专题16
等腰三角形的性质
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等腰三角形是一类特殊三角形，具有特殊的性质，这些性质为角度的计算、线段相等、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据．因此，在解与等腰三角形相关的问题时，除了要运用全等三角形知识方法外，又不能囿于全等三角形，应善于利用等腰三角形的性质探求新的解题途径，应熟悉以下基本图形、基本结论．
⑴
图1中，，．
⑵
图2中，只要下述四个条件：
①；②；③；④中任意两个成立，就可以推出其余两个成立．
B
C
A
D
图1
A
D
B
C
图2
例题与求解
【例1】如图，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，则∠A=___________．
（五城市联赛试题）
解题思路：图中有很多相关的角，用∠A的代数式表示这些角，建立关于∠A的等式．
A
B
C
D
E
【例2】如图，在△ABC中，已知∠BAC=900，AB=AC，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，求证：∠ADB=∠CDF．
（安徽省竞赛试题）
解题思路：∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的高(中线)是一条常用的辅助线．
A
B
C
D
E
F
【例3】如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．
（北京市竞赛试题）
解题思路：∠ABC的角平分线与AE边上的高重合，故应作辅助线补全图形，构造全等三角形、等腰三角形．
A
E
B
C
D
【例4】如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=440，M为△ABC内一点，使∠MCA=300，∠MAC=160，求∠BMC度数．
（北京市竞赛试题）
B
C
M
A
B
C
M
A
图3
N
解题思路：作等腰△ABC的对称轴(如图1)，通过计算，证明全等三角形，又440+160=600；可以AB为一边，向点C所在的一侧作等边△ABN，连结CN，MN(如图2)；或以AC为一边，向点B所在的一侧作等边△ACN，连结BN(如图3)．
B
C
M
A
图1
D
O
B
C
M
A
图2
N
【例5】如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=1200的等腰三角形，以D为顶点作一个600角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，形成一个三角形．求证：△AMN的周长等于2．
（天津市竞赛试题）
解题思路：欲证△AMN的周长等于2，只需证明MN=BM+CN，考虑用补短法证明．
B
A
C
D
N
M
【例6】如图，△ABC中，∠ABC=460，D是BC边上一点，DC=AB，∠DAB=210，试确定∠CAD的度数．
（北京市竞赛试题）
解题思路：解本题的关键是利用DC=AB这一条件．
B
D
C
A
能力训练
A级
1．如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夹角为450，那么这个等腰三角形的底角为_____________．
2．如图，已知∠A=150，AB=BC=CD=DE=EF，则∠FEM=_____________．
3．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P、Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于点O，则
∠BOQ=____________.4．如图，在△ABC中，∠BCA=900，∠BAC=600，BC=4，在CA的延长线取点D，使AD=AB，则D，B两点之间的距离是____________．
(第2题)
B
A
C
D
E
F
M
N
A
B
C
Q
P
O
(第3题)
A
B
C
D
(第4题)
5．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）
A．900-∠A
B．900-∠A
C．1800-∠A
D．450-∠A
6．如图，在△ABC中，∠ACB=900，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=（）
A．600
B．450
C．300
D．不确定
（安徽省竞赛试题）
A
C
B
E
F
第5题图
第6题图
7．△ABC的一个内角的大小是400，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是（）
A．1400
B．800或1000
C．1000或1400
D．800或1400
(“希望杯”邀请赛试题)
8．三角形三边长，满足，则三角形一定是（）
A．等边三角形
B．以为底边的等腰三角形
C．以为底边的等腰三角形
D．等腰三角形
（北京市竞赛试题）
9．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是腰AB，AC延长线上的点，且BD=CE，连结DE交BC于G，求证：DG=EG．
（湖北省竞赛试题）
A
B
C
D
G
E
10．如图，在△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，求证：CE=BD．
（江苏省竞赛试题）
A
B
C
D
E
11．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=900，D为AB边中点，∠EDF=900，将∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC，BC(或它们的延长线)于E、F，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时(如图1)，易证：S△DEF+S△CEF=S△ABC，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
（牡丹江市中考试题）
A
B
C
A
B
C
A
B
C
E
D
F
E
D
F
D
F
图1
图2
图3
12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=800，O为△ABC内一点，且∠OBC=100，∠OCA=200，求∠BAO的度数．
（天津市竞赛试题）
B级
1．如图，在△ABC中，∠ABC=1000，AM=AN，CN=CP，则∠MNP=_________．
A
B
C
N
M
P
(第1题)
A
B
C
P
E
F
(第2题)
A
B
C
N
M
(第3题)
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=900，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下4个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)．上述结论正确的是____________．
（苏州市中考试题）
3．如图，在△ABC中，AB=BC，M，N为BC边上两点，并且∠BAM=∠CAN，MN=AN，则∠MAC的度数是____________．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC与∠ACB的平分线相交于D，∠ADC=1300，那么∠CAB的大小是（）
A．800
B．500
C．400
D．200
A
(第4题)
B
C
D
(第5题)
A
B
C
D
A
B
D
E
C
M
(第6题)
5．如图，在△ABC中，∠BAC=1200，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，则∠C的大小是（）
A．200
B．250
C．300
D．450
6．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连CD，下列四个结论：①∠ADC=450；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB-BC=2MC．其中正确结论的个数为（）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，并且使AE=BD，连结CE、DE，求证：CE=DE．
A
B
C
D
E
8．如图，△ABC中，已知∠C=600，AC＞BC，又△ABC′、△A′BC、△AB′C都是△ABC外的等边三角形，而点D在AC上，且BC=DC．
⑴
证明：△C′BD≌△B′DC；
⑵
证明：△AC′D≌△DB′A；
⑶
对△ABC、△ABC′、△A′BC、△AB′C，从面积大小关系上，你能得出什么结论？
（江苏省竞赛试题）
A
B
C
D
A′
B′
C′
9．在△ABC中，已知AB=AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC各内角的度数．
（江苏省扬州中学测试题）
10．如图，在△ABC中，∠C=900，∠CAD=300，AC=BC=AD，求证：CD=BD．
A
B
C
D
11．已知△ABC中，∠B为锐角，从顶点A向边BC或BC的延长线引垂线交BC于H点，又从顶点C向边AB或AB的延长线引垂线交AB于K，试问：当，是整数时，△ABC是怎样的三角形？并证明你的结论．
（“智能杯”通讯赛试题）
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