最新中小学考试总复习圆知识点考点总结及归纳

第一讲

圆的方程宋体三号加粗

一、知识清单一级标题宋体四号加粗

（一）圆的定义及方程二级标题宋体小四加粗

定义

平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)正文宋体五号

标准

方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)

圆心：(a，b)，半径：r

一般

方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

(D2＋E2－4F>0)

圆心：，半径：

1、圆的标准方程与一般方程的互化三级标题宋体五号加粗

（1）将圆的标准方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2

展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.（2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：

(x＋)2＋(y＋)2＝

①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以(－，－)为圆心，为半径的圆；

②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，即只表示一个点(－，－)；③当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

2、圆的一般方程的特征是：x2和y2项的系数

都为1，没有

xy的二次项.3、圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

（二）点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.（2）若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.（3）若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2

(三)直线与圆的位置关系

方法一：

方法二：

（四）圆与圆的位置关系

外离

2外切

3相交

4内切

5内含

（五）圆的参数方程

（六）温馨提示

1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：

（1）B＝0；

（2）A＝C≠0；

（3）D2＋E2－4AF＞0.2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．

（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

（2）圆心在任一弦的中垂线上．

（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝，y＝

.二、典例归纳

考点一：有关圆的标准方程的求法宋体小四加粗

【例1】注意例题符号使用

圆的圆心是，半径是

.【例2】

点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是()

A．(－1,1)

B．(0,1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D．(1，＋∞)

【例3】

圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()

A．x2＋(y－2)2＝1

B．x2＋(y＋2)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1

D．x2＋(y－3)2＝1

【例4】

圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()

A．(x－2)2＋y2＝5

B．x2＋(y－2)2＝5

C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5

D．x2＋(y＋2)2＝5

【变式1】已知圆的方程为，则圆心坐标为

【变式2】已知圆C与圆关于直线

对称，则圆C的方程为

【变式3】

若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()

A．(x－3)2＋2＝1

B．(x－2)2＋(y－1)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1

D.2＋(y－1)2＝1

【变式4】已知的顶点坐标分别是，，求外接圆的方程.方法总结：宋体五号加粗

1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r的方程组．

2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．

考点二、有关圆的一般方程的求法

【例1】

若方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆，则的取值范围是()

A

.＜m＜1

B．m＜或m＞1

C．m＜

D．m＞1

【例2】

将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()

A．x＋y－1＝0

B．x＋y＋3＝0

C．x－y＋1＝0

D．x－y＋3＝0

【例3】

圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋y－3＝0的距离为________．

【变式1】

已知点是圆上任意一点，P点关于直线的对称点也在圆C上，则实数=

【变式2】

已知一个圆经过点、，且圆心在上，求圆的方程.【变式3】

平面直角坐标系中有四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？

【变式4】

如果三角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，则它的内切圆方程为________________．

方法总结：

1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于D，E，F的方程组．

2．熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化

考点三、与圆有关的轨迹问题

【例1】

动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()

A．x2＋y2＝32

B．x2＋y2＝16

C．(x－1)2＋y2＝16

D．x2＋(y－1)2＝16

【例2】

方程表示的曲线是（）

A.一条射线

B.一个圆

C.两条射线

D.半个圆

【例3】

在中，若点的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是（）

A.B.C.D.【例4】

已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出曲线．

【变式1】

方程所表示的曲线是（）

A.一个圆

B.两个圆

C.一个半圆

D.两个半圆

【变式2】

动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()

A．x2＋y2＝32

B．x2＋y2＝16

C．(x－1)2＋y2＝16

D．x2＋(y－1)2＝16

【变式3】

如右图，过点M(－6,0)作圆C：x2＋y2－6x－4y＋9＝0的割线，交圆C于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹．

【变式4】

如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．

方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

（1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简．

(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程．

(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．

(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

考点四：与圆有关的最值问题

【例1】

已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________

【例2】

已知x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值为________．

【例3】

已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是()

A.B．1

C.D.【例4】已知实数x，y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1则2x－y的最大值为________，最小值为________．

【变式1】

P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，则x2＋y2的最小值为________．

【变式2】

由直线y＝x＋2上的点P向圆C：(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线PT(T为切点)，当|PT|最小时，点P的坐标是()

A．(－1,1)

B．(0,2)

C．(－2,0)

D．(1,3)

【变式3】

已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．

【变式4】已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．

（1）求圆M的方程；

（2）设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．

方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法

（1）形如u＝的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题

（2）

形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；

（3）形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．

（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值：

（其中d为圆心到直线的距离）