(2)(4)，I(6)Q(y)T(5)，I(7)R(a)T(5)，I(8)P(a)∧R(a)T(2)(7)，I(9)x(P(x)∧R(x))T(8)，EG(10)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))T(6)(9)，I

四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数（10分）。

解：A，B，C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则|A|=12，|B|=6，|C|=14，|A∩C|=6，|B∩C|=5，|A∩B∩C|=2。

先求|A∩B|。

∵6=|（A∪C）∩B|=|（A∩B）∪（B∩C）|=|（A∩B）|+|（B∩C）|-|A∩B∩C|=|（A∩B）|+5-2，∴|（A∩B）|=3。

于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。不会打这三种球的人数25-20=5。

五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)（10分）。

证明：∵x A-（B∪C） x A∧x（B∪C）

 x A∧（xB∧xC）

（x A∧xB）∧（x A∧xC） x（A-B）∧x（A-C） x（A-B）∩（A-C）

∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）

六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={| x，yN∧y=x}，S={| x，yN∧y=x+1}。求R、R*S、S*R、R{1，2}、S[{1，2}]（10分）。

解：R={| x，yN∧y=x} R*S={| x，yN∧y=x+1} S*R={| x，yN∧y=（x+1）}，R{1，2}={<1，1>，<2，4>}，S[{1，2}]={1，4}。

七、设R={，，}，求r(R)、s(R)和t(R)（15分）。

解：r(R)={，，，，，}

12-1

2s(R)={，，，，，} R= R={，，} R={，，} R={，，} t(R)={，，，，，，，，}

八、证明整数集I上的模m同余关系R={|xy(mod m)}是等价关系。其中，xy(mod m)的含义是x-y可以被m整除（15分）。

证明：1）x∈I，因为（x-x）/m=0，所以xx(mod m)，即xRx。

2）x，y∈I，若xRy，则xy(mod m)，即（x-y）/m=k∈I，所以（y-x）/m=-k∈I，所以yx(mod m)，即yRx。

3）x，y，z∈I，若xRy，yRz，则（x-y）/m=u∈I，（y-z）/m=v∈I，于是（x-z）/m=（x-y+y-z）/m=u+v ∈I，因此xRz。

九、若f:A→B和g:B→C是双射，则（gf）=fg（10分）。

1-1-14325证明：因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf有逆函数（gf）：C→A。同理可推fg：C→A是双射。

因为∈fg存在z（∈g∈f）存在z（∈f∈g）∈gf∈（gf），所以（gf）=fg。

1-1

-1-1-1-1

-1-1-1

-1离散数学试题(B卷答案2）

一、证明题（10分）

1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P∧R)T 证明: 左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(等幂律)T(代入)2)xy(P(x)Q(y)) (xP(x)yQ(y))证明：xy(P(x)Q(y))xy(P(x)∨Q(y))x(P(x)∨yQ(y))xP(x)∨yQ(y)xP(x)∨yQ(y)(xP(x)yQ(y))

二、求命题公式(PQ)(P∨Q)的主析取范式和主合取范式（10分）

解：(PQ)(P∨Q)(PQ)∨(P∨Q)(P∨Q)∨(P∨Q)(P∧Q)∨(P∨Q)(P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q)(P∨Q)M1 m0∨m2∨m3

三、推理证明题（10分）

1)(P(QS))∧(R∨P)∧QRS 证明：(1)R(2)R∨P(3)P(4)P(QS)(5)QS(6)Q(7)S(8)RS 2)x(A(x)yB(y))，x(B(x)yC(y))xA(x)yC(y)。

证明：(1)x(A(x)yB(y))P(2)A(a)yB(y)T(1)，ES(3)x(B(x)yC(y))P(4)x(B(x)C(c))T(3)，ES(5)B(b)C(c)T(4)，US(6)A(a)B(b)T(2)，US(7)A(a)C(c)T(5)(6)，I(8)xA(x)C(c)T(7)，UG(9)xA(x)yC(y)T(8)，EG

四、只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。所以，如果考试准时进行，那么天气就好（15分）。

解设P：今天天气好，Q：考试准时进行，A(e)：e提前进入考场，个体域：考生的集合，则命题可符号化为：PxA(x)，xA(x)QQP。

(1)PxA(x)P(2)PxA(x)T(1)，E(3)xA(x)P T(2)，E(4)xA(x)Q P(5)(xA(x)Q)∧(QxA(x))T(4)，E(6)QxA(x)T(5)，I(7)QP T(6)(3)，I

五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)（10分）

证明：∵x A∩（B∪C） x A∧x（B∪C） x A∧（xB∨xC）（x A∧xB）∨（x A∧xC） x（A∩B）∨x A∩C x（A∩B）∪（A∩C）∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）

六、A={ x1,x2,x3 }，B={ y1,y2}，R={,,}，求其关系矩阵及关系图（10分）。

七、设R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>}，求r(R)、s(R)和t(R)，并作出它们及R的关系图（15分）。

解：r(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>, <3,3>,<4,4>,<5,5>} s(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>} R=R={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>} R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<5,4>} R={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>} t(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<5,4>,<5,5>}

八、设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠且B≠。关系R满足：<，>∈R∈R1且∈R2，证明R是A×B上的等价关系（10分）。

证明对任意的∈A×B，由R1是A上的等价关系可得∈R1，由R2是B上的等价关系可得∈R2。再由R的定义，有<，>∈R，所以R是自反的。

对任意的、∈A×B，若R，则∈R1且∈R2。由R1对称得∈R1，由R2对称得∈R2。再由R的定义，有<，> 432

5∈R，即R，所以R是对称的。

对任意的、、∈A×B，若R且R，则∈R1且∈R2，∈R1且∈R2。由∈R1、∈R1及R1的传递性得∈R1，由∈R2、∈R2及R2的传递性得∈R1。再由R的定义，有<，>∈R，即R，所以R是传递的。

综上可得，R是A×B上的等价关系。

九、设f：AB，g：BC，h：CA，证明：如果hgf＝IA，fhg＝IB，gfh＝IC，则f、g、h均为双射，并求出f、g和h（10分）。

解因IA恒等函数，由hgf＝IA可得f是单射，h是满射；因IB恒等函数，由fhg＝IB可得g是单射，f是满射；因IC恒等函数，由gfh＝IC可得h是单射，g是满射。从而f、g、h均为双射。

由hgf＝IA，得f＝hg；由fhg＝IB，得g＝fh；由gfh＝IC，得h＝gf。－

1－1

－1－1－1

－1离散数学试题(B卷答案3）

一、（10分）判断下列公式的类型（永真式、永假式、可满足式）？(写过程)1)P(P∨Q∨R)2)((QP)∨P)∧(P∨R)3)((P∨Q)R)((P∧Q)∨R)解：1)重言式；2)矛盾式；3)可满足式

二、（10分）求命题公式（P∨(Q∧R))(P∨Q∨R)的主析取范式，并求成真赋值。

解：（P∨(Q∧R))(P∨Q∨R)(P∨(Q∧R))∨P∨Q∨R P∧(Q∨R)∨P∨Q∨R (P∧Q)∨(P∧R)∨(P∨Q)∨R ((P∨Q)∨(P∨Q))∨(P∧R)∨R 1∨((P∧R)∨R)1 m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7 该式为重言式，全部赋值都是成真赋值。

三、（10分）证明((P∧Q∧A)C)∧(A(P∨Q∨C))(A∧(PQ))C 证明：((P∧Q∧A)C)∧(A(P∨Q∨C))((P∧Q∧A)∨C)∧(A∨(P∨Q∨C))((P∨Q∨A)∨C)∧((A∨P∨Q)∨C)

((P∨Q∨A)∧(A∨P∨Q))∨C ((P∨Q∨A)∧(A∨P∨Q))C ((P∨Q∨A)∨(A∨P∨Q))C ((P∧Q∧A)∨(A∧P∧Q))C (A∧((P∧Q)∨(P∧Q)))C (A∧((P∨Q)∧(P∨Q)))C (A∧((QP)∧(PQ)))C (A∧(PQ))C

四、（10分）个体域为{1，2}，求xy（x+y=4）的真值。

解：xy（x+y=4）x（（x+1=4）∨（x+2=4））

（（1+1=4）∨（1+2=4））∧（（2+1=4）∨（2+2=4））（0∨0）∧（0∨1）0∧10

五、（10分）对于任意集合A，B，试证明：P(A)∩P(B)=P(A∩B)解：xP(A)∩P(B)，xP(A)且xP(B)，有xA且xB，从而xA∩B，xP(A∩B)，由于上述过程可逆，故P(A)∩P(B)=P(A∩B)

六、（10分）已知A={1，2，3，4，5}和R={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解：r(R)={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>，<3，2>，<4，3>，<4，5>} t(R)={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>，<1，1>，<1，3>，<2，2>，<2，4>，<1，4>}

七、（10分）设函数f：R×RR×R，R为实数集，f定义为：f()=。1)证明f是双射。

解：1），∈R×R，若f()=f()，即=，则x1+y1=x2+y2且x1-y1=x2-y2得x1=x2，y1=y2从而f是单射。

2）

∈R×R，由f()=

，通过计算可得x=(p+q)/2；y=(p-q)/2；从而

的原象存在，f是满射。

八、（10分）是个群，u∈G，定义G中的运算“”为ab=a*u*b，对任意a，b∈G，求证：也是个群。

证明：1）a，b∈G，ab=a*u*b∈G，运算是封闭的。

2）a，b，c∈G，（ab）c=（a*u*b）*u*c=a*u*（b*u*c）=a（bc），运算是可结合的。

3）a∈G，设E为的单位元，则aE=a*u*E=a，得E=u，存在单位元u。4）a∈G，ax=a*u*x=E，x=u*a*u，则xa=u*a*u*u*a=u=E，每个元素都有逆元。

所以也是个群。

九、（10分）已知：D=，V={1，2，3，4，5}，E={<1，2>，<1，4>，<2，3>，<3，4>，<3，5>，<5，1>}，求D的邻接距阵A和可达距阵P。

解：1）D的邻接距阵A和可达距阵P如下：

A= 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1-

1-1

P= 1 1 1 1

十、（10分）求叶的权分别为2、4、6、8、10、12、14的最优二叉树及其权。

解：最优二叉树为

权＝(2+4)×4+6×3+12×2+(8+10)×3+14×2＝148

离散数学试题(B卷答案4）

一、证明题（10分）

1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P∧R)T

证明: 左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(等幂律)T(代入)2)x(P(x)Q(x))∧xP(x)x(P(x)∧Q(x))证明：x(P(x)Q(x))∧xP(x)x((P(x)Q(x)∧P(x))x((P(x)∨Q(x)∧P(x))x(P(x)∧Q(x))xP(x)∧xQ(x)x(P(x)∧Q(x))

二、求命题公式(PQ)(P∨Q)的主析取范式和主合取范式（10分）

解：(PQ)(P∨Q)(PQ)∨(P∨Q)(P∨Q)∨(P∨Q)(P∧Q)∨(P∨Q)(P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q)(P∨Q)M1m0∨m2∨m3

三、推理证明题（10分）

1)(P(QS))∧(R∨P)∧QRS 证明：（1）R 附加前提(2)R∨P P(3)P T(1)(2),I(4)P(QS)P(5)QS T(3)(4),I(6)Q P(7)S T(5)(6),I(8)RS CP 2)x(P(x)∨Q(x))，xP(x)x Q(x)证明：(1)xP(x)P(2)P(c)T(1),US(3)x(P(x)∨Q(x))P(4)P(c)∨Q(c)T(3),US(5)Q(c)T(2)(4),I(6)x Q(x)T(5),EG

四、例5在边长为1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过1/8（10分）。

证明：把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有三个点，它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过小正方形的一半，即1/8。

五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)（10分）

六、={A1，A2，„，An}是集合A的一个划分，定义R={|a、b∈Ai，I=1，2，„，n}，则R是A上的等价关系（15分）。

证明：a∈A必有i使得a∈Ai，由定义知aRa，故R自反。a,b∈A，若aRb，则a,b∈Ai，即b,a∈Ai，所以bRa，故R对称。

a,b,c∈A，若aRb 且bRc，则a,b∈Ai及b,c∈Aj。因为i≠j时Ai∩Aj=，故i=j，即a,b,c∈Ai，所以aRc，故R传递。

总之R是A上的等价关系。

七、若f:A→B是双射，则f:B→A是双射（15分）。

证明:对任意的x∈A，因为f是从A到B的函数，故存在y∈B，使∈f，∈f。所以,f是满射。

对任意的x∈A，若存在y1,y2∈B，使得∈f且∈f,则有∈f且∈f。因为f是函数，则y1=y2。所以，f是单射。

因此f是双射。

八、设是群，和是的子群，证明：若A∪B＝G，则A＝G或B＝G（10分）。

证明假设A≠G且B≠G，则存在aA，aB，且存在bB，bA（否则对任意的aA，aB，从而AB，即A∪B＝B，得B＝G，矛盾。）

对于元素a*bG，若a*bA，因A是子群，aA，从而a *(a*b)＝b A，所以矛盾，故a*bA。同理可证a*bB，综合有a*bA∪B＝G。综上所述，假设不成立，得证A＝G或B＝G。

九、若无向图G是不连通的，证明G的补图G是连通的（10分）。

证明设无向图G是不连通的，其k个连通分支为G1、G2、„、Gk。任取结点u、v∈G，若u和v不在图G的同一个连通分支中，则[u，v]不是图G的边，因而[u，v]

1-1-1

-1-1-1-1是图G的边；若u和v在图G的同一个连通分支中，不妨设其在连通分支Gi（1≤i≤k）中，在不同于Gi的另一连通分支上取一结点w，则[u，w]和[w，v]都不是图G的边，因而[u，w]和[w，v]都是G的边。综上可知，不管那种情况，u和v都是可达的。由u和v的任意性可知，G是连通的。

离散数学试题（B卷答案5）

一、（10分）求命题公式(P∧Q)(PR)的主合取范式。

解：(P∧Q)(PR)（(P∧Q)(PR)）∧（(PR)(P∧Q)）（(P∧Q)∨(P∧R)）∧（(P∨R)∨(P∨Q)）(P∧Q)∨(P∧R)(P∨R)∧（Q∨P）∧（Q∨R）

(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧（P∨Q∨R）∧（P∨Q∨R）M1∧M3∧M4∧M5

二、（8分）叙述并证明苏格拉底三段论

解：所有人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。符号化：F（x）：x是一个人。G（x）：x要死的。A：苏格拉底。命题符号化为x（F（x）G（x）），F（a）G（a）证明：

（1）x(F(x)G(x))P（2）F(a)G(a)T(1),US（3）F(a)P（4）G(a)T(2)(3),I

三、（8分）已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)证明：∵x A∩（B∪C） x A∧x（B∪C）

 x A∧（xB∨xC）

（x A∧xB）∨（x A∧xC） x（A∩B）∨x A∩C  x（A∩B）∪（A∩C）

∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）

四、（10分）已知R和S是非空集合A上的等价关系，试证：1）R∩S是A上的等价关系；2）对a∈A，[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

解：x∈A，因为R和S是自反关系，所以∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是自反的。

x、y∈A，若∈R∩S，则∈R、∈S，因为R和S是对称关系，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是对称的。

x、y、z∈A，若∈R∩S且∈R∩S，则∈R、∈S且∈R、∈S，因为R和S是传递的，所以因∈R、∈S，因而∈R∩S，故R∩S是传递的。

总之R∩S是等价关系。

2）因为x∈[a]R∩S∈R∩S

∈R∧∈S x∈[a]R∧x∈[a]S x∈[a]R∩[a]S 所以[a]R∩S=[a]R∩[a]S。

五、(10分)设A＝{a，b，c，d}，R是A上的二元关系，且R＝{，，，}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解 r(R)＝R∪IA＝{，，，，，，，} s(R)＝R∪R＝{，，，，，} R＝{，，，} R＝{，，，} R＝{，，，}＝R

t(R)＝R＝{，，，，，，，

4232-1d>，}

六、(15分)设A、B、C、D是集合，f是A到B的双射，g是C到D的双射，令h：A×CB×D且∈A×C，h()＝。证明h是双射。

证明：1）先证h是满射。

∈B×D，则b∈B，d∈D，因为f是A到B的双射，g是C到D的双射，所以存在a∈A，c∈C，使得f(a)=b，f(c)=d，亦即存在∈A×C，使得h()＝＝，所以h是满射。

2）再证h是单射。

、∈A×C，若h()＝h()，则＝，所以f(a1)＝f(a2)，g(c1)＝g(c2)，因为f是A到B的双射，g是C

到D的双射，所以a1＝a2，c1＝c2，所以＝，所以h是单射。

综合1）和2），h是双射。

七、(12分)设是群，H是G的非空子集，证明是的子群的充要条件是若a，bH，则有a*bH。

证明： a,b∈H有b∈H，所以a*b∈H。a∈H，则e=a*a∈H a=e*a∈H ∵a,b∈H及b∈H，∴a*b=a*（b）∈H ∵HG且H≠,∴*在H上满足结合律 ∴是的子群。

八、（10分）设G=是简单的无向平面图，证明G至少有一个结点的度数小于等于5。

解：设G的每个结点的度数都大于等于6，则2|E|=d(v)≥6|V|，即|E|≥3|V|，与简单无向平面图的|E|≤3|V|-6矛盾，所以G至少有一个结点的度数小于等于5。九.G=,A={a,b,c},*的运算表为：(写过程，7分)-

1-1

-1-1-1-1-1

-1-1（1）G是否为阿贝尔群？

（2）找出G的单位元；（3）找出G的幂等元（4）求b的逆元和c的逆元解：（1）(a*c)*(a*c)=c*c=b=a*b=(a*a)*(c*c)(a*b)*(a*b)=b*b=c=a*c=(a*a)*(b*b)(b*c)*(b*c)=a*a=a=c*b=(b*b)*(c*c)所以G是阿贝尔群

（2）因为a*a=a a*b=b*a=b a*c=c*a=c 所以G的单位元是a（3）因为a*a=a 所以G的幂等元是a（4）因为b*c=c*b=a，所以b的逆元是c且c的逆元是b

十、(10分)求叶的权分别为2、4、6、8、10、12、14的最优二叉树及其权。

解：最优二叉树为

权＝148 离散数学试题（B卷答案6）

一、（20分）用公式法判断下列公式的类型：(1)(P∨Q)(PQ)(2)(PQ)(P∧(Q∨R))解：（1）因为(P∨Q)(PQ)(P∨Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)

(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)m1∨m2∨m3 M0

所以，公式(P∨Q)(PQ)为可满足式。

（2）因为(PQ)(P∧(Q∨R))((P∨Q))∨(P∧Q∧R))

(P∨Q)∨(P∧Q∧R))

(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨Q)∧(P∨Q∨R)(P∨Q)∧(P∨Q∨R)

(P∨Q∨(R∧R))∧(P∨Q∨R)(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)M0∧M1

m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7

所以，公式(PQ)(P∧(Q∨R))为可满足式。

二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：每个科学家都是勤奋的，每个勤奋

又身体健康的人在事业中都会获得成功。存在着身体健康的科学家。所以，存在着事业获得成功的人或事业半途而废的人。

解：论域：所有人的集合。Q(x)：x是勤奋的；H(x)：x是身体健康的；S(x)：x是科学家；C(x)：x是事业获得成功的人；F(x)：x是事业半途而废的人；则推理化形式为：

x(S(x)H(x))Q(x))，x(Q(x)∧H(x)C(x))，x(S(x)∧x(C(x)∨F(x))下面给出证明：

(1)x(S(x)∧H(x))

P(2)S(a)∧H(a)

T(1)，ES(3)x(S(x)Q(x))

P(4)S(a)Q(a)

T(1)，US(5)S(a)

T(2)，I(6)Q(a)

T(4)(5)，I(7)H(a)

T(2)，I(8)Q(a)∧H(a)

T(6)(7)，I(9)x(Q(x)∧H(x)C(x))

P(10)Q(a)∧H(a)C(a)

T(9)，Us(11)C(a)

T(8)(10)，I(12)xC(x)

T(11)，EG(13)x(C(x)∨F(x))

T(12)，I

三、（10分）设A＝{，1，{1}}，B＝{0，{0}}，求P(A)、P(B)－{0}、P(B)B。解

P(A)＝{，{}，{1}，{{1}}，{，1}，{，{1}}，{1，{1}}，{，1，{1}}} P(B)－{0}＝{，{0}，{{0}}，{0，{0}}－{0}＝{，{0}，{{0}}，{0，{0}} P(B)B＝{，{0}，{{0}}，{0，{0}}{0，{0}}＝{，0，{{0}}，{0，{0}}

四、（15分）设R和S是集合A上的任意关系，判断下列命题是否成立？(1)若R和S是自反的，则R*S也是自反的。(2)若R和S是反自反的，则R*S也是反自反的。(3)若R和S是对称的，则R*S也是对称的。

(4)若R和S是传递的，则R*S也是传递的。(5)若R和S是自反的，则R∩S是自反的。(6)若R和S是传递的，则R∪S是传递的。

解

(1)成立。对任意的a∈A，因为R和S是自反的，则∈R，∈S，于是∈R*S，故R*S也是自反的。

(2)不成立。例如，令A＝{1，2}，R＝{<1，2>}，S＝{<2，1>}，则R和S是反自反的，但R*S＝{<1，1>}不是反自反的。

(3)不成立。例如，令A＝{1，2，3}，R＝{<1，2>，<2，1>，<3，3>}，S＝{<2，3>，<3，2>}，则R和S是对称的，但R*S＝{<1，3>，<3，2>}不是对称的。

(4)不成立。例如，令A＝{1，2，3}，R＝{<1，2>，<2，3>，<1，3>}，S＝{<2，3>，<3，1>，<2，1>}，则R和S是传递的，但R*S＝{<1，3>，<1，1>，<2，1>}不是传递的。

(5)成立。对任意的a∈A，因为R和S是自反的，则∈R，∈S，于是∈R∩S，所以R∩S是自反的。

五、（15分）令X＝{x1，x2，„，xm}，Y＝{y1，y2，„，yn}。问(1)有多少个不同的由X到Y的函数？

(2)当n、m满足什么条件时，存在单射，且有多少个不同的单射？(3)当n、m满足什么条件时，存在双射，且有多少个不同的双射？

解

(1)由于对X中每个元素可以取Y中任一元素与其对应，每个元素有n种取法，所以不同的函数共nm个。

(2)显然当|m|≤|n|时，存在单射。由于在Y中任选m个元素的任一全排列都形成X到

mY的不同的单射，故不同的单射有Cnm!＝n(n－1)(n―m―1)个。

(3)显然当|m|＝|n|时，才存在双射。此时Y中元素的任一不同的全排列都形成X到Y的不同的双射，故不同的双射有m!个。

六、（5分）集合X上有m个元素，集合Y上有n个元素，问X到Y的二元关系总共有多少个？

解

X到Y的不同的二元关系对应X×Y的不同的子集，而X×Y的不同的子集共有个2mn，所以X到Y的二元关系总共有2mn个。

七、（10分）若是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝

b。

证明设e是群的幺元。令x＝a1*b，则a*x＝a*(a1*b)＝(a*a1)*b＝e*b＝b。

－

－所以，x＝a1*b是a*x＝b的解。－若x∈G也是a*x＝b的解，则x＝e*x＝(a1*a)*x＝a1*(a*x)＝a1*b＝x。所以，x

－

－＝a1*b是a*x＝b的惟一解。－

八、（10分）给定连通简单平面图G＝，且|V|＝6，|E|＝12。证明：对任意f∈F，d(f)＝3。

证明

由偶拉公式得|V|－|E|＋|F|＝2，所以|F|＝2－|V|＋|E|＝8，于是d(f)＝2|E|＝

fF24。若存在f∈F，使得d(f)＞3，则3|F|＜2|E|＝24，于是|F|＜8，与|F|＝8矛盾。故对任意f∈F，d(f)＝3。

离散数学试题（B卷答案7）

一、（15分）设计一盏电灯的开关电路，要求受3个开关A、B、C的控制：当且仅当A和C同时关闭或B和C同时关闭时灯亮。设F表示灯亮。

(1)写出F在全功能联结词组{}中的命题公式。(2)写出F的主析取范式与主合取范式。

解

(1)设A：开关A关闭；B：开关B关闭；C：开关C关闭；F＝(A∧C)∨(B∧C)。在全功能联结词组{}中：

A(A∧A)AA A∧C(A∧C)(AC)(AC)(AC)

A∨B(A∧B)((AA)∧(BB))(AA)(BB)所以

F((AC)(AC))∨((BC)(BC))(((AC)(AC))((AC)(AC)))(((BC)(BC))((BC)(BC)))(2)F(A∧C)∨(B∧C)

(A∧(B∨B)∧C)∨((A∨A)∧B∧C)(A∧B∧C)∨(A∧B∧C)∨(A∧B∧C)∨(A∧B∧C)m3∨m5∨m7

主析取范式 M0∧M1∧M2∧M4∧M6

主合取范式

二、（10分）判断下列公式是否是永真式？(1)(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x))。(2)(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x)))。解

(1)(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x))(xA(x)∨xB(x))x(A(x)B(x))(xA(x)∨xB(x))∨x(A(x)∨B(x))(xA(x)∧xB(x))∨xA(x)∨xB(x)(xA(x)∨xA(x)∨xB(x))∧(xB(x)∨xA(x)∨xB(x))x(A(x)∨A(x))∨xB(x)T

所以，(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x))为永真式。

(2)设论域为{1，2}，令A(1)＝T；A(2)＝F；B(1)＝F；B(2)＝T。

则xA(x)为假，xB(x)也为假，从而xA(x)xB(x)为真；而由于A(1)B(1)为假，所以x(A(x)B(x))也为假，因此公式(xA(x)xB(x))x(A(x)B(x))为假。该公式不是永真式。

三、（15分）设X为集合，A＝P(X)－{}－{X}且A≠，若|X|＝n，问(1)偏序集是否有最大元？(2)偏序集是否有最小元？

(3)偏序集中极大元和极小元的一般形式是什么？并说明理由。解

偏序集不存在最大元和最小元，因为n＞2。

考察P(X)的哈斯图，最底层的顶点是空集，记作第0层，由底向上，第一层是单元集，第二层是二元集，…，由|X|＝n，则第n－1层是X的n－1元子集，第n层是X。偏序集与偏序集

相比，恰好缺少第0层和第n层。因此的极小元就是X的所有单元集，即{x}，x∈X；而极大元恰好是比X少一个元素，即X－{x}，x∈X。

四、（10分）设A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解

r(R)＝R∪IA＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)＝R∪R1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，－

<4，2>，<4，3>} R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>} R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2 t(R)＝Ri＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，i11>，<5，4>，<5，5>}。

五、（10分）设函数g：A→B，f：B→C，(1)若fg是满射，则f是满射。(2)若fg是单射，则g是单射。

证明

因为g：A→B，f：B→C，由定理5.5知，fg为A到C的函数。

(1)对任意的z∈C，因fg是满射，则存在x∈A使fg(x)＝z，即f(g(x))＝z。由g：A→B可知g(x)∈B，于是有y＝g(x)∈B，使得f(y)＝z。因此，f是满射。

(2)对任意的x1、x2∈A，若x1≠x2，则由fg是单射得fg(x1)≠fg(x2)，于是f(g(x1))≠f(g(x2))，必有g(x1)≠g(x2)。所以，g是单射。

六、（10分）有幺元且满足消去律的有限半群一定是群。

证明

设是一个有幺元且满足消去律的有限半群，要证是群，只需证明G的任一元素a可逆。

考虑a，a2，„，ak，„。因为G只有有限个元素，所以存在k＞l，使得ak＝al。令m＝k－l，有al*e＝al*am，其中e是幺元。由消去率得am＝e。

于是，当m＝1时，a＝e，而e是可逆的；当m＞1时，a*am-1＝am-1*a＝e。从而a是可逆的，其逆元是am-1。总之，a是可逆的。

七、（20分）有向图G如图所示，试求：(1)求G的邻接矩阵A。

(2)求出A2、A3和A4，v1到v4长度为1、2、3和4的路有多少？

(3)求出ATA和AAT，说明ATA和AAT中的第(2，2)元素和第(2，3)元素的意义。(4)求出可达矩阵P。(5)求出强分图。

解

(1)求G的邻接矩阵为：

00A00101011

101100(2)由于

002A001110220130A0211102011120322044A

031201012313 2322所以v1到v4长度为1、2、3和4的路的个数分别为1、1、2、3。(3)由于

00ATA000002131212TAA

21011102132110 2121再由定理10.19可知，所以ATA的第(2，2)元素为3，表明那些边以v2为终结点且具有不同始结点的数目为3，其第(2，3)元素为0，表明那些边既以v2为终结点又以v3为终结点，并且具有相同始结点的数目为0。AAT中的第(2，2)元素为2，表明那些边以v2为始结点且具有不同终结点的数目为2，其第(2，3)元素为1，表明那些边既以v2为始结点又以v3为始结点，并且具有相同终结点的数目为1。

(4)00B4AA2A3A40000所以求可达矩阵为P0000(5)因为PPT0010100110+10101000111111。

11111111101111∧1111111100001110＝01110111000111，所以{v1}，{v2，v3，v4}

111111因

1110



2010

1110

0110

2120312204+

2120320101231323220

000

为

741



747，747



434构成G的强分图。

离散数学试题（B卷答案8）

一、（10分）证明(P∨Q)∧(PR)∧(QS)S∨R

证明

因为S∨RRS，所以，即要证(P∨Q)∧(PR)∧(QS)RS。(1)R

附加前提(2)PR

P(3)P

T(1)(2)，I(4)P∨Q

P(5)Q

T(3)(4)，I(6)QS

P(7)S

T(5)(6)，I(8)RS

CP(9)S∨R

T(8)，E

二、（15分）根据推理理论证明：每个考生或者勤奋或者聪明，所有勤奋的人都将有所作为，但并非所有考生都将有所作为，所以，一定有些考生是聪明的。

设P(e)：e是考生，Q(e)：e将有所作为，A(e)：e是勤奋的，B(e)：e是聪明的，个体域：人的集合，则命题可符号化为：x(P(x)(A(x)∨B(x)))，x(A(x)Q(x))，x(P(x)Q(x))x(P(x)∧B(x))。

(1)x(P(x)Q(x))

P(2)x(P(x)∨Q(x))

T(1)，E(3)x(P(x)∧Q(x))

T(2)，E(4)P(a)∧Q(a)

T(3)，ES(5)P(a)

T(4)，I(6)Q(a)

T(4)，I(7)x(P(x)(A(x)∨B(x))

P(8)P(a)(A(a)∨B(a))

T(7)，US(9)A(a)∨B(a)

T(8)(5)，I(10)x(A(x)Q(x))

(11)A(a)Q(a)

T(10)，US(12)A(a)

T(11)(6)，I

(13)B(a)

T(12)(9)，I(14)P(a)∧B(a)

T(5)(13)，I(15)x(P(x)∧B(x))

T(14)，EG

三、（10分）某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数。

解

设A、B、C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则：

|A|＝12，|B|＝6，|C|＝14，|A∩C|＝6，|B∩C|＝5，|A∩B∩C|＝2，|(A∪C)∩B|＝6。因为|(A∪C)∩B|＝(A∩B)∪(B∩C)|＝|(A∩B)|＋|(B∩C)|－|A∩B∩C|＝|(A∩B)|＋5－2＝6，所以|(A∩B)|＝3。于是|A∪B∪C|＝12＋6＋14－6－5－3＋2＝20，|ABC|＝25－20＝5。故，不会打这三种球的共5人。

四、（10分）设A1、A2和A3是全集U的子集，则形如Ai(Ai为Ai或Ai)的集合称

i13为由A1、A2和A3产生的小项。试证由A1、A2和A3所产生的所有非空小项的集合构成全集U的一个划分。

证明

小项共8个，设有r个非空小项s1、s2、…、sr(r≤8)。

对任意的a∈U，则a∈Ai或a∈Ai，两者必有一个成立，取Ai为包含元素a的Ai或Ai，则a∈Ai，即有a∈si，于是Usi。又显然有siU，所以U＝si。

i1i1i1i1i13rrrr任取两个非空小项sp和sq，若sp≠sq，则必存在某个Ai和Ai分别出现在sp和sq中，于是sp∩sq＝。

综上可知，{s1，s2，…，sr}是U的一个划分。

五、（15分）设R是A上的二元关系，则：R是传递的R*RR。

证明

(5)若R是传递的，则∈R*Rz(xRz∧zSy)xRc∧cSy，由R是传递的得xRy，即有∈R，所以R*RR。

反之，若R*RR，则对任意的x、y、z∈A，如果xRz且zRy，则∈R*R，于是有∈R，即有xRy，所以R是传递的。

六、（15分）若G为连通平面图，则n－m＋r＝2，其中，n、m、r分别为G的结点数、边数和面数。

证明

对G的边数m作归纳法。

当m＝0时，由于G是连通图，所以G为平凡图，此时n＝1，r＝1，结论自然成立。假设对边数小于m的连通平面图结论成立。下面考虑连通平面图G的边数为m的情况。

设e是G的一条边，从G中删去e后得到的图记为G，并设其结点数、边数和面数分别为n、m和r。对e分为下列情况来讨论：

若e为割边，则G有两个连通分支G1和G2。Gi的结点数、边数和面数分别为ni、mi和ri。显然n1＋n2＝n＝n，m1＋m2＝m＝m－1，r1＋r2＝r＋1＝r＋1。由归纳假设有n1－m1＋r1＝2，n2－m2＋r2＝2，从而(n1＋n2)－(m1＋m2)＋(r1＋r2)＝4，n－(m－1)＋(r＋1)＝4，即n－m＋r＝2。

若e不为割边，则n＝n，m＝m－1，r＝r－1，由归纳假设有n－m＋r＝2，从而n－(m－1)＋r－1＝2，即n－m＋r＝2。

由数学归纳法知，结论成立。

七、（10分）设函数g：A→B，f：B→C，则：(1)fg是A到C的函数；

(2)对任意的x∈A，有fg(x)＝f(g(x))。

证明

(1)对任意的x∈A，因为g：A→B是函数，则存在y∈B使∈g。对于y∈B，因f：B→C是函数，则存在z∈C使∈f。根据复合关系的定义，由∈g和∈f得∈g*f，即∈fg。所以Dfg＝A。

对任意的x∈A，若存在y1、y2∈C，使得、∈fg＝g*f，则存在t1使得∈g且∈f，存在t2使得∈g且∈f。因为g：A→B是函数，则t1＝t2。又因f：B→C是函数，则y1＝y2。所以A中的每个元素对应C中惟一的元素。

综上可知，fg是A到C的函数。

(2)对任意的x∈A，由g：A→B是函数，有∈g且g(x)∈B，又由f：B→C是函数，得∈f，于是∈g*f＝fg。又因fg是A到C的函数，则可写为fg(x)＝f(g(x))。

八、（15分）设是的子群，定义R＝{|a、b∈G且a1*b∈H}，－则R是G中的一个等价关系，且[a]R＝aH。

证明

对于任意a∈G，必有a1∈G使得a1*a＝e∈H，所以∈R。

－

若∈R，则a1*b∈H。因为H是G的子群，故(a1*b)1＝b1*a∈H。所以

－

－a>∈R。

若∈R，∈R，则a1*b∈H，b1*c∈H。因为H是G的子群，所以(a

－

－1*b)*(b1*c)＝a1*c∈H，故∈R。－－综上可得，R是G中的一个等价关系。

对于任意的b∈[a]R，有∈R，a1*b∈H，则存在h∈H使得a1*b＝h，b＝a*h，－

－于是b∈aH，[a]RaH。对任意的b∈aH，存在h∈H使得b＝a*h，a1*b＝h∈H，∈R，故aH[a]R。所以，[a]R＝aH。

离散数学试题（B卷答案9）

一、（10分）证明(P∧Q∧AC)∧(AP∨Q∨C)(A∧(PQ))C。证明：(P∧Q∧AC)∧(AP∨Q∨C)(P∨Q∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C)

(P∨Q∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C)((P∨Q∨A)∧(A∨P∨Q))∨C ((P∧Q∧A)∨(A∧P∧Q))∨C (A∧((P∧Q)∨(P∧Q)))∨C (A∧(PQ))∨C (A∧(PQ))C。

二、（10分）举例说明下面推理不正确：xy(P(x)Q(y))，yz(R(y)Q(z))xz(P(x)R(z))。

解：设论域为{1，2}，令P(1)＝P(2)＝T；Q(1)＝Q(2)＝T；R(1)＝R(2)＝F。则： xy(P(x)Q(y))x((P(x)Q(1))∨(P(x)Q(2)))

((P(1)Q(1))∨(P(1)Q(2)))∧((P(2)Q(1))∨(P(2)Q(2)))((TT)∨(TT))∧((TT)∨(TT))T yz(R(y)Q(z))y((R(y)Q(1))∨(R(y)Q(2)))

((R(1)Q(1))∨(R(1)Q(2)))∧((R(2)Q(1))∨(R(2)Q(2)))

((FT)∨(FT))∧((FT)∨(FT))

T

但

xz(P(x)R(z))x((P(x)R(1))∧(P(x)R(2)))((P(1)R(1))∧(P(1)R(2)))∨((P(2)R(1))∧(P(2)R(2)))((TF)∧(TF))∨((TF)∧(TF))F 所以，xy(P(x)Q(y))，yz(R(y)Q(z))xz(P(x)R(z))不正确。

三、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：所有牛都有角，有些动物是牛，所以，有些动物有角。

解：令P(x)：x是牛；Q(x)：x有角；R(x)：x是动物；则推理化形式为：

x(P(x)Q(x))，x(P(x)∧R(x))x(Q(x)∧R(x))下面给出证明：

(1)x(P(x)∧R(x))

P(2)P(a)∧R(a)

T(1)，ES(3)x(P(x)Q(x))

P(4)P(a)Q(a)

T(3)，US(5)P(a)

T(2)，I(6)Q(a)

T(4)(5)，I(7)R(a)

T(2)，I(8)Q(a)∧R(a)

T(6)(7)，I(9)x(Q(x)∧R(x))

T(8)，EG

四、（10分）证明(A∩B)×(C∩D)＝(A×C)∩(B×D)。

证明：因为∈(A∩B)×(C∩D)x∈(A∩B)∧y∈(C∩D)x∈A∧x∈B∧y∈C∧y∈D(x∈A∧y∈C)∧(x∈B∧y∈D)∈A×C∧∈B×D∈(A×C)∩(B×D)，所以(A∩B)×(C∩D)＝(A×C)∩(B×D)。

五、（15分）设A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解

六、（10分）若函数f：A→B是双射，则对任意x∈A，有f1(f(x))＝x。

－证明

对任意的x∈A，因为f：A→B是函数，则∈f，于是

－由f－1是B到A的函数，于是可写为f1(f(x))＝x。

－

七、（10分）若G为有限群，则|G|＝|H|·[G:H]。

证明

设[G:H]＝k，a1、a2、…、ak分别为H的k个左陪集的代表元，由定理8.38得

G[ai]RaiH

i1i1kk又因为对H中任意不同的元素x、y∈H及a∈G，必有a*x≠a*y，所以|a1H|＝…＝|akH|＝|H|。因此

|G||aiH|i1k|aH|k|H|＝|H|·[G:H]。

ii1k

八、（20分）（1）画出3阶2条边的所有非同构有向简单图。

解：由握手定理可知，所画的有向简单图各结点度数之和为4，且最大出度和最大入度均小于或等于2。度数列与入度列、出度列为： 1、2、1：入度列为0、1、1或0、2、0或1、0、1；出度列为1、1、0或1、0、1或0、2、0 2、2、0：入度列为1、1、0；出度列为1、1、0 四个所求有向简单图如图所示。

（2）设G是n(n≥4)阶极大平面图，则G的最小度≥3。

证明

设v是极大平面图G的任一结点，则v在平面图G－{v}的某个面f内。由于G－{v}是一个平面简单图且其结点数大于等于3，所以d(f)≥3。由G的极大平面性，v与f上的结点之间都有边，因此d(v)≥3。由v的任意性可得，G的最小度≥3。

离散数学试题（B卷答案10）

一、（10分）使用将命题公式化为主范式的方法，证明(PQ)(P∧Q)(QP)∧(P∨Q)。

证明：因为(PQ)(P∧Q)(P∨Q)∨(P∧Q)

(P∧Q)∨(P∧Q)(QP)∧(P∨Q)(Q∨P)∧(P∨Q)(P∧Q)∨(Q∧Q)∨(P∧P)∨(P∧Q)(P∧Q)∨P

(P∧Q)∨(P∧(Q∨Q))(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)(P∧Q)∨(P∧Q)所以，(PQ)(P∧Q)(QP)∧(P∨Q)。

二、（10分）证明下述推理：如果A努力工作，那么B或C感到愉快；如果B愉快，那么A不努力工作；如果D愉快那么C不愉快。所以，如果A努力工作，则D不愉快。

解设A：A努力工作；B、C、D分别表示B、C、D愉快；则推理化形式为： AB∨C，BA，DCAD

(1)A 附加前提(2)AB∨C P(3)B∨C T(1)(2)，I(4)BA P(5)AB

T(4)，E(6)B T(1)(5)，I(7)C T(3)(6)，I

(8)DC P(9)D T(7)(8)，I(10)AD CP

三、（10分）证明xy(P(x)Q(y))(xP(x)yQ(y))。xy(P(x)Q(y))xy(P(x)∨Q(y))x(P(x)∨yQ(y))xP(x)∨yQ(y)xP(x)∨yQ(y)(xP(x)yQ(y))

四、（10分）设A＝{，1，{1}}，B＝{0，{0}}，求P(A)、P(B)－{0}、P(B)B。解 P(A)＝{，{}，{1}，{{1}}，{，1}，{，{1}}，{1，{1}}，{，1，{1}}} P(B)－{0}＝{，{0}，{{0}}，{0，{0}}－{0}＝{，{0}，{{0}}，{0，{0}} P(B)B＝{，{0}，{{0}}，{0，{0}}{0，{0}}＝{，0，{{0}}，{0，{0}}

五、（15分）设X＝{1，2，3，4}，R是X上的二元关系，R＝{<1，1>，<3，1>，<1，3>，<3，3>，<3，2>，<4，3>，<4，1>，<4，2>，<1，2>}(1)画出R的关系图。(2)写出R的关系矩阵。

(3)说明R是否是自反、反自反、对称、传递的。解(1)R的关系图如图所示：(2)R的关系矩阵为：

10M(R)111011101100 00(3)对于R的关系矩阵，由于对角线上不全为1，R不是自反的；由于对角线上存在非0元，R不是反自反的；由于矩阵不对称，R不是对称的；

经过计算可得

10M(R2)111011101100M(R)，所以R是传递的。00

六、（15分）设函数f：R×RR×R，f定义为：f()＝。(1)证明f是单射。(2)证明f是满射。(3)求逆函数f。

(4)求复合函数ff和ff。

证明(1)对任意的x，y，x1，y1∈R，若f()＝f()，则＝，x＋y＝x1＋y1，x－y＝x1－y1，从而x＝x1，y＝y1，故f是单射。

(2)对任意的∈R×R，令x＝－1－

1uwuwuwuw，y＝，则f()＝<＋，2222uwuw－>＝，所以f是满射。22(3)f()＝<－1－1uwuw，>。22－1(4)ff()＝f(f())＝f

－1

()＝<

xyxy，2xy(xy)>＝ 2ff()＝f(f())＝f()＝＝<2x，2y>。

七、（15分）给定群，若对G中任意元a和b，有a*b＝(a*b)，a*b＝(a*b)，a*b＝(a*b)，试证是Abel群。

证明对G中任意元a和b。

因为a*b＝(a*b)，所以a*a*b*b＝a*(a*b)*b，即得a*b＝(b*a)。同33

333

2255

13

111理，由a*b＝(a*b)可得，a*b＝(b*a)。由a*b＝(a*b)可得，a*b＝(b*a)。

于是(a*b)*(b*a)＝(b*a)＝a*b，即b*a＝a*b。同理可得，(a*b)*(b*a)＝(b*a)＝a*b，即b*a＝a*b。

3333334

344433555444

由于(a*b)*b＝a*b＝b*a＝b*(b*a)＝b*(a*b)＝(b*a)*b，故a*b＝b*a。

八、（15分）（1）证明在n个结点的连通图G中，至少有n－1条边。

证明不妨设G是无向连通图（若G为有向图，可略去边的方向讨论对应的无向图）。设G中结点为v1、v2、„、vn。由连通性，必存在与v1相邻的结点，不妨设它为v2（否则可重新编号），连接v1和v2，得边e1，还是由连通性，在v3、v4、„、vn中必存在与v1或v2相邻的结点，不妨设为v3，将其连接得边e2，续行此法，vn必与v1、v2、„、vn1中的某个结点相邻，得新边en1，由此可见G中至少有n－1条边。

（2）试给出|V|＝n，|E|＝(n－1)(n－2)的简单无向图G＝是不连通的例子。

解下图满足条件但不连通。

12344333

第五篇：《机械制图》期末考试试卷答案

在半剖视图中半个视图与半个剖视图的分界线用（）。

（A）粗实线

(B)细实线

(C)细点画线

(D)波浪线答案：（C）

局部放大图的标注中，若被放大的部分有几个，应用（）数字编号，并在局部放大图上方标注相应的数字和采用的比例。

（A）希腊

(B)阿拉伯

(C)罗马

(D)中国答案：（C）

尺寸应该尽量标注在（D）上。

A、主视图 B、俯视图 C、左视图 D、特征视图

六个基本视图中最常用的是（）视图。

（A）主、右、仰

(B)主、俯、左

(C)后、右、仰

(D)主、左、仰答案：（B）下图的A-A剖面图中，选出正确的断面图（）。

在下图中，选出正确的一组视图（）。

答案：C 下面右图用的是（）表示方法。

（A）全剖

（B）局部剖

（C）移出剖面

（D）重合剖面

答案：C

在下图中选出正确的剖视图。（）

答案：C

在下图中选出正确的局部剖视图。（）

答案：B

在下图中选出正确的剖视图。（）

答案：C

求作立体的相贯线。（12分）

一.标注尺寸（数值从视图中量取，比例1:1）（13分）

分析下列螺纹画法的错误,正确的打“√”, 错误的打“×”。（8分）

(×)(√)(×)(×)

选择正确的移出剖面图（将正确的答案序号填入括号内）（6分）(b)

读齿轮轴零件图，在指定位置补画A-A断面图，并回答下列问题。（15分）

1．说明M12×1.5-6g含义：表示公称直径为12mm的细牙普通螺纹，M为螺纹代号，1.5为螺距,6g为中径和顶径的公差带代号。2．说明含义：⊥表示垂直度，0.03为垂直度公差，A为基准符号。

3．指出图中的工艺结构：它有 2 处倒角，其尺寸分别为 C2和C1.5，有 1 处退刀槽，其尺寸为 2×2。

模数其余218齿数压力角精度等级齿厚配对齿数8-7-7-3.142图号齿数齿轮轴制图校核比例数量材料