1.2余弦定理试题

余弦定理〔1〕

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掌握余弦定理，理解余弦定理与勾股定理的关系，知道利用余弦定理的变形式求边与角，会解两边和它们的夹角或三边的三角形问题．

一、选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)

1．在△ABC中，b＝4，c＝2，∠A＝120°，那么a等于()

A．2

B．6

C．2或6

D．2

2．在△ABC中，三边a、b、c满足(a＋b＋c)(a＋b-c)＝3ab，那么∠C等于()

A．15°

B．30°

C．45°

D．60°

3．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是()

A．135°

B．90°

C．120°

D．150°

4．在△ABC中，假设c4-2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，那么∠C等于()

A．90°

B．120°

C．60°

D．120°或60°

5．A、B、C是△ABC的三个内角，那么在以下各结论中，不正确的为()

A．sin2A＝sin2B＋sin2C＋2sinBsinCcos(B＋C)

B．sin2B＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinCcos(A＋C)

C．sin2C＝sin2A＋sin2B-2sinAsinBcosC

D．sin2(A＋B)＝sin2A＋sin2B-2sinBsinCcos(A＋B)

二、填空题(本大题共5小题，每题3分，共15分)

1．△ABC中，A＝60°，最大边和最小边是方程x2-9x＋8＝0的两个正实数根，那么BC边长是________．

2．在△ABC中，a＝7，b＝8，cosC＝，那么最大角的余弦值是________．

3．假设△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝1，那么面积S的取值范围是________．

4．在△ABC中，∠C＝60°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，那么＝________．

5．在△ABC中，假设AB＝，AC＝5，且cosC＝，那么BC＝________．

三、解答题(本大题共5小题，每题6分，共30分)

1．a＝3，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．

2．a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝12，bc＝48，b-c＝2，求a．

3．在△ABC中，a，b，c分别是三内角A、B、C的对边，且，a2＋b2＝c2＋ab，求A．

4．△ABC的三边长a、b、c和面积S满足S＝a2-(b-c)2，且b＋c＝8，求S的最大值．

5．a、b、c为△ABC的三边，且a2-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0，求这个三角形的最大内角．

参考答案

一、选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)

1．A　分析：由余弦定理得:a2＝b2＋c2-2bccosA＝48＋12-2×4×2×(-)＝84，∴　a＝2．

2．D　分析：由(a＋b＋c)(a＋b-c)＝3ab，得a2＋2ab＋b2-c2＝3ab

∴，∴　cosC＝60°[来源:Z。xx。k.Com]

3．C　分析：由sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7知三角形的三边之比为a∶b∶c＝3∶5∶7，最大的边为c，∴　最大的角为∠C．由余弦定理得

cosC＝，∴　∠C＝120°．

4．D　分析：由c4-2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，得(a2＋b2)2-2(a2＋b2)c2＋c4＝a2b2，∴(a2＋b2-c2)2＝a2b2，∴　a2＋b2-c2＝±ab，∴　cosC＝，∴　∠C＝120°或∠C＝60°．

5．D　分析：∵　sin2A＝()2，sin2B＝()2，sin2C＝()2

∴　四个选项分别可化为:a2＝b2＋c2-2bccosA

b2＝a2＋c2-2accosB

c2＝a2＋b2-2abcosC

c2＝a2＋b2＋2abcosC

显然c2＝a2＋b2＋2abcosC不对．

二、填空题(本大题共5小题，每题3分，共15分)

1．　分析：∵　A＝60°，∴　最大边和最小边所夹的角为A，AB、AC为x2-9x＋8＝0的两个正实数根，那么AB＋AC＝9，AB×AC＝8

∴　BC2＝AB2＋AC2-2×AC×AB×cosA

＝(AB＋AC)2-2×AC×AB×(1＋cosA)

＝92-2×8×＝57

2．-分析：先由c2＝a2＋b2-2abcosC求出c＝3，∴　最大边为b，最大角为B，∴　cosB＝．

3．(0，分析：S△ABC＝absinC＝ab＝

(0

4．1　分析：∵　∠C＝60°，∴　cosC＝，∴　a2＋b2＝c2＋ab，∴　a2＋ac＋b2＋bc＝c2＋ab＋ac＋bc[来源:学§科§网Z§X§X§K]

∴　a(a＋c)＋b(b＋c)＝c(c＋a)＋b(a＋c)

∴　a(a＋c)＋b(b＋c)＝(c＋a)(b＋c)

∴　＝1

5．4或5　分析：设BC＝x，那么5＝x2＋25-2·5·x·，即x2-9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5．

三、解答题(本大题共5小题，每题6分，共30分)

1．解：b2＝a2＋c2-2accosB＝(3)2＋22-2·2·2·(-)＝49．

∴　b＝7，S△＝acsinB＝×3×2×＝．

2．解：由S△ABC＝bcsinA，得

12＝×48×sinA

∴　sinA＝

∴　A＝60°或A＝120°

a2＝b2＋c2-2bccosA

＝(b-c)2＋2bc(1-cosA)

＝4＋2×48×(1-cosA)

当A＝60°时，a2＝52，a＝2[来源:学.科.网]

当A＝120°时，a2＝148，a＝2

3．解：∵　a2＋b2＝c2＋ab

∴

∴　cosC＝

∴　C＝45°

由正弦定理可得

∴　sinBcosC＝2sinAcosB-sinCcosB

∴　sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB

∴　sin(B＋C)＝2sinAcosB

∴　sinA＝2sinAcosB

∵　sinA≠0[来源:Zxxk.Com]

∴　cosB＝

∴　B＝60°，∴　A＝180°-45°-60°＝75°

4．解：∵　S＝a2-(b-c)2

又S＝bcsinA

∴　bcsinA＝a2-(b-c)2

∴(4-sinA)

∴　cosA＝(4-sinA)

∴　sinA＝4(1-cosA)

∴　2sin

∴　tan

∴　sinA＝

∴　c＝b＝4时，S最大为

5．解：∵　a2-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0

由上述两式相加，相减可得

c＝(a2＋3)，b＝(a-3)(a＋1)

∴　c-b＝(a＋3)

∵　a＋3＞0，∴　c＞b

c-a＝(a2＋3)-a＝(a2-4a＋3)＝(a-3)(a-1)

∵　b＝(a-3)(a＋1)＞0，∴　a＞3[来源:Zxxk.Com]

∴(a-3)(a-1)＞0

∴　c＞a

∴　c边最大，C为最大角

∴　cosC＝

∴　△ABC的最大角C为120°