永磁同步电机的公式推导

永磁同步电机的公式推导

2.1

永磁同步电机的能量转换过程推导

永磁同步电机电压平衡方程：

（2-1）

其中，为转子机械角位移，为转子机械角速度，电机稳定运行时为常数，即。则有

（2-2）

其中，为电阻压降，表示感应电动势，成为运动电动势。

转矩平衡方程：

（2-3）

其中，为电机电磁转矩，为输出机械转矩，为惯性转矩，为阻力转矩；理想情况下，电机阻力力矩近似为常数，稳定运行时机械加速度为零，所以输出的机械转矩，由于电机阻力力矩近似为常数，电磁功率可近似看作输出机械功率。

磁能的表达式：

（2-4）

由磁能与电磁转矩之间的关系，则：

（2-5）

其中，表示电流矩阵的转置。

则电磁功率为：

（2-6）

由公式两边同时乘以，则：

（2-7）

由式（2.7）可知，等式左边为电机输入功率；等式右边为电阻损耗功率，是电磁功率，即电功率转换成机械功率输出的那一部分，表明从电磁耦合场中获得的一半能量转换成了机械能输出；是输入功率除去输出的和内阻损耗功率之后的功率，即为磁场功率。稳态运行时，一个周期内磁场功率应为零，即一个周期内磁场转化的功率与释放的功率相同。

2.2

坐标变换

（1）变换（Clark变换）

设三相绕组和两相绕组每相的绕组匝数分别为N1，N2，将两组磁动势分别投影到轴和轴上：

（2-8）

前后保持功率不变，可进一步推倒出此时，所以，三相静止坐标系到两相静止坐标系（3s/2s）的“等功率”变换矩阵为：

（2）变换（Park变换）

同样遵照磁效应等效原则，同一时刻、同一方向上的瞬时磁动势相等，再由功率不变原则得出变换前后各绕组的有效匝数不变，因此可以直接由电流矢量表示合成磁动势。将磁动势投影到正交的α

轴、β

轴上，由三角关系易得：

（2-9）

两相静止坐标系到两相旋转坐标系（2s/2r）的“等功率”变换矩阵为：

（3）变换

考虑零序电流得

（2-10）

则有，（2-11）

通过计算可以得出变换矩阵：

2.3

旋转坐标系下动态方程

（1）

电压方程

根据坐标变换，并考虑：

（2-12）

（2-13）

可以得到

（2-14）

（2-15）

（2-16）

（2-17）

（2-18）

定子电压方程

（2-19）

（2-20）

（2-21）

转子电压方程

（2-22）

（2-23）

（2-24）

（2）磁链方程

轴上绕组：绕组，阻尼绕组，励磁绕组。

轴上绕组：绕组，励磁绕组。

在绕组通三相电流，在绕组中的磁链

（2-25）

其中，为绕组和相绕组重合时的互感

在绕组通电流，在绕组中的磁链

（2-26）

其中，为直轴电枢反应电感

令绕组与绕组等效，则

（2-27）

同理

（2-28）

轴主磁链

（2-29）

轴总磁链

（2-30）

其中，为定子交直轴的漏感

若，为定子绕组漏自感和漏互感，则总漏感和零序电感为

（2-31）

由交直轴磁链得到交直轴同步电感

（2-32）

定子系统的磁链

（2-33）

（2-34）

（2-35）

励磁绕组的磁链

（2-36）

直轴阻尼绕组的磁链

（2-37）

交轴阻尼绕组的磁链

（2-38）

（3）转矩方程

同步电动机输入总功率

（2-39）

由于

所以

（2-40）

变换为磁势不变，而非功率不变，系数不为1。

展开得到

（2-41）

（2-42）

2.4

拉格朗日运动方程

确定电机的动力变量，广义损耗系数，以应外来广义驱动力，列表如下：

表3.1

在广义坐标和广义速度下的系数

定子绕组

定子绕组

转子绕组

转子绕组

机械转子

假设系统为线性的（2-43）

由，可得

（2-44）

拉格朗日函数为

（2-45）

其中。

（2-46）

根据式（3.23），同步电机运动方程的推导如下：

当时

（2-47）

则定子绕组轴的电压方程为：

（2-48）

当时

（2-49）

则定子绕组轴的电压方程为：

（2-50）

当时

（2-51）

则转子绕组轴的电压方程为：

（2-52）

当时

同理可得，转子绕组轴的电压方程为：

（2-53）

当时

（2-54）

则力平衡方程为

（2-55）

综上所述，式（2-46）、（2-50）、（2-51）、（2-52）、（2-56）合起来就是永磁同步电机的运动方程。