九年级上数学第二章知识点

第一篇：九年级上数学第二章知识点

第二章一元二次方程

1.一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2．一元二次方程的一般形式：ax2bxc0(a0)，其中ax叫做二次

2项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

3.一元二次方程的解法

（1）直接开平方法

直接开平方法适用于解形如(xa)b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，xa是b的平方根，当

2b0时，xab，xab，当b<0时，方程没有实数根。（2）配方法

配方法的理论根据是完全平方公式a22abb2(ab)2，把公式中的a看做未知数x，并

222用x代替，则有x2bxb(xb)。

（3）公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

2axbxc0(a0)的求根公式： 一元二次方程

bb24ac2x(b4ac0)

2a（4）因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。4.一元二次方程根的判别式

2axbxc0(a0)中，一元二次方程b24ac叫做一元二次

2axbxc0(a0)的根的判别式，通常用方程“”来表示，2b4ac 即5.一元二次方程根与系数的关系

2如果方程axbxc0(a0)的两个实数根是

cbx1，x2，那么x1x2，x1x2。

aa

第二篇：九年级上数学

初三第一学期数学教学工作计划

初三是初中学习的关键时期，本学期我担任初三年级⑥、⑦两个班的数学教学工作，为能结合教学内容和学生实际，把握好重点、难点，既能面向全体学生，提高总体教学质量，又能针对个体差异，致力让每一个学生都能得到提高，特制定本计划。

二、提高学科教育质量的主要措施：

1、认真做好教学工作。把认真教学作为提高成绩的主要方法，认真研读新课程标准，钻研新教材，根据新课程标准，扩充教材内容，认真上课，批改作业，认真辅导，认真制作测试试卷，也让学生学会认真学习，培养学生良好的学习行为习惯。

2、引导学生积极归纳解题规律，引导学生一题多解，多解归一，培养学生透过现象看本质，提高学生举一反三的能力，这是提高学生素质的根本途径之一，培养学生的发散思维，让学生处于一种思如泉涌的状态。

3、运用新课程标准的理念指导教学，积极更新自己脑海中固有的教育理念，不同的教育理念将带来不同的教育效果。

4、培养学生良好的学习习惯，陶行知说：教育就是培养习惯，有助于学生稳步提高学习成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。

5、开展分层教学，布置作业设置A、B两类分层布置分别适合于不同层次的学生，课堂上的提问照顾到好、中、差三类学生，使他们都得到发展。

6、进行个别辅导，优生提升能力，扎实打牢基础知识，对差生，一些关键知识，辅导差生过关，为差生以后的发展铺平道路。

第三篇：九年级上册数学知识点总结

九年级上册数学知识点总结归纳

第二十一章

一元二次方程

第二十二章

二次函数

第二十三章

旋转

第二十四章

圆

第二十五章

概率初步

第二十一章

一元二次方程

知识点1：一元二次方程的概念

一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为

0，这样的方程叫一元二次方

程．

一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

知识点2：一元二次方程的解法

1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

X+a=

=-a+

=-a-

2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0，则原方程无解．

3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是(b2－4ac≥0)。步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程乘积的形式，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．

因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

5．一元二次方程的注意事项：

⑴

在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．

⑵

应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解．

⑶

利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)

=3（x＋4）中，不能随便约去x＋4。

⑷

注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．

6．一元二次方程解的情况

⑴b2－4ac≥0方程有两个不相等的实数根；

⑵b2－4ac=0方程有两个相等的实数根；

⑶b2－4ac≤0方程没有实数根。

解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用b2－4ac解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。

知识点3：根与系数的关系:韦达定理

对于方程ax2＋bx+c=0(a≠0）来说，x1

+x2

=—，x1●x2=。

利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如。

解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。

知识点4：一元二次方程的应用

一、考点讲解：

1．构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：

⑴

与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等；

⑵

有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的等量关系是a(1±x）2=b，其中a表示增长（降低）前的数据，x表示增长率（降低率），b表示后来的数据。注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过1。

⑶

经济利润问题：总利润=（单件销售额－单件成本）×销售数量；或者，总利润=总销售额－总成本。

⑷

动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。

2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．

一元二次方程与实际问题

1、病毒传播问题

2、树干问题

3、握手问题（单循环问题）

4、贺卡问题（双循环问题）

5、围栏问题

6、几何图形（道路、做水箱）

7、增长率、降价率问题

8、利润问题（注意减少库存、让顾客受惠等字样）

9、数字问题

10、折扣问题

第二十二章

二次函数一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2.二次函数的结构特征：

⑴

等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．

⑵

是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

二、二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式：的性质：

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

时，随的增大而

；时，随的增大而

；时，有最

值

．

时，随的增大而

；时，随的增大而

；时，有最

值

．

2.的性质：

上加下减。的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

时，随的增大而

；时，随的增大而

；时，有最

值

．

时，随的增大而

；时，随的增大而

；时，有最

值

．

3.的性质：

左加右减。的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

时，随的增大而

；时，随的增大而

；时，有最

值

．

时，随的增大而

；时，随的增大而

；时，有最

值

．

4.的性质：的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

时，随的增大而

；时，随的增大而

；时，有最

值

．

时，随的增大而

；时，随的增大而

；时，有最

值

．

三、二次函数图象的平移

1.平移步骤：

方法一：⑴

将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵

保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2.平移规律

在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

概括成八个字“左

右，上

下

”．

方法二：

⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）

⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）

四、二次函数与的比较

从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．

五、二次函数图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.六、二次函数的性质

1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．

2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

七、二次函数解析式的表示方法

1.一般式：（，为常数，）；

2.顶点式：（，为常数，）；

3.两根式（两点式）：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1.二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然．

⑴

当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

⑵

当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

2.一次项系数

在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．

⑴

在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；

当时，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，即抛物线对称轴在轴的右侧．

⑵

在的前提下，结论刚好与上述相反，即

当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；

当时，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，即抛物线对称轴在轴的左侧．

总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”

总结：

3.常数项

⑴

当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；

⑵

当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；

⑶

当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．

总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1.关于轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

2.关于轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

3.关于原点对称

关于原点对称后，得到的解析式是；

关于原点对称后，得到的解析式是；

4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是．

5.关于点对称

关于点对称后，得到的解析式是

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数：

①

当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.②

当时，图象与轴只有一个交点；

③

当时，图象与轴没有交点.当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

2.抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；

3.二次函数常用解题方法总结：

⑴

求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵

求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶

根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷

二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.抛物线与轴有两个交点

二次三项式的值可正、可零、可负

一元二次方程有两个不相等实根

抛物线与轴只有一个交点

二次三项式的值为非负

一元二次方程有两个相等的实数根

抛物线与轴无交点

二次三项式的值恒为正

一元二次方程无实数根.⑸

与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

图像参考：

十一、函数的应用

二次函数应用

二次函数考查重点与常见题型

1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以为自变量的二次函数的图像经过原点，则的值是

2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：

如图，如果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致是（）

y

y

y

y

0

x

o-1

x

0

x

0

x

A

B

C

D

3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：

已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。

4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：

已知抛物线（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－

（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

例1

（1）二次函数的图像如图1，则点在（）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

(1)

(2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．

例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1O；③4a+cO，其中正确结论的个数为（）

A

1个

B.2个

C.3个

D．4个

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（）

A(2，-3)

B.(2，1)

C(2，3)

D．(3，2)

例4、如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．

（1）写出y与x的关系式；

（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？

（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=x2+x-．

（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．

例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于，两点，交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB．

(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO>∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．

例7、“已知函数的图象经过点A（c，－2），求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

点评：

对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A（c，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。

用二次函数解决最值问题

例1

某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元）

…

y（件）

…

若日销售量y是销售价x的一次函数．

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

例2.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4

m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5

m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5

m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)

（）

A．1．5

m

B．1．625

m

C．1．66

m

D．1．67

m

分析：本题考查二次函数的应用

第二十三章

旋转

一、旋转

1、定义

把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质

（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

二、中心对称

1、定义

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、性质

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3、判定

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

4、中心对称图形

把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

考点五、坐标系中对称点的特征

（3分）

1、关于原点对称的点的特征

两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）

2、关于x轴对称的点的特征

两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）

3、关于y轴对称的点的特征

两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）

第二十四章

圆

一、知识回顾

圆的周长：

C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²

圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）

二、知识要点

一、圆的概念

集合形式的概念：

1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内

点在圆内；

2、点在圆上

点在圆上；

3、点在圆外

点在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离

无交点；

2、直线与圆相切

有一个交点；

3、直线与圆相交

有两个交点；

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）

无交点；

外切（图2）

有一个交点；

相交（图3）

有两个交点；

内切（图4）

有一个交点；

内含（图5）

无交点；

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①是直径

②

③

④

弧弧

⑤

弧弧

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙中，∵∥

∴弧弧

六、圆心角定理

顶点到圆心的角，叫圆心角。

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①；②；

③；④

弧弧

七、圆周角定理

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角

∴

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角

∴

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙中，∵是直径

或∵

∴

∴是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△中，∵

∴△是直角三角形或

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙中，∵四边形是内接四边形

∴

九、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：∵且过半径外端

∴是⊙的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵、是的两条切线

∴

平分

十一、圆幂定理

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙中，∵弦、相交于点，∴

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙中，∵直径，∴

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙中，∵是切线，是割线

∴

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙中，∵、是割线

∴

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：垂直平分。

即：∵⊙、⊙相交于、两点

∴垂直平分

十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：中，；

（2）外公切线长：是半径之差；

内公切线长：是半径之和。

十四、圆内正多边形的计算

（1）正三角形

在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在中进行，：

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在中进行，.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：（1）弧长公式：；

（2）扇形面积公式：

：圆心角

：扇形多对应的圆的半径

：扇形弧长

：扇形面积

2、圆柱：

（1）A圆柱侧面展开图

=

B圆柱的体积：

（2）A圆锥侧面展开图

=

B圆锥的体积：

第二十五章

概率初步

一、概率的概念

某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.2、事件类型：

①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.②不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.③不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.3、概率的计算

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都

相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为

（1）

列表法求概率

当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

（2）

树状图法求概率

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

4、利用频率估计概率

①利用频率估计概率

：在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

②在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。

③随机数：在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。

第四篇：九年级数学知识点归纳：相似图形

九年级数学知识点归纳：相似图形

常见考法

（1）判断某两个图形是不是相似；

（2）判断一组数据是不是成比例线段；

（3）已知图上距离和比例尺大小求实际距离；

（4）利用比例的性质求值。

误区提醒

（1）在判断四条线段是否成比例问题时忽略单位统一；（2）在用图上距离求实际距离时忽略了单位换算问题。

【典型例题】（XX江苏淮安）在比例尺为1：200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4，则A，B两地间的实际距离为．

【解析】4×200=9000=9

相似三角形

一、平行线分线段成比例定理及其推论：

定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

2推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例。

3推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。

二、相似预备定理：

平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

三、相似三角形：

定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

2性质：（1）相似三角形的对应角相等；

（2）相似三角形的对应线段成比例；

（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

说明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比等于高之比；②要注意两个图形元素的对应。

3判定定理：

（1）两角对应相等，两三角形相似；

（2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；

（3）三边对应成比例，两三角形相似；

（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。四、三角形相似的证题思路：

五、利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤：

一“定”：先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中；

二“找”：再找出两个三角形相似所需的条；

三“证”：根据分析，写出证明过程。

如果这两个三角形不相似，只能采用其他方法，如找中间比或引平行线等。

六、相似与全等：

全等三角形是相似比为1的相似三角形，即全等三角形是相似三角形的特例，它们之间的区别与联系：

共同点它们的对应角相等，不同点是边长的大小，全等三角形的对应边相等，而相似三角形的对应的边成比例。

2判定方法不同，相似三角形只求形状相同的，大小不一定相等，所以改“对应边相等”成“对应边成比例”。

常见考法

（1）利用判定定理证明三角形相似；（2）利用三角形相似解决圆、函数的有关问题。

误区提醒

（1）根据相似三角形找对应边时，出现失误找错对应边，因此在写比例式时出错，导致解题错误信息；（2）在定理的实际应用中，常常忽视“夹角相等”这个重条，错误认为有两边对应比相等，再有一组角相等，就能得到两个三角形相似。

第五篇：初三(九年级)下册数学知识点归纳

初三（九年级）下册数学知识点归纳

九年级下册知识点归纳包括二次函数、相似、锐角三角形、投影与视图共四章内容，主要总结了这几个单元的重点和难点的内容，是初三同学们和中考考生的必备资料!

第二十六章 二次函数

26.1 二次函数及其图像

二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

一般式

y=ax+bx+c(a0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b2)/4a);顶点式

y=a(x+m)2+k(a0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)2+k(a0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式

y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线];

重要概念：a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)

y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2)(y1为截距)

求根公式

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

求根公式

x是自变量，y是x的二次函数

x1,x2=[-b((b^2-4ac))]/2a

(即一元二次方程求根公式)(如右图)

求根的方法还有因式分解法和配方法

在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图像 如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。

注意：草图要有 1本身图像，旁边注明函数。

2画出对称轴，并注明X=什么

3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质

轴对称

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x =-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)顶点

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，4ac-b^2;)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当= b^2;-4ac=0时，P在x轴上。

开口

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

决定对称轴位置的因素

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab 0)，对称轴在y轴右。

事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

决定抛物线与y轴交点的因素

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)

抛物线与x轴交点个数

6.抛物线与x轴交点个数

= b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。

= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

_______

= b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-bb^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

当a0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b在{x|x-b/2a}上是减函数，在

{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y4ac-b^2/4a}相反不变

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a0)

特殊值的形式

7.特殊值的形式

①当x=1时 y=a+b+c

②当x=-1时 y=a-b+c

③当x=2时 y=4a+2b+c

④当x=-2时 y=4a-2b+c

二次函数的性质

8.定义域：R

值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a，正无穷);②[t，正无穷)

奇偶性：当b=0时为偶函数，当b0时为非奇非偶函数。

周期性：无

解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式] ⑴a0 ⑵a0，则抛物线开口朝上;a0，则抛物线开口朝下;

⑶极值点：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);

⑷=b^2-4ac，0，图象与x轴交于两点：

([-b-]/2a，0)和([-b+]/2a，0);

=0，图象与x轴交于一点：

(-b/2a，0);

0，图象与x轴无交点;

②y=a(x-h)^2+k[顶点式]

此时，对应极值点为(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;

③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a0)对称轴X=(X1+X2)/2 当a0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a0且X≦(X1+X2)/2时Y随X 的增大而减小

此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连

用)。

交点式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。

26.2 用函数观点看一元二次方程

1.如果抛物线 与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当 时，函数的值是0，因此 就是方程的一个根。

2.二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

26.3 实际问题与二次函数

在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。